福州市台江区中学片2016届九年级上期中数学试卷含答案解析

2015年福建省福州市台江区中学片九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：（ 10 小题，每题 3分，共 30 分） 1下列四个图案中，不是中心对称图形的是 ( ) A B C D 2一元二次方程 x2+x 2=0 根的情况是 ( ) A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 3抛物线的解析式 y= 2（ x+3） 2+1，则顶点坐标是 ( ) A（ 3， 1） B（ 3， 1） C（ 3， 1） D（ 1， 3） 4如图，点 A、 B、 P 为 O 上的点，若 5，则 ) A 15 B 20 C 30 D 45 5若 O 的半径为 5 A 到圆心 O 的距离为 4么点 A 与 O 的位置关系是 ( ) A点 A 在圆外 B点 A 在圆上 C点 A 在圆内 D不能确定 6将抛物线 y=3 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线为 ( ) A y=3（ x 2） 2 1 B y=3（ x 2） 2+1 C y=3（ x+2） 2 1 D y=3（ x+2） 2+1 7青山村种的水稻 2010 年平均 每公顷产 72002012 年水稻平均每公顷产的产量是8400水稻每公顷产量的年平均增长率为 x，可列方程为 ( ) A 7200（ 1+x） 2=8400 B 7200（ 1+=8400 C 7200（ x2+x） =8400 D 7200（ 1+x） =8400 8根据表格中代数式 bx+c=0 与 x 的对应值，判断方程 bx+c=0（其中 a， b， c 是常数，且 a0）的一个根 x 的大致范围是 ( ) x bx+c=0 6 x x x x 设 a， b 是方程 x2+x 2017=0 的两个实数根，则 a+b 的值为 ( ) A 2014 B 2015 C 2016 D 2017 10如图，抛物线 y= x+m+1 交 x 轴于点 A（ a， 0）和 B（ b， 0），交 y 轴于点 C，抛物线的顶点为 D，下列三个判断中， 当 x 0 时， y 0； 若 a= 1，则 b=4； 抛物线上有两点 P（ Q（ 若 1 x1+2，则 确的是 ( ) A B C D 都不对 二、填空题（每题 4分，共 24 分） 11已知点 A（ 1， 2）与点 B（ m， 2）关于原点对称，则 m 的值是 _ 12如图， O 是 内切圆，其切点分别为 D、 E、 F，且 ， ，则_ 13已知 三边长分别是 6， 8， 10，则 接圆的直径是 _ 14如图所示，在 ， B=40，将 点 A 逆时针旋转至 ，使点 C 延长线上的 D 点处，则旋转角 _度 15用反证法证明 “已知平面内的三条直线 a， b， c，若 a b， c 与 a 相交，则 c 与 b 也相交 ”时，第一步应该假设 _ 16如图，抛物线 y=bx+c 与 x 轴的一个交点 A 在点（ 2， 0）和（ 1， 0）之间（包括这两点），顶点 C 是矩形 （包括边界和内部）的一个动点，则： （ 1） “ ”或 “ ”）； （ 2） a 的取值范围是 _ 三、解答题（共 9题，满分 96 分；作图或添辅助线需用黑色签字笔描黑） 17（ 18 分）解下列方程： （ 1） 3x=0 （ 2）（ x+1） 2 3（ x+1） =0 （ 3） 34x+1=0（公式法） 18图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，建立如图所示的平面直角坐标系： （ 1）求拱桥所在抛物线的解析式； （ 2）当水面下降 1m 时，则水面的宽度为多少？ 19已知，关于 x 的一元二次方程 x2+x+m=0 有实数根 （ 1）求 m 的取值范围； （ 2）若方程的一个根是 1，求 m 值 及另一个根 20如图，在平面直角坐标系中， 格点三角形（顶点都是格点）且 C（ 4， 1） （ 1）将 点 A 按逆时针方向旋转 90得到 出 （ 2）分别写出点 21某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面 （ 1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （ 2）若这个输水管道有水部分的水面宽 6面最深地方的高度为 4这个圆形截面的半径 22如图所示， O 的直径， 弦， 0，延长 点 C，使得 50，求证： O 的切线 23某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克现该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 24观察下表： 序号 1 2 3 图形 xx y xx yy yy 们把某格中字母的和所得到的多项式称为特征多项式，例如第 1 格的 “特征多项式 ”为4x+y回答下列问题： （ 1）第 2 格的 “特征多项式 ”为 _，第 n 格的 “特征多项式 ”为 _；（ n 为正整数） （ 2）若第 1 格的 “特征多项式 ”的值为 8，第 2 格的 “特征多项式 ”的值为 11 求 x， y 的值； 在此条件下，第 n 格的特征多项式是否有最小值？若有，求最小值和相 应的 n 值；若没有，请说明理由 25如图，在 ， Q=4， M 是 中点，把一三角尺的直角顶点放在 M 处，以 M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与 两直角边分别交于点 A、 B （ 1）求证： B （ 2）探究在旋转三角尺的过程中 B 与 大小关系，并说明理由 （ 3）连接 究：在旋转三角尺的过程中， 周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由 26如图，已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上另一点 A，它的对称轴 x=2 与 x 轴交于点 C，直线 y= 2x 1 经过抛物线上一点 B（ 2， m），且与 y 轴、直线 x=2 分别交于点 D、 E （ 1）求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （ 2）求证： E； D 是 中点； （ 3）若 P（ x， y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点 P，使得 E？若存在，试求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2015年福建省福州市台江区中学片九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：（ 10 小题，每题 3分，共 30 分） 1下列四个图案中，不是中心对称图形的是 ( ) A B C D 【考点】 中心对称图形 【分析】 根据中心对称图形的概念求解 【解答】 解： A、是中心对称图形故错误； B、不是中心对称图形故正确； C、是中心对称图形故错误； D、是中心对称图形故错误 故选 B 【点评】 本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 2一元二次方程 x2+x 2=0 根的情况是 ( ) A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 【考点】 根的判别式 【分析】 判断上 述方程的根的情况，只要看根的判别式 =4值的符号就可以了 【解答】 解： a=1， b=1， c= 2， =4+8=9 0 方程有两个不相等的实数根 故选 A 【点评】 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用 总结：一元二次方程根的情况与判别式 的关系： （ 1） 0方程有两个不相等的实数根； （ 2） =0方程有两个相等的实数根； （ 3） 0方程没有实数根 3抛物线的解析式 y= 2（ x+3） 2+1，则顶点坐标是 ( ) A（ 3， 1） B（ 3， 1） C（ 3， 1） D（ 1， 3） 【考点】 二次函数的性质 【分析】 利用二次函数的顶点式是： y=a（ x h） 2+k（ a0，且 a， h， k 是常数），顶点坐标是（ h， k）进行解答 【解答】 解： y= 2（ x+3） 2+1， 抛物线的顶点坐标是（ 3， 1） 故选： A 【点评】 此题考查了二次函数的性质，二次函数 y=a（ x h） 2+k 的顶点坐标为（ h， k），对称轴为 x=h 4如图，点 A、 B、 P 为 O 上的点，若 5，则 ) A 15 B 20 C 30 D 45 【考 点】 圆周角定理 【分析】 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得 15=30即可 【解答】 解： 点 A、 B、 P 是 O 上的三点， 5， 15=30 故选： C 【点评】 本题主要考查了圆周角定理；熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半是解决问题的关键 5若 O 的半径为 5 A 到圆心 O 的距离为 4么点 A 与 O 的位置关系是 ( ) A点 A 在圆外 B点 A 在圆上 C点 A 在 圆内 D不能确定 【考点】 点与圆的位置关系 【分析】 要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用 dr 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上；当 d r 时，点在圆内判断出即可 【解答】 解： O 的半径为 5 A 到圆心 O 的距离为 4 d r， 点 A 与 O 的位置关系是：点 A 在圆内， 故选： C 【点评】 此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断关键要记住若半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当 d r 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上，当 d r 时，点在圆内 6将抛物线 y=3 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线为 ( ) A y=3（ x 2） 2 1 B y=3（ x 2） 2+1 C y=3（ x+2） 2 1 D y=3（ x+2） 2+1 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可 【解答】 解：抛物线 y=3 个单位，再向下平移 1 个单位后的抛物线顶点坐标为（ 2， 1）， 所得抛物线为 y=3（ x+2） 2 1 故选 C 【点评】 本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点 坐标是解题的关键 7青山村种的水稻 2010 年平均每公顷产 72002012 年水稻平均每公顷产的产量是8400水稻每公顷产量的年平均增长率为 x，可列方程为 ( ) A 7200（ 1+x） 2=8400 B 7200（ 1+=8400 C 7200（ x2+x） =8400 D 7200（ 1+x） =8400 【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】 增长率问题 【分析】 设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x，则 2010 年水稻平均每公顷产的产量 （ 1+增长率） 2=2012 年水稻平均每公 顷产的产量，据此列方程即可 【解答】 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x， 由题意得， 7200（ 1+x） 2=8400 故选 A 【点评】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程 8根据表格中代数式 bx+c=0 与 x 的对应值，判断方程 bx+c=0（其中 a， b， c 是常数，且 a0）的一个根 x 的大致范围是 ( ) x bx+c=0 6 x x x x 考点】 图象法求一元二次方程的近似根 【专题】 常规题型 【分析】 观察表中数据得到当 x=， y= 0；当 x=， y=0，则可判断当 x 在 x 范围内取某一值时，对应的函数值为 0，即 bx+c=0，所以可确定方程 bx+c=0 的一个根的大致范围为 x 【解答】 解： 当 x=， y= 0；当 x=， y=0， 当 x 在 x 范围内取某一值时，对应的函数值为 0，即 bx+c=0， 方程 bx+c=0（其中 a， b， c 是常数，且 a0）的一个根 x 的大致范围为 x 故选 C 【点评】 本题考查了利用图象法求一元二次方程的近似根：先作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；再由图象与 y=h 的交点位置确定交点横坐标的范围；然后观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的） 9设 a， b 是方程 x2+x 2017=0 的两个实数根，则 a+b 的值为 ( ) A 2014 B 2015 C 2016 D 2017 【考点】 根与系数的关系；一元二次方程的解 【专题】 计算题 【分析】 先根据一元二次方程的解的定义得到 a+2017，则 a+b=2017+a+b，然后根据根与系数的关系得到 a+b= 1，再利用整体代入的方法计算 【解答】 解： a 是方程 x2+x 2017=0 的根， a2+a 2017=0， a+2017， a+b= a+2017+2a+b=2017+a+b， a， b 是方程 x2+x 2017=0 的两个实数根， a+b= 1， a+b=2017 1=2016 故选 C 【点评】 本题考查了根与系数的关系：若 一元二次方程 bx+c=0（ a0）的两根时， x1+ ， 也考查了一元二次方程的解 10如图，抛物线 y= x+m+1 交 x 轴于点 A（ a， 0）和 B（ b， 0），交 y 轴于点 C，抛物线的顶点为 D，下列三个判断中， 当 x 0 时， y 0； 若 a= 1，则 b=4； 抛物线上有两点 P（ Q（ 若 1 x1+2，则 确的是 ( ) A B C D 都不对 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【专题】 数形结合 【分析】 观察函数图象可直接得到抛物线在 x 轴上方所对应的自变量的范围，从而可对 进行判断；把 A 点坐标代入 y= x+m+1 中求出 m，确定抛物线解析式，再通过解方程 x+3=0 得到 B 点坐标，从而可对 进行判断；先确定抛物线的对称轴为直线 x=1，则点 P 和点 Q 在对称轴两侧，所以点 P 到直线 x=1 的距离为 1 Q 到直线 x=1 的距离为 1，然后比较点 Q 点对称轴的距离和点 P 点对称轴的距离的大小，再根据二次函数的性质可对 进行判断 【解答】 解：当 a x b 时， y 0，所以 错误； 当 a= 1 时， A 点坐标为（ 1， 0），把 A（ 1， 0）代入 y= x+m+1 得 1 2+m+1=0，解得 m=2，则抛物线解析式为 y= x+3，解方程 x+3=0 得 1， ，则 B（ 3，0），即 b=3，所以 错误； 抛物线的对称轴为直线 x= =1，因为 1 以点 P 和点 Q 在对称轴两侧，点 P 到直线 x=1 的距离为 1 Q 到直线 x=1 的距离为 1，则 1（ 1 x2+2，而 x1+2，所以 1（ 1 0，所以点 Q 到对称轴的距离比点 P 到对称轴的距离要大，所以 以 正确 故选 C 【点评】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题：把求二次函数 y=bx+c（ a， b， c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程判断点 P、点 Q 到对称轴的距离的大小是判断命题 的真假的关键 二、填空题（每题 4分，共 24 分） 11已知点 A（ 1， 2）与点 B（ m， 2）关 于原点对称，则 m 的值是 1 【考点】 关于原点对称的点的坐标 【分析】 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答 【解答】 解： 点 A（ 1， 2）与点 B（ m， 2）关于原点对称， m=1 故答案为： 1 【点评】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数是解题的关键 12如图， O 是 内切圆，其切点分别为 D、 E、 F，且 ， ，则 【考点】 三角形的内切圆与内心 【分析】 根据切线长定理求出 长，即可求出答案 【解答】 解： O 是 内切圆，其切点分别为 D、 E、 F，且 ， ， F=2， D=3， F+3=5， 故答案为： 5 【点评】 本题考查了三角形的内切圆和内心，切线长定理的应用，关键是能根据切线长定理得出 E， F 13已知 三边长分别是 6， 8， 10，则 接圆的直径是 10 【考点】 三角形的外接圆与外心；勾股定理的逆定理 【分析】 根据勾股定理的逆定理得出 C=90，即可求出答案 【解答】 解： ， ， 0， C=90， 外接圆的半径是 10=5，即外接圆的直径是 10， 故答案为： 10 【点评】 本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的外接圆的应用，注意：直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半 14如图所示，在 ， B=40，将 点 A 逆时针旋转至 ，使点 C 延长线上的 D 点处，则旋转角 00 度 【考点】 旋转的性质 【专题】 计算题 【分析】 根据旋转的性质得 D， 于旋 转角，再根据等腰三角形的性质得 B= 0，然后根据三角形内角和定理计算 度数 【解答】 解： 点 A 逆时针旋转至 ，使点 B 落在 长线上的 D 点处， D， 于旋转角， B= 0， 80 B 00 故答案为 100 【点评】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等 15用反证法证明 “已知平面内的三条直线 a， b， c，若 a b， c 与 a 相交，则 c 与 b 也相交 ”时，第一步应该假设 c b 【考点】 反证法 【分析】 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行填空 【解答】 解：用反证法证明 c 与 b 相交时，应先假设： c b 故答案为： c b 【点评】 此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤反证法的步骤是：（ 1）假设结论不成立；（ 2）从假设出发推出矛盾；（ 3）假设不成立，则结论成立 16如图，抛物线 y=bx+c 与 x 轴的一个交点 A 在点（ 2， 0）和（ 1， 0）之间（包括这两点），顶点 C 是矩形 （包括边界和内部）的一个动点，则： （ 1） 0（填 “ ”或 “ ”）； （ 2） a 的取值范围是 a 【考点】 二次函数综合题 【专题】 压轴题；动点型 【分析】 （ 1）观察图形发现，由抛物线的开口向下得到 a 0，顶点坐标在第一象限得到 b 0，抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的上方推出 c 0，由此即可判定 符号； （ 2）顶点 C 是矩形 （包括边界和内部）的一个动点，当顶点 C 与 D 点重合，可以知道顶点坐标为（ 1， 3）且抛物线过（ 1， 0），则它与 x 轴的另一个交点为（ 3， 0），由此可求出 a；当 顶点 C 与 F 点重合，顶点坐标为（ 3， 2）且抛物线过（ 2， 0），则它与 8， 0），由此也可求 a，然后由此可判断 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1）观察图形发现，抛物线的开口向下， a 0， 顶点坐标在第一象限， 0， b 0， 而抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的上方， c 0， 0； （ 2）顶点 C 是矩形 （包括边界和内部）的一个动点， 当顶点 C 与 D 点重合，顶点坐标为（ 1， 3），则抛物线解析式 y=a（ x 1） 2+3， 由 ，解得 a ； 当顶点 C 与 F 点重合， 顶点坐标为（ 3， 2），则抛物线解析式 y=a（ x 3） 2+2， 由 ，解得 a ； 顶点可以在矩形内部， a 【点评】 本题主要考查了抛物线的解析式 y=bx+c 中 a、 b、 c 对抛物线的影响，在对于抛物线的顶点在所给图形内进行运动的判定，充分利用了利用形数结合的方法，展开讨论，加以解决 三、解答题（共 9题，满分 96 分；作图或添辅助线需用黑色签字笔描黑） 17（ 18 分）解下列方程： （ 1） 3x=0 （ 2）（ x+1） 2 3（ x+1） =0 （ 3） 34x+1=0（公式法） 【考点】 解一元二次方程 一元二次方程 【分析】 （ 1）（ 2）利用提取公因式法因式分解解方程即可； （ 3）将 a、 b、 c 的值代入根的判别式，求出其值，再利用求根公式解答即可 【解答】 解：（ 1） 3x=0， x（ x 3） =0， x=0， x 3=0， 解得： ， ； （ 2）（ x+1） 2 3（ x+1） =0， （ x+1）（ x+1 3） =0， x+1=0， x 2=0， 解得： 1， ； （ 3） 34x+1=0， a=3， b= 4， c=1， =16 12=4 0， x= ， 解得： ， 【点评】 本题考查了解一元二次方程，掌握解方程的方法与步骤是解决问题的关键 18图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，建立如图所示的平面直角坐标系： （ 1）求拱桥所在抛物线的解析式； （ 2）当水面下降 1m 时，则水面的宽度为多少？ 【考点】 二次函数的应用 【分析】 （ 1）设出抛物线的解析式，由图中点在抛物线上，用待定系数法求出抛物线解析式； （ 2）把 y= 3 代入 y= 可得到结论 【解答】 解：（ 1）设这条抛物线的解析式为 y=a0）由已知抛物线经过点 B（ 2， 2）， 可得 2=a22，有 a= ， 故抛物线的解析式为 y= （ 2）当 y= 3 时，即 3， 解得： x= ， 故当水面下降 1m 时，则水面的宽度为 2 m 【点评】 本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据图中信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键 19已知，关于 x 的一元二次方程 x2+x+m=0 有实数根 （ 1）求 m 的取值范围； （ 2）若方程的一个根是 1，求 m 值及另一个根 【考点】 根的判别式；一元二次方程的解 【分析】 （ 1）方程 有实数根，则 0，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围； （ 2）把 x=1 代入方程求得 m 的数值即可 【解答】 解 关于 x 的一元二次方程 x2+x+m=0 有实数根， 4 4m0， 解得 m ； （ 2）把 x=1 代入方程 x2+x+m=0 得 m= 2， 原方程为 x2+x 2=0，解得： x=1 或 2， 因此方程另一个根为 2 【点评】 本题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a0）的根的判别式 =4 0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有 实数根也考查了一元二次方程根的意义 20如图，在平面直角坐标系中， 格点三角形（顶点都是格点）且 C（ 4， 1） （ 1）将 点 A 按逆时针方向旋转 90得到 出 （ 2）分别写出点 【考点】 作图 【分析】 （ 1）分别将点 B、 C 绕点 A 按逆时针方向旋转 90，得到点 后顺次连接； （ 2）根据所作图形写出点 【解答】 解：（ 1）所作图形如图所示： （ 2） 1， 0）， 2， 1） 【点评 】 本题考查了根据旋转变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接 21某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面 （ 1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （ 2）若这个输水管道有水部分的水面宽 6面最深地方的高度为 4这个圆形截面的半径 【考点】 垂径定理的应用；勾股定理 【专题】 应用题 【分析】 如图所示，根据垂径定理得到 16=8后根据勾股定理列 出关于圆形截面半径的方程求解 【解答】 解：（ 1）先作弦 垂直平分线；在弧 任取一点 C 连接 弦 垂直平分线，两线交点作为圆心 O， 为半径，画圆即为所求图形 （ 2）过 O 作 D，交弧 E，连接 16=8题意可知， 半径为 x 4） ，由勾股定理得： （ x 4） 2+82=得 x=10 即这个圆形截面的半径为 10 【点评】 本题主要考 查：垂径定理、勾股定理 22如图所示， O 的直径， 弦， 0，延长 点 C，使得 50，求证： O 的切线 【考点】 切线的判定 【专题】 证明题 【分析】 连接 据等腰三角形的性质得到 0，根据外角的性质性质得到 0，由 0，根据三角形的内角和得到 0即可得到结论 【解答】 证明：连接 O， 0， A+ 0， 0， 0 O 的切线 【点评】 本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可 23某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克现该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【考点】 一元二次方程的应用 【专题】 销售问题；压轴题 【分析】 设每千克水果应涨价 x 元， 得出日销售量将减少 20x 千克，再由盈利额 =每千克盈利 日销售量，依题意得方程求解即可 【解答】 解：设每千克水果应涨价 x 元， 依题意得方程：（ 500 20x）（ 10+x） =6000， 整理，得 15x+50=0， 解这个方程，得 ， 0 要使顾客得到实惠，应取 x=5 答：每千克水果应涨价 5 元 【点评】 解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额 =每千克盈利 日销售量 24观察下表： 序号 1 2 3 图形 xx y xx yy yy 我们把某格中字母的和所得到的多项式称为特征多项式，例如第 1 格的 “特征多项式 ”为4x+y回答下列问题： （ 1）第 2 格的 “特征多项式 ”为 9x+4y，第 n 格的 “特征多项式 ”为 （ n+1） 2x+ n 为正整数） （ 2）若第 1 格的 “特征多项式 ”的值为 8，第 2 格的 “特征多项式 ”的值为 11 求 x， y 的值； 在此条件下，第 n 格的特征多项式是否有最小值？若有，求最 小值和相应的 n 值；若没有，请说明理由 【考点】 二次函数的应用 【分析】 （ 1）利用已知表格中 x， y 个数变化规律得出第 2 格的 “特征多项式 ”以及第 n 格的 “特征多项式 ”； （ 2） 利用（ 1）中所求得出关于 x， y 的等式组成方程组求出答案； 利用二次函数最值求法得出答案 【解答】 解：（ 1）第 2 格的 “特征多项式 ”为： 9x+4y；第 n 格的 “特征多项式 ”为：（ n+1） 2x+ 故答案为： 9x+4y；（ n+1） 2x+ （ 2） 第 1 格的 “特征多项式 ”的值为 8，第 2 格的 “特征多项式 ”的值为 11， 根据题意可得： 解得： ； 有最小值， 将 x= 3， y=4 代入（ n+1） 2x+ 3）（ n+1） 2+4n2=6n 3， 设 y=6n 3， 方程为二次函数，抛物线开口向上，有最小值， 当 时， y 取得最小值， 将 n=3 代入得 y= 12， 当 n=3 时，最小值为 12 【点评】 此题主要考查了二元一次方程组的应用以及二次函数的应用和数字变化规律等知识，根据题意得出第 n 格的 “特征多项式 ”是解题关键 25如图，在 ， Q=4， M 是 中点，把一三角尺的直角顶点放在 M 处 ，以 M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与 两直角边分别交于点 A、 B （ 1）求证： B （ 2）探究在旋转三角尺的过程中 B 与 大小关系，并说明理由 （ 3）连接 究：在旋转三角尺的过程中， 周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由 【考点】 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 【分析】 （ 1）过点 M 作 点 E，作 点 F，可得四边形 矩形，根据三角形的中位线定理可得 F，再根据同角的余角相等可得 利用 “角边角 ”证明 等，根据全等三角形对应边相等即可证明； （ 2）连接 明 到 B，所以 Q=Q=A （ 3）根据全等三角形对应边相等可得 F，设 OA=x，表示出 2 x，即 长度，然后表示出 +（ 2 x），再利用勾股定理列式求出 后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的 倍表示出 长度，然后根据三角形的周长公式列式判断出 周长随 变化而变化，再根据二次函数的最值问题求出周长最小时 的 x 的值，然后解答即可 【解答】 解：（ 1）如图 1，过点 M 作 点 E，作 点 F， O=90， 四边形 矩形， M 是 中点， Q=4， O=90， ， ， F， 四边形 正方形， 0， 0， 在 ， ， B （ 2） B=图 2，连接 在 ， Q， M 是 点， 0 即 0， 0， 0， ，由勾股定理得 P= 在 ， 0， P=45， 5， M=， 在 ， B， Q=Q=A （ 3）有最小值，最小值为 4+2 理由如下：根据（ 1） F， 设 OA=x，则 x， F+（ 2 x） =4 x， 在 ， = ， 0， B， = ， 周长 =B+AB=x+（ 4 x） + =4+ ， 所以，当 x=2，即点 A 为 中点时， 周长有最小