概率论课件第十八次课.ppt

1 抽样分布定理中 需要掌握的正态总体的 抽样分布的主要结论是哪几个 一 复习 设总体 为使样本均值大于70 的概率不小于90 则样本容量n至少应取多少 解 则 设总体 已知样本容量为24 样 求总体标准差大于3的概率 本方差为12 5277 解 开始 在总体 中随机抽取容量为 21的样本 求 和 解 第七章参数估计 第一节点估计的几种方法 设总体X的分布函数的形式已知 但它的一个 或多个参数未知 借助于总体X的一个样本来估计 总体未知参数的值的问题称为参数的点估计 例1 在某炸药制造厂 一天中发生着火现象的次 数X是一个随机变量 假设它服从以为参数的 泊松分布 参数未知 现有以下的样本值 试 估计参数 解 所以用样本均值来估计总体均值 即 点估计问题的一般提法 设有一个统计总体 总体的分布函数 为F x 其中为未知参数 X1 X2 Xn是X的一个样本 是相应的一个样本值 点估计问题 就是构造一个适当的统计量 用它的观察值 近似值 我们称 称 作为未知参数的 为的估计量 为的估计量值 均简记为 下面介绍两种常用的构造估计量的方法 1 矩估计法 2 极大似然法 一 矩估计法 其基本思想是用样本矩估计总体矩 它是基于一种简单的 替换 思想建立起来的一 是英国统计学家K 皮尔逊最早提出的 种估计方法 理论依据 大数定律 用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就 称为矩估计法 记总体k阶矩为 样本k阶矩为 记总体k阶中心矩为 样本k阶中心矩为 常用的是 用样本均值估计总体均值 用样本二阶中心矩估计总体方差 用事件发生的频率估计事件发生的概率 解 由矩法 样本矩 总体矩 数学期望是一阶原点矩 例1 设总体X的概率密度为 是未知参数 其中 X1 X2 Xn是取自X的样本 求参数的矩估计 从中解得 例2 设总体X在 a b 上服从均匀分布 a b为 解 因为 未知 X1 X2 Xn是X的一个样本 试求a b的 矩估计量 令 解得 则 例3 设总体为指数分布 其密度函数为 是样本 试求的估计量 解 此时k 1 令 矩法的优点是简单易行 并不需要事先知道总 体是什么分布 缺点是当总体类型已知时 没有充分利用分布提 供的信息 一般场合下 矩估计量不具有唯一性 其主要原因在于建立矩法方程时 选取哪些总 体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性 二 极大似然法 是在总体类型已知条件下 它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的 Gauss Fisher 然而 这个方法常归功于英国统计学家费歇 费歇在1922年重新发现了这一方法 使用的一种参数估计方法 并首先研究了这种方法的一些性质 极大似然法的基本思想 先看一个简单例子 一只野兔从前方窜过 是谁打中的呢 某位同学与一位猎人一起外出打猎 如果要你推测 你会如何想呢 只听一声枪响 野兔应声倒下 你就会想 只发一枪便打中 猎人命中的概率一般大 这个例子所作的推断已经体现 于这位同学命中的概率 看来这一枪是猎人射中的 了极大似然法的基本思想 极大似然估计原理 当给定样本X1 X2 Xn时 定义似然函数为 设X1 X2 Xn是取自总体X的一个样本 样本 的联合密度 连续型 或联合概率函数 离散型 为 f X1 X2 Xn 可能产生样本值X1 X2 Xn的一种度量 看作参数的函数 它可作为将以多大 极大似然估计法就是用使达到最大值的 称为的极大似然估计 去估计 例4 设X1 X2 Xn是取自总体X的一个样本 且 解 似然函数为 令 解之得 求极大似然估计的一般步骤 1 由总体分布导出样本的联合概率函数 2 把样本联合概率函数 或联合密度 中自变量看成已知常数 而把参数看作自变量 得到 或联合密度 3 求似然函数的最大值点 常常转化为求的最大值点 即得的极大似然估计 4 在最大值点的表达式中 用样本值代入就得 参数的极大似然估计值 解 例5 设 所以似然函数为 是未知参数 是X的一组观察值 似然估计量 令 则 解得