几何学走向何方.doc

几何学走向何方？概要 科教乃是兴国之途，而基础教育乃立国之本。在基础教育中，数学教育是开发智力和培养逻辑思维的主要学科。自古以来，它一直是教导学生善于认识问题、善于解决问题最佳园地。今天，将集中考察几何学的发展史。题目是,几何学走向何方？我们把它分为两讲：1 从经验几何到解析几何。2 几何学的进一步发展。一 演绎几何的诞生今天中学学的几何学是演绎几何学，它是如何诞生的？它诞生在什么时间，什么地方？它的代表作是什么？ 1.从经验几何到演绎几何。1数和形的交响曲。数学包含两个最基本的组成部分：数和形。数是算术和代数的研究对象，形是几何学的研究对象。数和形的交响曲构成了数学发展史的主旋律。数是无处不在的，因为任何文明想取得科学上的进步，都需要大量关于数的信息。形也是无处不在的，地球、太阳、月亮和我们自身都是一种几何形体。数学史就是数和形的发展史。但是，在数学史上，数的学问和形的学问并不是肩并肩地前进，而是交替前进，时而数的学问领先，时而形的学问领先。今天我们的研究集中在形的学问上。2通向形的学问。古人是如何研究大自然中丰富多彩的“形”和自己创造的各式各样的“形”呢？他们从观察和实验开始，先研究简单的,再研究复杂的，先研究具体的,再研究抽象的。这样，他们就不断积累几何学的知识。开初这些知识是零散的，孤立的，而后经过整理，成为一个理论体系，几何学就诞生了，并继续发展，到今天几何学已经是一个大的学科体系，其中包含绚丽多彩的各种分支。需要强调的是，观察和实验的研究方法是一种基本的研究方法，直到今天仍然重要。3经验几何学。几何学是什么时候诞生的？诞生在什么地方？第一个问题无法回答，源头茫昧信难觅，因为年代太久远了。至于第二个问题，答案是清楚的：在东方，开始于中国；在西方，开始于埃及和巴比伦。几何学的诞生与人类的生产实践活动密切相关。希腊的欧几里得评论家普罗克洛斯（Proclus）这样说：“依据很多的实证，几何学是埃及人创造的,且发生于土地测量。由于尼罗河泛滥，经常冲毁界线，测量就变成必要的工作。无可置疑，这类科学和其他科学一样，都发生于人类的需要。发生起来的任何知识总是从不完全走向完全。它起源于感性，并逐渐变成我们研究的对象，最后成为理性的财富。”这样，在西方，经验几何就在埃及同时也在巴比伦诞生了。在经验几何阶段，人们对现实空间的各种物体的形状、性质以及它们之间的相互关系进行观察和实验，逐渐确立了空间的一些基本概念和基本性质。经验几何学主要有三方面的成就：21）建立了几何学的最基本的概念，其中包括长度、角度、面积、体积等；2）找到了几何学中最基本的计算公式，如面积公式，体积公式。有些公式还相当复杂，如棱台体积的计算公式，弓形面积的计算公式等。3）发现了几何对象的一些本质联系，如圆的面积与圆直径的平方比是常数。发现了几何学最基本的定理勾股定理。这些都成为演绎几何学中用来论证、研究其他的空间性质和解决不同的几何问题的基础。缺陷是，没有形成证明的思想，没有形成严密的体系。所以，需要进一步解决的问题是，1）形成证明的思想；2）借助逻辑，将零散的知识整理成严密的体系。从方法论的角度去看，经验几何学是从直觉和直观出发，通过观察、实验、归纳和分析，发现几何问题，提炼几何思想，从而发现了事物内在的本质和联系。这种治学方法在几何学发展的不同阶段上都有着重要的作用。即使在今天，它依然是科学研究中不可缺少的法宝。从教学角度去看，观察、实验、归纳和分析也是必不可少的。2。希腊人对几何学的贡献1希腊人对数学思想的贡献。希腊人从埃及和巴比伦人那里学习了代数和几何的原理。但是，埃及和巴比伦人的数学基本上是经验的总结，是零散的和乏序的。希腊人将这些零散的知识组成一个有序的、系统的整体。他们努力使数学更加深刻、更加抽象、更加理性化。希腊人对数学思想的主要贡献是什么呢？主要有两条：1）将数和形抽象化。2）建立数学的演绎体系。这两条正是现代数学的核心，也正是中国古代数学所缺少的东西。2演绎几何的诞生。公元前7世纪，几何学从埃及传到了希腊。在希腊人手里，几何学发生了质的变化。柏拉图说：“无论我们希腊人接受什么东西，我们都要将其改善，并使之完美无缺。”他们是这么说的，也是这么做的。他们逐步由观察、实验和归纳推进到演绎推理，把几何学的研究推到了高度系统化和理论化的境界，使得人们对于空间的认识和理解在深度上和广度上都大大前进了一步。演绎几何学的建立不是一下子完成的，大约经历了三百多年的时间，中间有许多杰出的数学家和哲学家作了大量艰巨的工作，最后才有欧几里得的几何原本的出现。演绎几何学是从什么时候开始的？据记载，开始于古希腊的泰勒斯。泰勒斯被他的同时代人尊为“希腊七贤”之一。他曾到埃及旅游，并把埃及的数学知识传到希腊.通过在波斯旅游，他也受到印度数学思想的影响。泰勒斯向几何学的系统化迈出了第一步。他是第一个在”知其然”的同时提出”知其所以然”的学者,而被公认为论证数学之父.他极力主张,对几何学的陈述不能凭直觉上的貌似合理就予以接受,相反,必需要经过严密的逻辑证明.他对几何学作出了巨大贡献.他的主要贡献是,第一个证明了下列的几何性质:1) 一个圆被它的一个直径所平分；2) 三角形内角和等于两直角之和.3) 等腰三角形的两个底角相等.4) 半圆上的圆周角是直角.35）对顶角相等.6）全等三角形的角-边-角定理。这些定理埃及人和巴比伦人都已经知道。泰勒斯不是第一个发现这些定理的人，而是第一个证明这些定理的人。这为建立几何学的演绎体系迈出了可贵的第一步，在数学史上这是一个非同寻常的飞跃，是前希腊数学与希腊数学的本质区别。这样，演绎数学就在希腊诞生了。接着是毕达哥拉斯学派（公元前580500）的贡献。数学研究抽象概念归功于毕达哥拉斯学派，他们把数学变成了一门高尚的艺术。按照普罗克洛斯的说法，只有毕达哥拉斯学派“才赋予几何学以现代的品质。这是由于毕达哥拉斯以高的观点观察了几何的原理，并且用更理性的而非物质的方式研究了他的定理”。下面的发现属于毕达哥拉斯学派：1）把平面分成正多边形（正三角形、正方形、正六边形）的分割法；2）二次方程的几何解法（面积的应用）；3）与已知多边形等积，与另一多边形相似的多边形的作法；4）不可通约的线段的存在，即无理数的诞生；5）五种正多面体的存在；6）毕达哥拉斯定理（即勾股定理）的证明；7）圆和球的极值性。最后一个问题是等周问题的萌芽，是现代变分法的萌芽。柏拉图学派的思想对欧几里得产生过深刻的影响，欧几里得早年可能就是这个学派的成员。公元前387年左右，柏拉图在雅典创办哲学学园。在这个学园里数学受到特殊的尊敬。他主张通过几何学培养逻辑推理能力。在他的学园的大门口写着“不懂几何者请勿入内”。他对几何学的贡献，主要不在于具体内容，而在于他推动了几何学体系的建立。数学史家希别尔克说：“首先可以肯定地说，为使初等数学的系统建设具有精密性和逻辑完善性，他（柏拉图）的逻辑教学有了很大帮助，而这两种性质始终成为数学的特色。此外，从一些定义和几个前提毫无缺陷地展开任何系统，这无疑是归功于柏拉图的”。柏拉图的门徒亚里士多德是形式逻辑的奠基者。他的逻辑思想为日后整理几何学体系创造了必要的条件。这样一来，从公元前7世纪到公元前3世纪，希腊几何学积累了丰富的材料，公理化的思想渐臻成熟，形成一个严密化的几何学结构已是呼之欲出了。欧几里得的几何原本(Euclid,约公元前330-前275)的出现是数学史上的一个伟大的里程碑.从它刚问世起就受到人们的高度重视.在西方世界除了圣经以外没有其它著作的作用、研究、印行之广泛能与几何原本相比.自1482年第一个印刷本出版以后,至今已有一千多种版本.它的内容和形式对于几何学本身以及数学逻辑基础的发展都产生了巨大影响。经验几何学的研究方法与演绎几何学的研究方法相互配合推动了几何学的发展。遗憾的是,欧几里得的生平几乎是不清楚的。只知道在公元前300年前后，他生活在亚历山大城，并教过数学。3. 欧氏几何的历史地位.欧几里得的几何原本被称为数学家的圣经,在数学史,乃至人类科学史上具有无与伦比的崇高地位.它的主要贡献是什么呢?1) 成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的整体结构.42) 对命题作了公理化演绎.从定义,公理,公设出发建立了几何学的逻辑体系,并成为其后所有数学的范本.3) 几个世纪以来,已成为训练逻辑推理的最有力的教育手段.4对欧氏几何学的评价。欧氏几何是演绎数学的开始。演绎方法是组织数学的最好方法。它可以极大程度地消除我们认识上的不清和错误。如果有怀疑的地方，那就回归到基础概念和公理，看看在哪一步出了问题。德国学者赫尔姆霍斯说：“人类各种知识中，没有哪一种知识发展到了几何学这样完善的地步，没有哪一种知识象几何学一样受到这样少的批评和怀疑。”整个世界从这部经典中学到了证明的概念和数学知识的整体的逻辑结构的概念，当然也学到了宝贵的知识。在我国,明朝时期意大利传教士利玛窦与我国的徐光启合译前6卷,于1607年出版.中译本书名为”几何原本”. 徐光启曾对这部著作给以高度评价.他说:”此书有四不必:不必疑,不必揣,不必试,不必改.有四不可得:欲脱之不可得,欲驳之不可得,欲减之不可得,欲前后更置之不可得.有三至三能:似至晦,实至明,故能以其明明他物之至晦;似至繁,实至简,故能以其简简他物之至繁;似至难,实至易,故能以其易易他物之至难.易生于简,简生于明,综其妙在明而已.”同时，他还认识到此书的重大教育意义，他评价道“此书为益，能令学理者祛其浮气，练其精心，学事者资其定法，发其巧思。故举世无一人不当学”。爱因斯坦说：“在那里世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹。这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以至它的每一个命题都是不容置疑的我这里说的是欧几里得几何。推理的这种可赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后的成就所必须的信心。如果欧几里得未能激起你少年时代的热情，那么你就不是一个天生的科学思想家。”几何学的下一个里程碑是圆锥曲线的研究。5 圆锥曲线欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯（公元前262公元前190）是公元前三世纪的三个数学巨人。阿波罗尼奥斯比阿基米德约小25岁，大约于公元前262年生于小亚细亚的城市珀加。年青时到亚历山大城，从师于欧几里得。嗣后，他卜居于亚历山大城，并与当地的数学家们合作研究。在解决几何三大难题（三等份任意角，立方倍积，化圆为方）的过程中希腊人发现了圆锥曲线。阿波罗尼奥斯总其大成，写了圆锥曲线论。这是古希腊演绎几何的最高成就。他除了综合前人的成就之外，还含有非常独特的创见材料，而且写得巧妙、灵活，组织得很出色。按成就来说，它是一个如此巍然屹立的丰碑，以致后代学者几乎不能再对这个问题有新的发言权。这确实是古典希腊几何的登峰造极之作。阿波罗尼奥斯以前的数学家曾把圆锥曲线看成是从三种正圆锥割出的曲线。或许他们另有追求。但阿波罗尼奥斯是第一个依据同一个圆锥（正的或斜的）的截面来研究圆锥曲线理论的人（图6-15）。他也是发现双曲线有两个分支的人。Ellipse(椭圆)、parabola（抛物线）和hyperbola(双曲线)这些名词也是阿波罗尼奥斯提出来的。圆锥曲线对近代物理学的研究起了重要作用。行星运动的轨道是椭圆，抛物体运行的轨道是抛物线。几何学下一个重要进展是两千年后，射影几何与解析几何的诞生。56. 解析几何。欧氏几何是一种度量几何，关心长度和角度。它的方法是综合的，没有代数的介入，为解析几何的发展留下了余地。解析几何的创始人是笛卡儿和费马都敏锐地看到了数量方法的必要性，而且注意到代数具有提供这种方法的力量。因此，他们就用代数来研究几何学。笛卡儿说：我决心放弃那个仅仅是抽象的几何，这就是说，不再去考虑那些仅仅是用