《数学建模A题》PPT课件.ppt

制动器试验台的控制方法分析 参赛队员 赛题背景A题制动器试验台的控制方法分析 在道路上测试实际车辆制动器的方法为 车辆在指定路面上加速到指定的速度 断开发动机的输出 让车辆依惯性继续运动 以恒定的力踏下制动踏板 使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下 在这一过程中 检测制动减速度等指标 假设轮胎与地面无滑动 在专门的制动器试验台进行模拟试验 系统一般由安装了飞轮组的主轴 驱动主轴旋转的电动机 底座 施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成 被试验的制动器安装在主轴的一端 当制动器工作时会使主轴减速 试验台工作时 电动机拖动主轴和飞轮旋转 达到与设定的车速相当的转速后电动机断电同时施加制动 当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动 路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷 将这个载荷在车辆平动时具有的能量 忽略车轮自身转动具有的能量 等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量 与此能量相应的转动惯量 以下转动惯量简称为惯量 在本题中称为等效的转动惯量 试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量 飞轮组由若干个飞轮组成 使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上 这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量 例如 假设有4个飞轮 其单个惯量分别是 10 20 40 80kg m2 基础惯量为10kg m2 则可以组成10 20 30 160kg m2的16种数值的机械惯量 但对于等效的转动惯量为45 7kg m2的情况 就不能精确地用机械惯量模拟试验 这个问题的一种解决方法是 把机械惯量设定为40kg m2 然后在制动过程中 让电动机在一定规律的电流控制下参与工作 补偿由于机械惯量不足而缺少的能量 从而满足模拟试验的原则 赛题背景A题制动器试验台的控制方法分析 一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比 本题中比例系数取为1 5A N m 且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量 由于制动器性能的复杂性 电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的 工程实际中常用的计算机控制方法是 把整个制动时间离散化为许多小的时间段 比如10ms为一段 然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与 或瞬时扭矩 设计出本时段驱动电流的值 这个过程逐次进行 直至完成制动 评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小 本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差 通常不考虑观测误差 随机误差和连续问题离散化所产生的误差 赛题背景A题制动器试验台的控制方法分析 1 设车辆单个前轮的滚动半径为0 286m 制动时承受的载荷为6230N 求等效的转动惯量 2 飞轮组由3个外直径1m 内直径0 2m的环形钢制飞轮组成 厚度分别为0 0392m 0 0784m 0 1568m 钢材密度为7810kg m3 基础惯量为10kg m2 问可以组成哪些机械惯量 设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 30 30 kg m2 对于问题1中得到的等效的转动惯量 需要用电动机补偿多大的惯量 3 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型 在问题1和问题2的条件下 假设制动减速度为常数 初始速度为50km h 制动5 0秒后车速为零 计算驱动电流 4 对于与所设计的路试等效的转动惯量为48kg m2 机械惯量为35kg m2 主轴初转速为514转 分钟 末转速为257转 分钟 时间步长为10ms的情况 用某种控制方法试验得到的数据见附表 请对该方法执行的结果进行评价 5 按照第3问导出的数学模型 给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与 或瞬时扭矩 设计本时间段电流值的计算机控制方法 并对该方法进行评价 6 第5问给出的控制方法是否有不足之处 如果有 请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法 并作评价 问题重述A题制动器试验台的控制方法分析 问题一 设车辆单个前轮的滚动半径为0 286m 制动时承受的载荷为6230N 求等效的转动惯量 问题一关键是对载荷概念的理解 通过载荷在车辆平动时具有的能量 找到载荷与等价惯量的纽带 从而建立数学公式求解 A题制动器试验台的控制方法分析 所以当 问题一模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 问题二 A题制动器试验台的控制方法分析 问题二模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 问题二模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型 在问题1和问题2的条件下 假设制动减速度为常数 初始速度为50km h 制动5 0秒后车速为零 计算驱动电流 问题三 A题制动器试验台的控制方法分析 记需要模拟的单轮等效惯量为J 机械惯量为J1 显然在整个制动过程中 主轴转速记为 t 是减函数 把制动扭矩记为M t 由转动方式的牛顿定律 1 主轴是机械惯量为J1的转动机构 有制动扭矩M t 与电流产生的扭矩Me t 相联 于是对合力矩用转动方式的牛顿定律 问题三模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 2 1 代入 2 有 3 或 控制时可由 t 的测量值差分后得到I t 或者由 3 除以 1 得到 即 问题三模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 则有 控制时可由M t 的测量值得到I t 这就是驱动电流依赖于可观测量的数学模型 记初速度为V0 末速度为V1 车轮的滚动半径为R 制动时间为T 则 问题三模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 电机的电流分别为174 78A 电机惯量12 或 262 17A 电机惯量 18 问题三模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 问题四 A题制动器试验台的控制方法分析 将表格绘制成曲线图 图一 制动扭矩随时间变化曲线 图二 转速随时间变化曲线 问题四模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 从图中可以看出 制动扭矩在0 1秒内呈现递增特性 而在1秒之后在一个恒定值附近小范围的波动 可以看出 这是控制系统的调节作用 与之对应的 转速曲线在刚开始一段时间内变动并不规律 在1秒附近有一次突然地减小 而1秒之后则基本符合线性规律 在理想的路试情况下 从初始转速达到末转速的变化过程中车轮角速度应该匀速递减 下图是实验测得的单个车轮的转速数据与理想路试情况下其转速数据的对比 问题四模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 图三 试验转速数据与理想路试情况转速数据的对比图 图中虚线表示理想路试情况下转速随时间变化情况 实线表示实验测得的车轮转速数据 从图中可见 除去开始的一段车轮转速的不规律变化情况外 0 1秒内 其余时间实际数据和理想结果之间吻合程度还是比较好的 问题四模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 将时间离散化 记tk k t t为时间步长 第k个时间段为 tk 1 tk tk时的角速度为 k 制动扭矩为Mk 等效的惯量为J 机械惯量为J1 初始角速度为 0 则到tk时 理论上能量应该减少 问题四模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 实际上能量减少为 从开始到第k步能量的误差 累计的能量误差为 问题四模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 其中N为整个刹车过程所对应的时间分段数 相对误差为 以RE的大小作为评价控制方法优劣的依据 问题四模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 J 48kg m2 0 514转 分钟 N 257转 分钟 t 10ms 计算得到总能量的相对误差为RE 5 30 问题四模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 问题四模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 问题四模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 从图中可以看出 0 1s内理论值与测量值吻合很好 但在1s时 测量值突然减小 而后理论值与测量值以相同的速率线性递减 如果以1s时的测量值作为初始值计算1s后的理论值 则与测量情况完全吻合 微分方程模型没有考虑摩擦力及不确定因素造成的转速的随机变化 这说明而在1秒的时刻 试验中系统受到突然阻力 比如碰到某阻碍物 使得转速突然减小 而其余时间模型与实际情况吻合很好 这说明摩擦力可以忽略不计 试验中的能量误差主要来源于1s时刻的突发阻力 使得转速在其余时间均小于理论值 进而导致制动扭矩做功小于理论数值 综合分析 我们得出的结论是这种控制方法对于转速的模拟情况较好 而应对不确定因素导致的突变时容易产生较大的能量误差 因此需要进行改进 问题四模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 5 按照第3问导出的数学模型 给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与 或瞬时扭矩 设计本时间段电流值的计算机控制方法 并对该方法进行评价 问题五模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 优点 通过扭矩来对驱动电流进行预测 比较直观方便缺陷 利用第n个时间段的驱动扭矩理论数值去控制下一个时间段 这样就产生了滞后误差 问题五模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 6 第5问给出的控制方法是否有不足之处 如果有 请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法 并作评价 问题六 A题制动器试验台的控制方法分析 电流策略设计也有多种方法 不过是应该注意设计出来后还要做误差分析的 好的方法就是总误差最小的 为便于应用 用表示t时刻电动机的扭矩 用表示t时刻的飞轮的扭矩 用 表示t时刻总扭矩 同时用A1 A2 An表示n个时间片段的电动机的扭矩 用B1 B2 Bn表示n个时间片段的飞轮的扭矩 引入 则公式 4 变为 解得 问题六模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 用它构造递推方法 问题六模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 但这种递推方法每一步都会产生能量误差 为减少能量误差采用下面逐步能量补差法进行处理 在不同的k时 计算前K时间段所产生的能量累积误差 令第k 1时间段能量误差等于零解出的Ak 1 通式不好写 但控制时容易实现 用 分别记第k时间段的角速度 电动机的扭矩 制动扭矩 为表述方便 引入符号 使 设前k时间段产生的累积能量误差为 问题六模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 希望在下一时间段中通过Ak 1的确定补充上相应能量 从而总误差逐步减小 又为了表述方便引入符号 使 则 1 其中 为第k时间段所产生的能量截断误差 因此 1 变为 问题六模型建立与求解 A题制动器试验台的控制方法分析 2 显然 只要累积能量误差随着k的增加逐步趋近于零 则问题就可以比较圆