高中数学第四章导数应用1.2函数的极值学案北师大版选修1_1.doc

1.2函数的极值学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件知识点一函数极值的概念函数yf(x)的图像如图所示思考1函数在点xa的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？思考2f(a)为多少？在点xa附近，函数的导数的符号有什么规律？思考3函数在xb点处的情况呢？梳理(1)如图1，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值(2)如图2，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点知识点二求函数yf(x)的极值的步骤1求出导数f(x)2解方程f(x)0.3对于方程f(x)0的每一个解x0，分析f(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：(1)若f(x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点；(2)若f(x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点；(3)若f(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点类型一判断与求解极值(点)例1判断下列函数有无极值，如果有极值，请求出极值；如果无极值，请说明理由(1)f(x)x34；(2)f(x)x3x24x.反思与感悟(1)导数值为0的点不一定是函数的极值点，函数在某点的导数值为0是取得极值的必要条件，而不是充分条件(2)求可导函数f(x)的极值的步骤确定函数的定义域，求导数f(x)；求f(x)的拐点，即求方程f(x)0的根；利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值特别提醒：在判断f(x)的符号时，借助图像也可判断f(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断跟踪训练1求下列函数的极值：(1)f(x)2x33x212x1；(2)f(x)3ln x.类型二已知函数极值求参数例2已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，则a_，b_.引申探究1本例的其他条件不变，如果直线yk与函数图像有三个交点，求k的取值范围2若本例的条件改为“x3，x1是f(x)x33ax2bxa2的两个极值点”，求常数a，b的值反思与感悟已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性跟踪训练2设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由类型三函数极值的综合应用例3函数f(x)x34x4的图像与直线ya恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是_反思与感悟利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便跟踪训练3已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图像与yf(x)5xm的图像有三个不同的交点，求实数m的取值范围1.已知函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图像如图，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()A1 B2 C3 D42已知函数f(x)ax3x2x5在(，)上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为()Aa BaCa0)(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)是单调函数，求a的取值范围1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2函数的极值是函数的局部性质可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题答案精析问题导学知识点一思考1函数在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近的其他点的函数值都小思考2f(a)0，在点xa附近的左侧f(x)0.思考3函数在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，所以函数f(x)在R上为增函数，无极值跟踪训练1解(1)函数f(x)2x33x212x1的定义域为R，f(x)6x26x126(x2)(x1)，解方程6(x2)(x1)0，得x12，x21.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值21极小值6所以当x2时，f(x)取极大值21；当x1时，f(x)取极小值6.(2)函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值3因此当x1时，f(x)有极小值3，无极大值例229解析f(x)3x26axb，且函数f(x)在x1处有极值0.即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(，3)时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为增函数故f(x)在x1处取得极小值，a2，b9.引申探究1解由例2知f(x)极小值f(1)0，f(x)极大值f(3)4，由图像可知当0k0)，故f(x)x1.当x(0,1)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0.故在x1处函数f(x)取得极小值，在x2处函数f(x)取得极大值ln 2.所以x1是函数f(x)的极小值点，x2是函数f(x)的极大值点例3(，)解析f(x)x34x4，f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值当x2时，函数取得极大值f(2)；当x2时，函数取得极小值f(2)，且f(x)在(，2)和(2，)上是增加的，在(2,2)上是减少的根据函数单调性、极值情况，它的图像大致如图所示，结合图像知a.跟踪训练3解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m，则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图像与x轴有三个不同的交点g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x)0，得x或x4.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，)(，4)4(4，)g(x)00g(x)m16m则函数g(x)的极大值为g()m，极小值为g(4)16m.由yf(x)的图像与yf(x)5xm的图像有三个不同交点，得解得16m.当堂训练1B2.C3.D4.25解f(x).(1)当a时，f