空间距离及其计算、折叠问题.ppt

新课标高中一轮总复习 第九单元直线 平面 简单几何体和空间向量 第66讲 空间距离及其计算 折叠问题 1 了解空间各种距离的概念 掌握求空间距离的一般方法 2 能熟练地将直线与平面之间的距离 两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离 3 了解折叠问题的基本内涵 掌握分析求解折叠问题的基本原则 1 在长方体ABCD A1B1C1D1中 若AB BC a AA1 2a 则点A到直线A1C的距离为 C A aB aC aD a 如图 点A到直线A1C的距离 即为Rt A1AC斜边上的高AE 由AB BC a 得AC a 又AA1 2a 所以A1C a 所以AE a 2 在正三棱柱ABC A1B1C1中 若AB 2 AA1 1 则点A到平面A1BC的距离为 B A B C D 取BC的中点M 连接AM A1M 可证平面A1AM 平面A1BC 作AH A1M 垂足为H 则AH 平面A1BC 在Rt A1AM中 AA1 1 AM A1M 2 故AH 3 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a E F分别是B1C1 BB1的中点 则 1 直线EF与CD间的距离为 2 直线EF与平面D1AC1的距离是 3 平面AB1D1与平面C1BD间的距离是 a a a 1 取EF的中点G 连接CG 则CG为异面直线EF与CD的公垂线段 且CG a 2 易知EF 平面D1AC1 过E作EH BC1于H 因为D1C1 平面BB1C1C 所以D1C1 EH 故EH 平面D1AC1 从而EF与平面D1AC1的距离为EH a 3 因为平面AB1D1 平面C1BD 连接A1C 设A1C分别与平面AB1D1和平面C1BD交于O1 O2 则O1O2为所求距离 且O1O2 A1C a 4 如图 四边形ABCD中 AD BC AD AB BCD 45 BAD 90 将 ABD沿BD折起 使平面ABD 平面BCD 构成几何体ABCD 则在几何体ABCD中 下列命题中正确的是 D A 平面ABD 平面ABCB 平面ADC 平面BCDC 平面ABC 平面BCDD 平面ADC 平面ABC 由已知BA AD CD BD 又平面ABD 平面BCD 所以CD 平面ABD 从而CD AB 又BA AD 故AB 平面ADC 又AB 平面ABC 所以平面ABC 平面ADC 一 空间距离1 两点间的距离 连接两点的 的长度 2 点到直线的距离 从直线外一点向直线引垂线 的长度 3 点到平面的距离 自点向平面引垂线 的长度 4 平行直线间的距离 从两条平行线中的一条上任意取一点向另一条直线引垂线 的长度 线段 点到垂足之间线段 点到垂足间线段 到垂足间线段 点 5 异面直线间的距离 两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的 的长度 6 直线与平面间的距离 如果一条直线和一个平面平行 从这条直线上任意一点向平面引垂线 的长度 7 两平行平面间的距离 夹在两平行平面之间的 的长度 线段 这点到垂足间线段 公垂线段 二 求距离的一般方法与步骤1 两点间距离 点到直线的距离和两平行线间的距离其实是平面几何中的问题 可用 求解 2 平行直线与平面间的距离 平行平面间的距离可归结为求 的距离 3 求距离的基本步骤是 找出或作出有关距离的图形 证明它符合定义 在平面图形内计算 平面几何方法 点面间 三 折叠问题1 概念 将平面图形沿某直线翻折成立体图形 再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算 就是折叠问题 2 折叠问题分析求解原则 1 折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系 2 折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持 不变 例1 题型一点面距离和线面距离及求法 如图 在梯形ABCD中 AD BC ABC AB BC AD a PA 平面ABCD 且PA a 点F在AD上 且CF PC 1 求点A到平面PCF的距离 2 求AD与平面PBC间的距离 1 通过论证平面PAC 平面PCF 找到点A在平面PCF上的射影H位于PC上 然后解三角形求AH的长 2 由于AD 平面PBC 可考虑依据问题情境在AD上选择具备特殊位置的点A 然后推理过A点的平面PAD 平面PBC 找到过点A的垂线 方法一 1 连接AC 因为PA 平面ABCD 所以PA CF 又CF PC PA PC P 所以CF 平面PAC 所以平面PFC 平面PAC 过点A作AH PC于H 所以PH 平面PCF 即AH为点A到平面PCF的距离 由已知AB BC a 所以AC a PC a 在Rt PAC中 得AH a 2 因为BC AD BC 平面PBC 所以AD 平面PBC 过A作AE PB于E 又AE BC PB BC B 所以AE 平面PBC 所以AE的长度即为所求的距离 在等腰直角三角形PAB中 PA AB a 所以AE a 方法二 1 建立空间直角坐标系 如图 则A 0 0 0 B a 0 0 C a a 0 D 0 3a 0 P 0 0 a 设F 0 y 0 则 a y a 0 a a a 因为PC CF 所以 所以 a a a y a 0 a a2 a y a 0 所以y 2a 即F 0 2a 0 设平面PCF的法向量为n x y z n ax ay 0 x yn ax ay az 0z 2x 取x 1 得n 1 1 2 设点A到平面PCF的距离为d a a 0 则d a 则 解得 2 由于 a 0 a 0 a 0 0 0 a 设平面PBC的法向量为n1 x0 y0 z0 n1 ax0 az0 0 x0 z0n1 ay0 0y0 0 取x0 1 得n1 1 0 1 设点A到平面PBC的距离为h 因为AD 平面PBC 所以h为AD到平面PBC的距离 h a 由 得 线面距离 面面距离通常情况下化归为点面距离求解 求空间点面距离 若利用传统构造法 关键是 找射影 一般是应用垂面法求射影 若利用向量法 建系和求平面法向量是关键 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 2 AB 1 ABC 90 点D E分别在BB1 A1D上 且B1E A1D 四棱锥C ABDA1与直三棱柱的体积之比为3 5 求异面直线DE与B1C1的距离 因为B1C1 A1B1 且B1C1 BB1 A1B1 BB1 B1 故B1C1 平面A1ABB1 从而B1C1 B1E 又B1E DE 故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线段 设BD的长为x 则四棱锥C ABDA1的体积为V1 S四边形ABDA1 BC DB A1A AB BC x 2 BC 而直三棱柱ABC A1B1C1的体积为V2 S ABC AA1 AB BC AA1 BC 由已知条件V1 V2 3 5 故 x 2 解得x 从而B1D B1B DB 在Rt A1B1D中 A1D 又因为S A1B1D A1D B1E A1B1 B1D 故B1E 例2 题型二折叠问题 在直角梯形ABCD中 D BAD 90 AD DC AB a 如图 将 ADC沿AC折起 使D到D 记平面ACD 为 平面ABC为 平面BCD 为 如图 1 若二面角 AC 为直二面角 求二面角 BC 的大小 2 若二面角 AC 为60 求三棱锥D ABC的体积 1 在直角梯形ABCD中 由已知 DAC为等腰直角三角形 所以AC a CAB 45 过点C作CH AB 由AB 2a 可推得AC BC a 所以AC BC 取AC的中点E 连接D E 则D E AC 又二面角 AC 为直二面角 所以D E 又因为BC 平面 所以BC D E 所以BC 而D C 所以BC D C 所以 D CA为二面角 BC 的平面角 由于 D CA 45 所以二面角 BC 的大小为45 2 取AC的中点E 连接D E 再过点D 作D O 垂足为O 连接OE 因为AC D E 所以AC OE 所以 D EO是二面角 AC 的平面角 所以 D EO 60 在Rt D OE中 D E AC a D O sin60 D E a 所VD ABC S ABC D O AC BC D O a a a a3 分析求解折叠问题的关键是分辨折叠前后的不变量和不变关系 在求解过程中充分利用不变量和不变关系 如图 已知四边形ABCD是上 下底边长分别为2和6 高为3的等腰梯形 如图 将它沿对称轴OO1折成直二面角 如图 1 证明 AC BO1 2 求二面角O AC O1的正弦值 方法一 1 证明 由题设知 OA OO1 OB OO1 所以 AOB是所折成的直二面角的平面角 即OA OB 从而AO 平面OBCO1 OC是AC在面OBCO1内的射影 因为tan OO1B tan O1OC 所以 OO1B 60 O1OC 30 从而OC BO1 由线面垂直得AC BO1 2 由 1 知 AC BO1 OC BO1 知BO1 平面AOC 设OC O1B E 过点E作EF AC于F 连接O1F 则EF是O1F在平面AOC内的射影 由线面垂直得AC O1F 所以 O1FE是二面角O AC O1的平面角 由已知 OA 3 OO1 O1C 1 所以O1A 2 AC 从而O1F 又O1E OO1 sin30 所以sin O1FE 方法二 1 证明 由题设知OA OO1 OB OO1 所以 AOB是所折成的直二面角的平面角 即OA OB 故可以O为原点 OA OB OO1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如右图 则相关各点的坐标是A 3 0 0 B 0 3 0 C 0 1 O1 0 0 从而 3 1 0 3 故 3 0 所以AC BO1 2 因为 3 0 所以BO1 OC 由 1 知AC BO1 AC OC C 所以BO1 平面OAC 所以是平面OAC的一个法向量 设n x y z 是平面O1AC的一个法向量 n 0 3x y z 0n 0y 0 由 得 取z 得n 1 0 设二面角O AC O1的大小为 由n 的方向可知 n 所以cos cos n 则sin 即二面角O AC O1的正弦值为 1 对于空间中的距离 我们主要研究点到平面的距离 直线和平面的距离及两个平行平面之间的距离 其重点是点到直线 点到平面的距离 点到平面的距离要注意其作法 一般要利用面面垂直的性质来做 求点到平面的距离也可以用等体积法 2 求距离传统的方法和步骤是 一作 二证 三计算 即先作出表示距离的线段 再证明它是所求的距离 然后再计算 其中第二步证明易被忽略 应当引起重视 3 在求距离时 要注意各种距离的转化 在选择求距离的方法时 也要灵活 一般来说 空间关系在不太复杂的情况下使用传统方法 而在距离不好作 空间关系较复杂的条件下可用等积法 4 将平面图形折叠 使形成立体图形 通过对折叠问题的研究进一步树立空间概念 提高空间想象能力 5 平面图形折叠成空间图形 主要抓住变与不变的量 所谓不变的量 即是指 未折坏 的元素 包括 未折坏 的边和角 一般优先标出未折坏的直角 从而观察是否存在线面垂直 然后标出其他特殊角 以及所有不变的线段 2009 重庆卷 如图所示 在四棱锥S ABCD中 AD BC且AD CD 平面CSD 平面ABCD CS DS CS 2AD 2 E为BS的中点 CE 2 AS 3 求 1 点A到平面BCS的距离 2 二面角E CD A的大小 方法一 1 因为AD BC 且BC 平面BCS 所以AD 平面BCS 从而点A到平面BCS的距离等于点D到平面BSC的距离 因为平面CSD 平面ABCD AD CD 故AD 平面CSD 从而AD DS 由AD BC 得BC DS 又CS DS 故DS 平面BSC 从而DS为点D到平面BCS的距离 因此 在Rt ADS中 DS 3 1 2 2 如图所示 过点E作EG CD 交CD于点G 又过点G作GH CD 交AB于H 故 EGH为二面角E CD A的平面角 记为 过点E作EF BC 交CS于点F 连接GF 故 EGF 由于E为BS的中点 F为CS的中点故CF CS 1 在Rt CFE中 EF 2 1 1 因为EF 平面CSD 又EG CD 故可证得FG CD 从而又可得 CGF CSD 因此 而在Rt CSD中 CD 故FG DS 在Rt EFG中 tan EGF 可得 EGF 故所求二面角的大小为 方法二 1 如图所示 以S O 为坐标原点 射线SD SC分别为x轴 y轴的正方向 建立空间直角坐标系 设A xA yA zA 因为平面COD 平面ABCD AD CD 故AD 平面COD 即点A在xOz平面上 因此yA 0 zA 1 又xA2 12 2 3 xA 0 解得xA 从而A 0 1 因AD BC 故BC 平面CSD 即平面BCS与平面yOz重合 从而