椭圆性质的研究.doc

数学实验与研究性学习整合案例一则内容摘要 这篇文章主要是说明在一次研究性学习活动中，借助于几何画板来进行数学实验，使学生顺利的完成了观察、发现、猜想、论证这样几个步骤。进而阐述了中学的研究性学习若借助于多媒体信息技术进行数学实验，不仅可以使教学活动变得形象生动，提高教学质量，最重要的是可以激发学生的学习兴趣，使学生真正成为富有创新思想，具有创造力的人才。前言 数学研究性学习是在教师的指导下，以学生所学知识和学生的自主性、探究性学习为基础，采用类似于科学研究的方法，促进学生主动积极发展的一种新型学习方式。旨在通过学生亲身实践获取直接经验，养成科学精神和科学态度，掌握基本的科学方法，提高综合运用所学知识发现问题和解决实际问题的能力。 现在的研究性学习由于受到学生认知能力的限制，基本采用的是教师罗列一些课题，然后，学生再根据自己的实际情况选择课题，再与选此课题的同学结成研究小组，大家一起研究。这样的研究性学习，一般需要的时间也很长，少则几周，多则一学期。由于研究性学习的目的是让学生养成良好的学习习惯，培养学生善于发现问题、解决问题的能力，培养其自主、创新的精神。而中学生学习较忙，因此，教师可以充分挖掘新教材，去挖掘出“值得研究”的问题，作为研究的课题，指导学生在课堂上进行研究，这样，在一定意义下，能更好实现研究性学习的目的。 数学是一门科学，含有观察、实验、发现、猜想等实践部分，尝试、假说、度量和分类是数学家常用的计巧，这些也应是教学中必须有的。由于传统教学模式是粉笔+黑板，因此，学生应有的观察、实验、发现、猜想等实践部分，就被教师滔滔不绝的讲解所替代。学生呢？犹如进电影厅看电影一样，整个过程很顺畅，但没有机会、没有认真地思考过问题，所以，当他们遇到一些虽简单的问题的时候，就显得手无举措，求助与教师。这样的教学模式搞研究性学习显然是不行的。要想把数学研究性学习开展好，就必须进行数学实验，但传统意义上的数学实验显然不能满足需要。因此，多媒体进入课堂就成为必然。目前能够提供数学实验的软件比较少，但是“几何画板”及“立体几何画板”这两个数学实验教育软件的介入，将使得传统教学发生很大的变化。“几何画板“是Windows环境下的一个动态的数学工具软件。它提供了画点、画线（线段、射线、直线）、画圆（正圆）的工具，以及旋转、平移、缩放、反射等图形变换功能，可以对图形对象进行求坐标、算距离等测量与计算，研究诸如运动与变换这样的非欧几何问题，能够绘制各种平面图形、动画和运动、立体透视图形，构造动态数学模型和数据图表。传统教学中，特别是在解析几何、立体几何的教学中，由于受到学生静态思想、空间想象力的制约，使课堂教学变得举步畏艰，教师难于表达，学生更是难于接受，有些几何图形中隐含的几何性质，连教师也不一定清楚，传统教学的弊病由此可见一斑。若利用几何画板强大的图形变换功能，在课堂上进行数学实验，将使课堂教学变得形象生动。教师只需要轻点几下鼠标，一些难于表达的语言、思想就轻松解决，学生也能根据图形，进行观察、实验、发现、猜想，那么，研究问题在学生眼里就不再是数学家的专利，自己也可以。这样，就激发了学生的学习兴趣，真正地实现研究性学习的目的。 下面，我就自己在“研究性学习”教学中，利用几何画板进行数学实验辅助教学的尝试与实践，以一个题作为例子，谈谈自己在教学中的一点体会。问题在椭圆上求一点,使到直线的距离最小.过程教师：请同学们先思考一下解题方法。此时，教师把用几何画板做好的图1展示在投影仪上，如图1.教师:这是一个求解几何最值的问题,应转化为代数最值的问题,求此类最值的关键是什么？学生（众口）:寻求一个适当的自变量。教师：对于本题来说，这个适当的自变量怎样选取？选取后怎样正确地建立目标函数？此时，学生议论纷纷，有的说设点，有的说设点，再用点到直线间距离公式写出目标函数。（此时，教师叫一位同学解答。）学生（小王）：设，则点得到直线距离 其中. 当 时,取最小值. 此时,点的坐标为.教师:讲得好!这是用参数方程讨论最值问题,可借助于三角函数有界性及其优越的变换手段使问题易于解决。这时，教师用几何画板把点做出来。如图1. 教师:请同学们观察一下图1,点具有什么特殊性？这时，学生从图1上可以感觉得到，这个点具有特殊性，但不知怎样表答这种特殊性。（气氛活跃,大家议论开来）教师:若把这个椭圆换为圆,则点（故意不说下去，让学生讲出来）学生（大家一下醒悟，兴高采烈）：就是把直线平移与之相切时的切点。这时，教师演示动画，使直线平移至直线，正好与椭圆相切与点。如图2.教师:怎样求出这个切点的坐标呢？学生（小丁）：把直线平移至直线，直线与椭圆相切，此时的切点就是最短距离时的点.即设 由 由图形可知：时点到直线的距离最小,此时.教师:本题是求点到直线的距离，第二种方法是把点到直线的距离转化为平行直线间的距离。这种转化的思想在数学学习以及解题中都发挥着重要的作用，希望同学们在平时的学习中注意总结、积累。教师:从上面的解题过程知，时点到直线的距离最小，那么，时，这时的直线与椭圆是什么关系？学生（众口）：相切。这时，教师演示动画，使直线平移至直线，直线与椭圆相切，切点为.如图3.教师:切点相对于直线具有什么样的性质?学生（众口）：切点到直线的距离最大。教师：请同学们观察一下点与点有什么关系？这时，学生从图上容易观察到点与点关于原点（在此为椭圆的中心，以下一样）中心对称，但都不敢肯定，大家小声地说着，期待教师给以肯定。这时，教师连结点与点，正好过原点。（如图4.）教师：同学们的观察结果很合理，但还需要严格的推理论证。那么，怎样论证呢？学生（众口）：求出点的坐标。教师：那么，请同学们求出点的坐标。过一会儿，学生纷纷计算点的坐标为。这时，大家异常兴奋，因为论证了自己的一个猜想。教师(趁热打铁):从这到题,我们知道了椭圆上到直线的距离最小、最大值的点与点关于原点对称，也即椭圆的直径(也就是过圆心作直线的垂线,被椭圆所截的弦)的两端点。我们知道，圆上到与之相离的直线的距离的最小、最大值的两点，正好是某直径的两个端点。那么，我们能否把刚才从椭圆上得到的这一特殊情况象从圆上得到的性质一样，进行推广？学生（众口）：能！教师：这只是我们的一种合理猜想，还需要严格的论证，请同学们思考一下论证的方法。这时，同学们大家互相在下面讨论，发表自己的意见，最后，学生小李发言。学生（小李）：我们可以设椭圆的标准方程为：，并设直线的一般式方程为：，且直线与椭圆相离，然后，再采用上面平移直线求切点的办法，求出两个切点，便可以论证了。教师：小李同学说得很好，这种办法可行。但这样假设椭圆和直线的方程，系数过多，且含有分母，这样以来，计算肯定很繁。我们可不可以在不失一般性的前提下，使方程的形式简洁一些？（这样，我们的计算量就会小一些。）这时，由于他们的论证方法受到老师的肯定，所以，大家又积极讨论怎样在不失一般性的前提下，使方程的形式简洁。这时，小计发言。学生（小计）：可以设椭圆的方程为，直线的方程为，且直线与椭圆相离。学生（小马）：若直线的斜率不存在呢？学生（小计）（马上意识到自己的假设的不完整）：直线斜率不存在的情况很简单嘛，也就是直线垂直于轴的情况，只需要最后稍作说明即可。教师：既然同学们有了论证的方法，那么就请同学们马上论证，比一比谁论证得更快，谁论证得更严密。此时，同学们都不甘落后，纷纷论证起来。几分钟后，大家的脸上露出了胜利的微笑，还纷纷的左顾右盼，看看别的同学有没有论证完。我看大家基本上都停笔以后，我环顾教室，请了一位平时在学习上稍吃力的同学（小姜）回答。同学（小姜）：设椭圆的方程为，直线的方程为且直线与椭圆相离;并设直线：。设两切点为，。把直线方程代入椭圆的方程， 得 ，即， 即，即 ，所以，.为方便计算，设（，所以，.所以,切线:,切线:.把,分别代入,得,由(1)式得, 由(2)式得,把,分别代入,得, 所以点，点，），两点正好关于原点对称（也即 两点正好是椭圆直径的两端点）。下面，讨论直线的斜率不存在的情况：当直线的斜率不存在时，直线垂直于轴，把直线平移时，肯定先与椭圆长轴的一个端点相切，最后与椭圆长轴的另一端点相切，这两点正好是到直线距离的最小值点和最大值点（也即 椭圆直径的两端点）。教师（给以掌声，以示赞许和鼓励）：讲得很精彩！到此时，我们就可以说椭圆上到与之相离的直线距离的最小值点和最大值点正好关于原点对称，也即 这两个点正好是椭圆某一直径的两端点。这一性质与圆类似。这就给我们以后解题带来方便，最重要的是我们经过自己的努力，去发现了椭圆的这一隐含性质。刚才，我们讨论的是椭圆与直线相离这一关系时的性质，那么，我们能否把这一性质推广到椭圆与直线相切、相交的情形？此时，由于学生经过自己的努力发现并论证了这一性质，因而，大家又兴奋了，议论纷纷，整个课堂气氛相当的活跃。学生（小潘）：可以推广！教师：为什么？这时，学生小潘想说肯定是，但又没有合适的理由，显得无所有点手无举措。别的同学也是和他的想法一样，但苦于没有合适的理由，都显得有点沉默。教师：同学们，我们得到的性质是怎么推导出来的？学生（众口）：把直线进行平移，然后，求切点。此时，教师再把动画（直线平移的动画）演示一遍，学生都发出了“哦”的一声。显然，同学们从动画的过程找到了答案。这是，教师抓住时机发问。教师：当直线与椭圆相切时，最小值点和最大值点分别是什么？学生（众口）：最小值点为切点，最大值点为这一切点和原点连线与椭圆的交点。教师：当直线与椭圆相交时，最小值点和最大值点分别是什么？学生（众口）：最小值点为交点，最大值点为这时，学生虽知道最大值点为椭圆某一直径的端点，但不知道怎样描述这条直径。教师：请同学们再观察一下动画。当直线与椭圆相交时，教师停止动画（如图5），并让学生仔细观察 。学生（小汪）：直线与椭圆相交时，直径应该是平分直线被椭圆截得的弦。也就是说，当直线与椭圆相交时，最大值点为弦的中点和原点连线与椭圆的交点。此时，几乎所有的同学都同意她的观点，但又不敢肯定是否正确。教师：刚才，这位同学的猜想很好！正确与否，还需论证。那么，现在，我就度量线段与，看它们是否相等。经度量（不考虑误差），发现线段与正好相等。同学们由于又一次借助于自己的观察，作出了合理的猜想，都显得十分高兴。教师：经度量线段与正好相等，只能说明我们的猜想是合理的，有一定的正确性。所以，我们为了论证这一猜想，还需要进行严格的证明。由于时间关系，就把这个需要证明的问题作为我们今天的研究性学习作业。总结 今天这节课，我们利用几何画板进行了一些简单的数学实验，在数学实验的过程中，我们进行了一些合理的猜想，最终，经过严格的论证，使我们的猜想变成了事实，得到了椭圆上到一定直线距离的最值点的一些性质：（1）当椭圆与直线相离时,最小值点和最大值点正好关于原点对称。(也即 这两个点正好是椭圆某直径的两端点。)（2）当直线与椭圆相切时，最小值点为切点，最大值点为这一切点和原点连线与椭圆的交点。（3）当直线与椭圆相交时，最小值点为交点，最大值点为直线被椭圆所截弦的中点和原点连线与椭圆的交点。（待证）今天的学习，得到的性质对我们来说，不是最重要的，最重要的是，同学们应该把今天的在学习中所具有的那种敢于猜想的精神，严于论证的精神，对学习锲而不舍的精神，用到自己以后的学习中去，用到自己的生活中去，我想，这对于你们的一生来说，都将是受益匪浅的。后记 从以上案例知，在整个研究性学习过程中，主要是利用几何画板进行数学实验，然后再进行合理猜想，最后对猜想给以严格的证明。可以说，正因为在研究性学习中有了数学实验，才有了学生合情合理的猜想，最终把这猜想论证为事实。由此可见，数学实验在研究性学习中的重要性。可以说，利用数学实验进行研究性学习是数学教学改革上的飞跃。据资料反映，年两个美国初中二年级学生David Goldeheim和Dan Litchfiled应用“几何画板”发现了又一个任意等分线段的方法；我国东北育才学校的学生应用“几何画板”发现了广义蝴蝶定理。这些事例足以说明数学实验在数学研究性学习中起着至关重要的作用。因此，当代的数学教育就给教育工作者（特别是一线教师）提出了更新、更高的要求。为了能更好的实现研究性学习的目的，教师不仅要掌握现代化信息教育技术（特别是能进行数学实验的信息教育技术），还应传授这些技术给学生，让学生无论是在课堂上，还是在课堂外，无论是一个人，还是一个小组，都能积极、主动、广泛地进行研究性学习，真正实现研究性学习的目的。江泽民书记指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达