数学理科课件与练习数学第十二章.ppt

第十二章推理证明与算法初步 目录 12 1合情推理与演绎推理 12 2直接证明 间接证明与数学归纳法 12 3算法与程序框图 本章总结 高端 考向透析 本节概念比较抽象 在讲解中可以通过举实例来帮助学生理解概念 对于一些重难点则应注意去强化 例如合情推理与演绎的区别 归纳推理与类比推理的一般步骤等 12 1合情推理与演绎推理 1 合情推理 1 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 称为归纳推理 简言之 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 2 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 简言之 类比推理是由特殊到特殊的推理 3 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜想的推理 我们把它们统称为合情推理 探究与思考 由合情推理所获得的结论一定正确吗 为什么 提示 所得的结论仅仅是一种猜想 不一定正确 其可靠性还需做进一步证明 温馨提示 归纳推理和类比推理都是数学的基本思维过程 能帮助猜测和发现结论 常常能为证明提供思路与方向 其过程可概括为 2 演绎推理 1 演绎推理 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 我们把这种推理称为演绎推理 简言之 演绎推理是由一般到特殊的推理 2 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般性原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 根据一般原理 对特殊情况作出的判断 温馨提示 演绎推理是数学证明的基本推理形式 也是公理化体系所采用的推理形式 因此它可以作为严格的证明工具 1 有一段演绎推理是这样的 直线平行于平面 则平行于平面内所有的直线 已知直线b不在平面 内 直线a在平面 内 直线b 平面 则直线b 直线a 结论显然是错误的 这是因为 A 大前提错误B 小前提错误C 推理形式错误D 非以上错误 解析 本题的大前提不对 直线平行于平面 并不是与平面内的所有直线都平行 答案 A2 如下图为一串白黑相间排列的珠子 按这种规律往下排 那么第22颗珠子的颜色是 A 白色B 黑色C 白色可能性大D 黑色可能性大 解析 每五颗珠子重复一次 其中每五颗珠子为一组 则第22颗珠子落在第5组第2颗 为白色 答案 A 推理能力是高考考查的基本能力之一 它有力地渗透到高中课程的各个章节 对于本节内容的复习 应引导学生先掌握合情推理与演绎推理的基本概念 基本原理 并通过具体实例的讲解及强化训练 促使学生正确掌握归纳推理 类比推理这两类题型的求解方法与技巧 类型一归纳推理的应用 温馨提示 1 归纳推理分为完全归纳和不完全归纳 用归纳推理得到的结论 虽然无须证明 但一定要保证所得命题为真 2 归纳推理的一般步骤是 1 通过观察个别情况发现某些相同性质 2 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 猜想 1 根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律 试猜测第n个图中有 个点 2 2011年山东淄博 函数f x 由下表定义 若a1 1 a2 5 an 2 f an n N 则a2010的值为 切入思维 1 计算图形中相应点的数量 然后寻找它们之间的规律 2 我们可以利用a1 1 a2 5 an 2 f an n N 并结合表格中给出的函数信息求出a3 a4 a5 的值 从而观察出规律 然后求解 解答 1 法一 观察图中五个图形点的个数分别为1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 故第n个图中点的个数为 n 1 n 1 n2 n 1 法二 序号n决定了每图的分支数 而每分支有 n 1 个点 中心再加一点 故有n n 1 1 n2 n 1 2 a1 1 a2 5 an 2 f an n N a3 f a1 f 1 3 a4 f a2 f 5 1 a5 f a3 f 3 5 a6 f a4 f 1 3 由此可知数列 an 是以3为周期的数列 a2010 a670 3 a3 3 答案 1 n2 n 1 2 3 点评 1 法一是根据图形写出数列的前5项 然后分析每一项与该项的序号之间的关系 归纳概括出an与n之间的一般规律 从而作出猜想解决问题 法二是直接由图形观察出规律进而得出结论的 需要较强的观察归纳能力 2 中由题设条件归纳出an值的周期性是解题的关键 变式与思考 1 归纳推理能作为证明的依据吗 2 记第 1 小题中前n个图中的点数之和为Sn 试求Sn的值 3 第 2 小题中 a2012的值为多少 类型二类比推理的应用 温馨提示 1 类比推理是由特殊到特殊的推理 其命题有其特点和求解规律 可以从以下几个方面考虑类比 类比定义 类比性质 类比方法 类比结构 2 类比推理的一般步骤是 1 找到两类对象之间可以确切表示的类似特征 2 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征 从而得出一个明确的命题 猜想 类型三演绎推理的应用 温馨提示 演绎推理最重要 最常见的形式是三段论 它是由大前提 小前提 结论三部分组成 其推理的依据用集合论的观点来讲就是 若集合M的所有元素都具有性质P S是M的子集 那么S中所有元素也都具有性质P 在应用三段论推理来证明问题时 要特别注意明确什么是问题中的大前提和小前提 如图 已知空间四边形ABCD中 点E F分别是AB AD的中点 求证 EF 平面BCD 切入思维 要证线面平行 一般通过证明线线平行来完成 这就需在平面BCD中找到直线同EF平行 结合两个中点 可利用中位线的性质来解决 解答 连接BD 点E F分别是AB AD的中点 EF BD 又 EF 平面BCD BD 平面BCD EF 平面BCD 点评 数学的证明主要是通过演绎推理来进行的 一个复杂的数学命题的推理往往是由多个 三段论 构成的 在本例题证明中 第一步 实际上暗含着一个一般性原理 三角形的中位线平行于第三边 这是大前提 而对特殊的三角形BAD EF是中位线 这是小前提 把一般性原理用于前面的特殊情况 便得到结论EF BD 第二步 同样暗含着一个一般性原理 如果不在一个平面内的直线和 平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 这是大前提 而EF BD EF 平面BCD BD 平面BCD 这是小前提 把一般性原理用于前面的特殊情况 便得到结论EF 平面BCD 变式与思考 1 在演绎推理中 只要前提 大前提 小前提 和推理形式是正确的 结论必定正确 这句话对吗 2 若G H分别为BC CD的中点 则四边形EFGH是平行四边形吗 试说明理由 提示 1 正确 2 是 理由略 类型四合情推理与演绎推理的综合运用 温馨提示 对于某些复杂问题 有时我们往往采用以下策略加以解决 观察 归纳 猜想 证明 这也是数学中发现新规律的一种主要方法 是归纳推理的一种重要体现 而其中的证明过程则显然为演绎推理的应用 1 2010年 陕西 观察下列等式 13 23 32 13 23 33 62 13 23 33 43 102 根据上述规律 第五个等式为 解析 13 23 1 2 2 32 13 23 33 1 2 3 2 62 13 23 33 43 1 2 3 4 2 102 故第五个等式为13 23 33 43 53 63 212 答案 13 23 33 43 53 63 212 考题赏析 本题主要考查学生的归纳推理能力 属容易题 感悟提升1 在归纳推理中 前提和结论之间的联系不是必然的 在前提真实的情况下 结论未必真 运用类比推理 不仅可以跨越各类事物的界限 进行不同事物的对比 而且还可以比较事物的本质属性 也可以比较非本质属性 同时类比推理比归纳推理更富有想象 因而也更具有创造性 2 在推理论证的过程中 一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论才能完成 大前提通常省略不写 或者写在结论后面的小括号内 小前提有时也可以省去 或采取某种简明的格式 3 合情推理得到的结论不一定为真 但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律 为我们提供证明的思路和方法 它有助于发现新的事实 在实际问题的解决中 合情推理和演绎推理紧密联系 相辅相成 4 掌握常见的可以类比的知识点 1 平面几何与立体几何 如 点与点 点与线 线与面 面与体 边长与面积 角与二面角 面积与体积等 2 实数相等关系与 不等关系 方程与不等式 3 实数运算律与向量的运算律 4 等差数列与等比数列的定义与性质 5 三种圆锥曲线的定义与性质 6 不同类知识点之间的相似性质和结论 5 演绎推理是由一般性的命题推出特殊命题的一种推理模式 是一种必然性推理 演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系 因而 只要前提是真实的 推理的形式是正确的 那么结论必定是真实的 但是错误的前提可能导致错误的结论 创新 预测演练 Loading 本节以证明方法为主 教学时 多注意讲述各种方法的具体步骤和适用情形 对于综合法可强调 由因导果 分析法则强调 执果索因 对于反证法可帮助学生归纳出几种常见的矛盾 对于数学归纳法 应指出它主要是用来证明与正整数有关的命题 且在证明过程中必须用到归纳假设 否则就不叫数学归纳法 12 2直接证明 间接证明与数学归纳法 1 两类基本的证明方法 直接证明与间接证明 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 也是解决数学问题时常用的思维方式 2 综合法利用已知条件和某些数学定义 定理 公理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 综合法的证明步骤用符号表示是 P0 已知 P1 P2 Pn 结论 3 分析法从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 用分析法证明的逻辑关系是 B 结论 B1 B2 Bn A 已知 变式与思考 综合法与分析法的区别和联系是什么 提示 分析法是执果索因 综合法是由因寻果 在解决问题时 常将这两种方法结合起来使用 由分析法得思路 由综合法写步骤 4 反证法先假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 反证法是间接证明的一种基本方法 变式与思考 反证法的关键是什么 提示 反证法的关键是在正确的推理下导出矛盾 5 数学归纳法 1 数学归纳法是一种特殊的证明方法 是用来证明与正整数有关的命题的一种方法 2 数学归纳法的证明步骤是 归纳奠基 证明当n取第一个值 n0 时结论成立 归纳递推 假设当n k k N 且k n0 时结论成立 证明当n k 1时结论也成立 3 数学归纳法应用较广泛 可以证明恒等式问题 不等式问题 整除性问题 几何问题 以及与数列有关的问题 温馨提示 数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 两个步骤缺一不可 否则就会导致错误 本节内容着重考查学生的推理论证能力 因此在讲解时要注意强调证明步骤的规范性 条理性 而对于数学归纳法这一重要证题方法 则应做到讲深 讲透 对于数学归纳法可以解决的问题可分类进行讲解 此外还应注意在教学中渗透 猜想 归纳 证明 这一重要的证题思想 类型一综合法的应用 温馨提示 综合法是中学数学证明中常用的一种方法 它是一种从已知到未知 从题设到结论 的逻辑推理方法 即从题设中的已知条件或已证的真实判断 命题 出发 经过一系列的中间推理 最后导出所要求证结论的真实性 综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 类型二分析法的应用 温馨提示 分析法也是中学数学证明的常用方法 其主要过程是从结论出发 逐步寻求使结论成立的充分条件 分析法是 执果索因 它是从要证的结论出发 倒着分析 逐渐地靠近已知事实 需指出的是 分析过程没有必要 步步可逆 类型三反证法的应用 温馨提示 适宜用反证法证明的数学命题 1 结论本身是以否定形式出现的一类命题 2 关于惟一性 存在性的命题 3 结论以 至多 至少 等形式出现的命题 4 结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题 反证法证题的关键是在正确的推理下导出矛盾 矛盾可以是与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾等 类型四数学归纳法的应用 温馨提示 数学归纳法常用于证明与n有关的命题 在高考中常与其他知识相结合 尤其是与数列中的归纳 猜想并证明问题或与数列中的不等式问题相结合综合考查 证明时要灵活应用题目中所给出的已知条件 充分考虑 假设 这一步的应用 不考虑假设而进行的证明都不是数学归纳法 解答 解答 1 2009年 辽宁 如图 已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内 M N分别为AB DF的中点 1 若平面ABCD 平面DCEF 求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值 2 用反证法证明 直线ME与BN是两条异面直线 解析 1 设正方形ABCD DCEF的边长为2 以D为坐标原点 分别以射线DC DF DA为x y z轴的正半轴建立空间直角坐标系 如图 2 假设直线ME与BN共面 则AB 平面MBEN 且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知 两正方形不共面 故AB 平面DCEF 又AB CD AB 平面DCEF 而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线 AB EN 又AB CD EF EN EF 这与EN EF E矛盾 故假设不成立 ME与BN不共面 是异面直线 考题赏析 本小题综合考查空间位置关系 线面 角以及异面直线的证明 立体几何中存在着不少正面难以突破的问题 如一些起始性命题 定理以及两直线异面 两平面相交的判断等 常考虑采用反证法 考题赏析 本小题主要考查数列的通项公式 等比数列的定义 递推数列 不等式等基础知识和基本技能 同时考查分析 归纳 探究和推理论证问题的能力 在解题过程中也渗透了对函数与方程思想 化归与转化思想的考查 感悟提升1 综合法格式 从已知条件出发 顺着推证 由 已知 得 推知 由 推知 得 未知 逐步推出求证的结论 这就是顺推法的格式 它的常见书面表达是 或 2 分析法格式 与综合法正好相反 它是从要求证的结论出发 倒着分析 由未知想需知 由需知逐渐地靠近已知 已知条件 已经学过的定义 定理 公理 公式 法则等等 这种证明方法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的 它的常见书面表达是 要证 只需 或 3 反证法常常是解决某些 疑难 问题的有力工具 是数学证明中的一件有力武器 在利用反证法证题时 要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理 否则 将出现循环论证的错误 4 使用反证法证明问题时 准确地作出反设 即否定结论 是正确运用反证法的前提 常见的 结论词 与 反设词 列表如下 5 学习和领会数学归纳法的关键是理解数学归纳法的两个步骤各起什么作用 而不是死套它的步骤解题 应用数学归纳法要运用 归纳假设 没有运用 归纳假设 的证明不是数学归纳法 证题时要注意两凑 一凑归纳假设 二凑目标 6 由n k到n k 1的证明是数学归纳法的难点 突破难点的关键是掌握由k到k 1的推证方法 在运用归纳假设时 应分析P k 与P k 1 的差异及联系 利用拆 添 并 放 缩等手段 或从归纳假设出发 或从P k 1 中分离出P k 再进行局部调整 创新 预测演练 Loading 在学习本节内容时 要注意讲清广义的算法与狭义的算法的区别 程序框图作为高考的高频考点 则应作为讲解的重点 在教学中要着重复习框图的画法及注意事项 以及算法的三种基本逻辑结构的区别与联系 12 3算法与程序框图 1 算法 1 定义 在数学中 算法通常是指可以用计算机来解决某一类问题有限的确切的步骤 而且能够在有限步骤之内完成 2 应用 算法通常可以编成计算机程序 让计算机执行并解决问题 2 程序框图 1 定义 程序框图又称流程图 是一种用规定的图形 指向线 文字说明来表示算法的图形 2 说明 在程序框图中 一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤 带有方向箭头的流程线将程序连接起来 表示算法步骤的顺序 3 程序框图中的图形符号的意义 探究与思考 程序框图中的图形符号都可画成矩形吗 1 下列关于算法的说法中 正确的有 求解某一类问题的算法是唯一的 算法必须在有限步骤操作之后停止 算法的每一步操作必须是明确的 不能有歧义或模糊 算法执行后一定产生确定的结果 A 1个B 2个C 3个D 4个 解析 由算法的特征 知 正确 选C 答案 C 2 给出下列程序框图 其功能是 2 给出下列程序框图 其功能是 2 给出下列程序框图 其功能是 A 求a b的值B 求b a的值C 求 a b 的值D 以上都不对 解析 由条件结构功能可知应选C 答案 C 3 2010年天津六校高三第三次联考 已知数列 an 中 a1 1 an 1 an n 利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项 则判断框中应填的语句是 A n 10B n 10C n 9D n 9 解析 由an 1 an n 知求an 即n 9时 计算a9 9的结果 故选D 答案 D 5 2009年广东广州三校一模 用流程线将下列图形符号连接成一个求实数x的绝对值的程序框图 则所连框图为 解析 如图所示 程序框图的应用是高考对算法考查的主要内容 因此在复习本节时 一是要把握算法的基本含义及思想 二是要把握算法的三种逻辑结构及其相应的程序框图 特别是条件结构与循环结构的格式与要求 建议本节课将讲解的重点放在程序框图的设计与应用上 类型一识别程序框图 温馨提示 识别程序框图是高考的热点 其常见题型有看图计算题 辨图题 考查的热点问题有 比较大小问题 交换问题 赋值问题 分段函数问题 累加累乘问题等 其中选择结构和循环结构为考查的重点 根据程序框图解答问题 关键是能够读懂图 读图一般都是按照框图结构从上往下 从左往右 依箭头的指向进行 1 2010年山东烟台高三模拟 给出一个如图所示的程序框图 若要使输入的x值与输出的y值相等 则这样的x值的个数是 A 1B 2C 3D 4 2 2008年 山东 执行右边的程序框图 若p 0 8 则输出的n 切入思维 1 本题涉及条件框图 由框图写出对应的分段函数解析式是求解关键 2 观察程序框图 明确是何种循环结构 明确循环体与循环变量是解决问题的关键 解答 1 根据题意 本程序框图表示分段函数 答案 1 C 2 4 点评 1 算法的基本逻辑结构有三种 即顺序结构 条件结构和循环结构 其中顺序结构是最简单的结构 也是最基本的结构 当问题涉及一些判断 分类讨论 或者比较大小时 应采用条件结构 当反复执行某一步骤或过程时 应采用循环结构 解决此类问题的关 类型二补充程序框图 温馨提示 补充程序框图也是一种重点题型 它的特点是在框图中设置空出一些关键步骤 解决这类题目的基本策略是 从已知条件出发 对照框图中的已知内容来明确空格中所填写的内容 图1是某县参加2010年高考的学生身高条形统计图 从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1 A2 A10 如A2表示身高 单位 cm 在 150 155 内的学生人数 图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法的程序框图 现要统计身高在160 180cm 含160cm 不含180cm 的学生人数 那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是 A i 6 B i 7 C i 8 D i 9 切入思维 本题是算法与统计问题的交汇 解决时要把两图紧密联系起来求解 解答 根据题意可知 输出结果应该是A4 A5 A6 A7 由于i的初始值为4 因此判断框中应填 i 8 故选C 答案 C 点评 本题的命题角度较为新颖 信息量较大 以条形统计图为知识点进行铺垫 介绍了算法的程序框图在各个数据的引入来源 其考查点集中于循环结构的终止条 件的判断 考查了考生进行合理过程的推理与迅速作出判断的解题能力 变式与思考 1 顺序结构 条件结构与循环结构分别适用于哪些算法问题 2 若要统计身高在150 180cm的学生人数 则框图中i的初始值应取几 提示 1 顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构 条件结构主要用于一些需要进行条件判断的算法 如分段函数求值 大小关系判断等 循环结构主要用于一些有规律的重复计算 如累加求和 累乘求积等 2 2 类型三算法的实际应用 温馨提示 实际生活中很多问题都可以利用程序框图的方法处理 而解决实际问题的方法本身就是对算法的一个体现 解决此类问题时 首先要认真分析 联系解决此类问题的数学方法 综合考虑此类问题中可能涉及的问题 明确选择合适的算法逻辑结构来画出程序框图 12分 到银行办理个人异地汇款 不超过100万 时 银行要收取一定的手续费 汇款额不超过100元 收取1元手续费 超过100元但不超过5000元 按汇款额的1 收取手续费 超过5000元 一律收取50元手续费 写出汇款额为x元时 银行收取的手续费y元的一个算法 并画出程序框图 由此看出求手续费时 需先判断x的取值范围 故应由条件结构来实现 标准解答 算法如下 第一步 输入x 2分第二步 若x 100 则y 1 若1001000000 则结束算法 6分程序框图如图所示 12分 点评提升 本题的实质是求分段函数的函数值 此类算法一般采用条件结构 在画其框图时 若函数是分两段的函数 则只需引入一个判断框 若函数是分三段的函数 则需要引入两个判断框 四段的函数则需要引入三个判断框 以此类推 下列三图是三位同学为计算22 42 62 1002而绘制的算法程序框图 根据程序框图回答后面的问题 其中正确的程序框图有哪几个 错误的程序框图有哪几个 错误的要指出错在哪里 解析 以上三个程序框图都不正确 图1所示的程序框图中 计数变量是i 22 42 62 1002中 指数都是2 而底数是变化的 相邻两项底数相差2 因此计数变量要加2 故图1有三处错误 第一处错误 第二个处理框中的 i 42 应该是 i 4 图2所示的程序框图中共有四处错误 第一处错误 流程线没有箭头显示程序的执行顺序 第二处错误 第三个处理框中的内容应是 P P i2 而不是 P P i 第三处错误 判断框的流程线没有标明 是 和 否 第四处错误 在第三个处理框和判断过程中漏掉了循环中起主要作用的框图 内容为i i 2 否则程序无法退出循环 图3所示的程序框图中有一处错误 判断框中的循环条件错误 导致无法执行循环体 判断框中的内容应是 i 100 1 2009年 安徽 程序框图 即算法流程图 如图所示 其输出结果是 解析 由程序框图知 循环体被执行后a的值依次为3 7 15 31 63 127 故输出的结果是127 答案 127 考题赏析 本题主要考查循环结构 程序框图等知识 为读图计算题 将a 1代入循环体依次执行下去即得结果 属容易题 2 2010年 天津 阅读右边的程序框图 若输出s的值为 7 则判断框内可填写 A i 3 B i 4 C i 5 D i 6 解析 由程序框图知 s 2 1 3 5 要使输出s的值为 7 即s 2 1 3 5 只需要i 5即可 故选D 答案 D 考题赏析 本小题为补图题 主要考查程序框图 数列求和等基础知识 考查同学们