近世代数课件-3.6多项式环.ppt

内容提要 6 1多项式环6 2一元多项式环6 3未定元的存在性6 4多元多项式环 6多项式环 我们已经有了一般环的定义 现在要认识一种特殊的环多项式环 这种环在数学里占一个重要的地位 本节假定是一个有单位的交换环 是的子环 并且包含的单位元 比如 为复数环 域 为整数环 6 1多项式环 的多项式 在里取出一个元来 那么有意义 是的一个元 定义1一个可以写成形式的元叫做R上的一个多项式 叫做多项式的系数 注1 多项式常用表示 注2 的多项式的表示形式不唯一 举例 因此不定义次数 原因在什么地方 多项式环 记 所有R上的的多项式 我们要注意 对于 所以当我们只考虑的有限个多项式的时候 可以假定这些多项式的项数 注 没有说次数 都是一样的 因此 的两个元相加相乘适合以下公式 这两个式子告诉我们 对于加法和乘法来说都是闭的 进一步 所以是一个 子 环 定义2叫做R上的多项式环 注3 是包括R和的最小子环 注4 上面的的计算法正是初等代数里的多项式的计算法 6 2一元多项式环 的多项式的表示形式不唯一的原因在于 当系数不都等于零的时候 很可能的多项式比方说 当的时候 取 那么多项式 未定元 定义3的一个元叫做R的一个未定元 假如在R里找不到不都等于零的元来 使得 在这一节里 我们重要讨论未定元的多项式 注5 根据上述定义 R上的一个未定元的多项式 简称一元多项式 只能用一种方法写成的形式 不计系数是零的项 定义4令是环R上一个一元多项式 那么非负整数n叫做这个多项式的次数 表示为 注6 多项式0不定义次数 注7 例1R是整数环 是复数域 在上发现一些R的未定元 例2 上可能没有R的未定元 R是整数环 是包含所有的整环 这时对的每一个元来说 都有 6 3未定元的存在性 定理1给了一个有单位元的交换环R 存在一个包含R的环P 使得在P上一定有R上的未定元存在 证明 省略 我们非三步来证明这个定理 1 首先我们利用R来作一个环 我们让刚好包含所有无穷序列 这里 但只有有限个我们限定 只在时 我们规定一个加法 显然这是一个的代数运算 而且对于这个加法来说作成一个加群 这个加群的零元是 我们再规定一种乘法 这里显然这也是一个的代数运算 并且这个乘法适合交换律 这个乘法也适合结合律 叫那么 照乘法的定义 把计算一下 可以得到同样的结果 这两个代数运算也适合分配律 叫那么 由加法和乘法的定义 把算出来 显然会得到同样的结果 这样作成一个交换环 在里我们有等式 1 由这个式子我们可以得到这就是说有单位元 2 第二步我们利用来得到一个包含R的环P 由等式 1 我们可以得到 2 由加法的定义 我们有 3 2 和 3 告诉我们 全体形式的的元作成一个子环 并且是与R间的一个同构映射 因为R同根本没有同元 由 5 定理4 我们可以用R来代替 而得到一个包含R的环P P也是有单位元的交换环 并且P的单位就是R的1 3 最后我们证明P包含R上的未定元 令我们说 4 当时 这个式子显然是对的 假定对于 式子是对的 那么 但这里只有和等于1 其余都等于零 所以除了在这个和里有一项以为 其余到处都是零 因此现在假定在P里 那么在里这样 由 4 和 1 因而这正是说 是R上的未定元 证完 6 4多元多项式环 多项式概念的推广 方法1 递推法 我们从里的任意取出个元来 那么我们可以作R上的的多项式环 然后作上的的多项式环 这样下去 可以得到 这个环包括所有可以写成 方法2 直接法 定义5一个有 的形式的元叫做R上的的一个多项式 叫做多项式的系数 表示R上的所有的多项式 它构成环 无关未定元及多元多项式环 定义5的个元叫做R上的无关未定元 假如任何一个R上的的多项式都不会等于零 除非这个多项式的所有系数都等于零 定理2给了一个有单位元的交换环R同一个正整数 一定有R上的无关未定元存在 因此也就有R上的多项式环存在 同态与代入法 定理3假定和都是有单位元的交换R上的多项式环 是R上的无关未定元 是R上的任意元 那么与同态 证明我们用来表示的元用来表示的元 那么 1 是到的一个满射 因为 给了一个的元y由于是无关未定元 只有一种方法可以把y写成多项式 这样 依照我们的规定 y只有一个象 就是 另一方面 显然这个映射是一个满射 2 保持运算 由于在或里两个多项式的相加或相乘是适合同一规律的 以上映射是同态映射 证完 定理3告诉我们一个重要的事