维随机变量及其联合分布.ppt

3 1二维随机变量及其联合分布 一 二维随机变量的概念在射击时 弹着点是目标上的一个位置 它与横坐标和纵坐标有关 弹着点受两个变量的影响 在工程结构设计中 出于可靠性的考虑 需要考察构件的抗拉力与荷载效应 可靠性也受着两个变量的影响 与一维随机变量类似 一般地我们可定义二维随机变量如下 定义3 1设是一个随机试验 和是定义在其样本空间上的随机变量 由它们构成的向量称为定义在样本空间上的二维随机变量或二维随机向量 简记为 依次称为二维随机变量的第1个分量 或坐标 第二个分量 或坐标 一般地 设是一个随机试验 是定义在其样本空间上n维随机变量或n维随机向量 简记为 称为第个分量 或坐标 二 二维随机变量的联合分布 在研究随机向量的概率特征时 除每个随机变量的概率特征外 还要研究它们的联合概率特征 后者可以完全决定前者 但是前者一般不能完全决定后者 因此 只研究单个随机变量的分布是不够的 还必须研究随机向量作为一个整体的联合分布 对于二维随机变量 作为整体的分布称为二维随机变量的联合分布 JointDistribution 与一维情形类似 为了研究二维随机变量的联合分布 我们引入二维随机变量的分布函数的概念 定义3 2设是定义在样本空间上的二维随机变量 对于任意的实数 称函数 3 1 为二维随机变量的联合分布函数 JointDistributionFunction 简称的分布函数 以后 将 3 1 中的表达式简记为 显然 分布函数在平面上任意点处的函数值就是随机点落在点左下方的整个无穷区域内的概率 如图3 1所示 联合分布函数具有下列性质由定义3 2和图3 2易知 对任意的 有1 3 2 从而 0 3 3 2 是和的单调非降函数 证略 3 对于平面上的任意点 且对任意固定的 对任意固定的 3 4 这可借助于几何直观进行说明 4 关于和均右连续 即 三 二维离散型随机变量及其联合分布律 与一维随机变量的情形类似 我们这里讨论的也是离散型和连续型这两种类型的二维随机变量 定义3 3若二维随机变量的所有可能取值只有有限或可列无限个 则称为二维离散型随机变量 显然 若是二维离散型随机变量 则其分量和都是一维离散型随机变量 通常 我们用联合概率分布律 列 定义3 4设是二维离散型随机变量 它所有可能的取值为 则称 3 5 为的联合分布律 列 或联合概率分布 JointProbabilityDistribution 简称分布律 分布律一般用表格形式表示 3 6 显然 二维离散型随机变量的分布列满足 1 非负性 2 规范性 3 7 其联合分布函数为 3 8 四 二维连续型随机变量及联合概率密度函数 与一维情形类似 我们有如下定义 定义3 5设二维随机变量的分布函数为 若存在非负可积函数 使得对于任意实数和 有 3 9 则称为二维连续型随机变量 称为的联合概率密度函数 JointProbabilityDensityFunction 简称的概率密度 类似地 的联合概率密度函数具有性质 证略 1 非负性 2 规范性 3 10 3 对于平面上任意可积的区域有 3 11 4 若除可数点外的二阶混合偏导数处处连续 则 3 12 是的一个联合概率密度函数 由性质 3 知 在几何上 表示空间的一个曲面 的值等于以为底 以曲面为顶的曲顶柱体的体积 设是平面上的某个区域 其面积为 若 X Y 的概率密度函数 3 13 则称服从区域上的均匀分布 记为 若的概率密度函数为其中均为常数 则称服从参数为 的二维正态分布 记为 3 2边缘分布 二维随机变量作为一个整体 它具有联合分布函数 而和都是一维随机变量 它们也有自身的概率分布 分别称为关于X和Y的边缘分布 MarginalDistribution 其相应的分布函数依次称为二维随机变量是关于和关于的边缘分布函数 MarginalDistributionFunction 易知 3 15 3 16 下面分别讨论二维离散型随机变量和二维连续型随机变量的边缘分布 设是二维离散型随机变量 其联合分布律为 则关于的边缘分布列为 一 离散型随机变量的边缘分布 即 3 17 同理关于的边缘分布列为 3 18 离散型随机变量的边缘分布可从联合分布列的表格形式直接得到 见下表 二 连续型随机变量的边缘概率密度函数 设是二维连续型随机变量 其联合概率密度函数为 由知 3 19 同理 3 20 3 3条件分布与独立性 一 条件分布定义3 5设是二维离散型随机变量 对于固定 若 则称 3 21 为在条件下随机变量的条件分布律 ConditionalProbabilityDistribution 简称条件分布 当是连续型随机变量时 由于对任意实数X和Y 有 因此 不能直接用条件概率公式 此时我们用极限的方法引入 条件分布函数 的概念 设的联合概率密度函数为 关于Y的边缘概率密度函数为 给定y 对于任意给定的 0 当时 考虑条件概率上式给出了在条件下的条件分布函数 为此我们引入以下定义 定义3 7给定y 对于任意给定的 0 若对任意的实数x 极限存在 则称此极限为在条件下的条件分布函数 记为 设的联合分布函数为 概率密度函数为 若在点处连续 Y的边缘概率密度函数为连续 且 则有 亦即 3 22 这样 若记为在的条件下X的条件概率密度函数 则由上式知 3 23 类似地 我们可以定义和 二 独立性 由 1 5知 若 则称A与B是相互独立的 类似可引出随机变量的独立性概念 定义3 8设是二维随机变量 若对任意实数x和y 有 即 3 24 则称X与Y是相互独立的 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念 在大多数情形下 概率论和数理统计是以独立随机变量作为其主要研究对象的 对于离散型和连续型随机变量 我们分别有下列的定理 定理3 1设为二维离散型随机变量 其联合分布律为则Y与X相互独立的充要条件是对于任意的 有 3 25 即有 成立 定理3 2设是二维连续型随机变量 其联合概率密度函数为 则X与Y相互独立的充要条件是对平面上任意点 几乎处处有 3 26 这里的 几乎处处 可理解为平面上使 3 26 不成立的点的全体只能形成面积为零的区域 证明从略 定理3 3若 则X与Y相互独立的充要条件是 0 更一般地 二维随机变量的有关概念也可以推广到n维随机变量 以推广到n维随机变量的情形 比如 n维随机变量的分布函数定义为 其中为任意实数 若n维随机变量的分布函数已知 则的k 维边缘分布函数随之而定 如关于 关于的边缘分布函数就分别为 若对任意的实数有 则称是相互独立的 进一步 若对任意的实数有 其中F 依次为 的分布函数 则称随机变量和是相互独立的 现在 我们不加证明地给出一个有用结论 定理3 4若和相互独立 则 1 与相互独立 i 1 2 m j 1 2 n 2 若h g是连续函数 则h和也相互独立 3 4二维随机变量函数的分布 上一章已经讨论过一维随机变量函数的分布 同样 我们可以讨论二维随机变量函数的分布 一 问题的提法设是n维随机变量 其联合分布已知 是n元实连续函数 则的分布称为函数的分布 需要注意的是 n维随机变量函数形成的随机变量仍然是一维随机变量 这里我们主要讨论二维随机变量函数的分布问题 解决这类问题的关键是掌握其基本思想方法 二 二维随机变量函数的分布 离散型随机变量函数的分布若X与Y相互独立 且 则 这种性质称为可加性 因此泊松分布具有可加性 类似地 二项分布也具有可加性 若相互独立 则 2 连续型随机变量函数的分布设为联合概率密度函数 当是连续函数时 则的概率密度函数可如下获取 第一步 求出 对任意 第二步 根据上式 利用分布函数与概率密度的关系 或对求导 即可得到 上述做法就是求二维随机变量函数分布的一般方法 应充分理解和熟练掌握 下面讨论几个具体的随机变量函数的分布 设是二维连续型随机变量 是其联合概率密度函数 图3 6Dz 1 和的分布求的概率密度函数 对于任意的实数Z 根据定义 由 3 11 有 对固定的z和y 先作变换由连续型随机变量概率密度函数的定义可得 3 27 同理 3 28 特别当与相互独立时 于是 3 29 3 30 定理3 5若X与Y相互独立 且 则 3 31 更进一步 还有推论1若 相互独立且 i 1 2 n 则 3 32 由于正态随机变量的线性函数是正态随机变量 因而我们还有 推论2相互独立的正态随机变量的线性组合仍然是正态随机变量 2 商的分布求 Y 0 的概率密度函数 对于任意的实数z 根据定义2 8 由 3 11 有 对固定的y和z 先作变换 则有 所以 3 33 若X与Y相互独立 则