不等式及其训练题解析.docx

不等式的性质、一元二次不等式【知识梳理】知识要点：1 任意两个实数大小的比较_；_； _2 不等式的基本性质（1）对称性 _；（2）传递性 ，_；（3）加法法则 _；（4）乘法法则 ，_； ，_；（5） 同向可加性 ，_；（6）同向可乘性 ，_； （7）乘方法则 ，_；（8）开方法则 ，_解不等式的基本原则：等价转化 1 一元一次不等式的解法 (1) 当时，_，解集为_； (2)当时，若，解集为_；若，解集为_； (3)当时，_，解集为_2 一元二次不等式与二次函数、二次方程的关系的图象的根的解集的解集 3 分式不等式的解法 （1）_； （2） _【典型例题】例1（）设Mx2y24x2y(x2，y1)，N5，则M与N的关系是.解析：答案填MN ，MNx2y24x2y5(x2)2(y1)2，x2且y1，MN0即MN.变式1设mn，xm4m3n，yn3mn4，比较x与y的大小2若且，则下列不等式中成立的是()A BC D如果a、b、c满足cba，且acac Bc(ba)0Ccb2ab2 Dac(ac)0例（）已知12a60,15b36，则ab的取值范围为_，的取值范围为_解析：答案填(24,45)(，4)，15b36，36b15.又12a60，24ab45.15b36，.又12a60，0的解集是_解析：答案填(4,2)，不等式0等价于(x2)(x4)0，4x0的解集为x|2x4，则实数p.解析：答案填2，2,4是方程x2qxp0的根，且p0，24p2，p2.变式若x|2x3为x2axb0的解集为()Ax|x3Bx|2x3Cx|xDx|x例（）解关于x的不等式x2(aa2)xa30.解：将不等式x2(aa2)xa30变形为(xa)(xa2)0.方程x2(aa2)xa30的两根为a，a2.当a1时，aa2，解集为x|xa2当0a1时，a2a，解集为x|xa当a0或1时，解集为x|xR且xa综上知，当a1时，不等式的解集为x|xa2；当0a1时，不等式的解集为x|xa；当a0或1时，不等式的解集为x|xR且xa变式解关于x的不等式：ax222xax(a2xp.(1)如果不等式当|p|2时恒成立，求x的取值范围；(2)如果不等式当2x4时恒成立，求p的取值范围解：(1)不等式化为：(x1)px22x10，令f(p)(x1)px22x1，则f(p)的图象是一条直线又因为|p|2，所以2p2，于是得 即 即x3或x3或xx22x1，2x4，x10.p1x.由于不等式当2x4时恒成立，所以p(1x)max.而2x4，所以(1x)max1，于是p1.故p的取值范围是p1.变式已知当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.小结：1比较两个实数的大小，考察它们的差：ab0ab；ab0ab；ab0ab作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，可通过配方、因式分解等恒等变形，化“差”为“积”；第三步：定号，就是判断结果是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)2不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，注意恒等（双向）和非恒等（单向）区别3解一元二次不等式要注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解4一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根5含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行综述【巩固拓展】1不等式x2|x|20的解集是()Ax|2x2 Bx|x2Cx|1x1 Dx|x12已知a、b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是()Aa2b2 Ba2bab2 C. D.3若，则下列不等式中一定成立的是()来源:A B. C D. 4设a1，则关于x的不等式a(xa)(x)0的解集是()Ax|x Bx|xaCx|xa或x Dx|xa0)，若再添上m克糖(m0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为()A. C.6不等式3的解为_7设实数满足，则的最大值是 。8已知关于的一元二次方程.若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，的取值范围为_ _9设a0，a1，t0比较logat与loga的大小10解关于x的不等式：ax222xax(aR) 二元一次不等式组与简单线性规划问题【知识梳理】知识要点：1 二元一次不等式所表示的平面区域： 一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的_我们把直线画成_以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成_ 2 二元一次不等式表示区域的判定方法：由于对直线同侧的所有点的坐标代入，所得到实数的符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点，从的_即可判断表示直线哪一侧的平面区域当时，通常把原点作为此特殊点3 线性规划的有关概念： （1）_：由条件列出的一次不等式组； （2）_：由条件列出的函数表达式； （3）_：由线性约束条件得到的平面区域中的每一个点； （4）_：由线性约束条件得到的平面区域中的每一个点构成的集合；（5）_：在可行域中使目标函数取得最值的解4求解线性规划应用问题的基本步骤： （1）设出决策变量，找出所有线性约束条件和目标函数； （2）作出可行域(注意边界及特殊点)； （3）利用可行域和线性目标函数寻找最优解（注意利用目标函数的截距来判断）；如题设的实际需要，还要调整最优解（如整数解） 【典型例题】例1（）已知点(1,2)和(3，3)在直线3xya0的两侧，则a的取值范围是.解析：答案填(1,6)，由(32a)(333a)0，即(a1)(a6)0，1a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值等于 .例3（）已知x，y满足条件(1)求z4x3y的最值(2)求ux2y2的最值解：原不等式组表示的平面区域如图所示其中A(4,1)、B(1，6)、C(3,2)(1)作与4x3y0平行的直线l：4x3yt，即yx，则当l过C点时，t最小；当l过B点时，t最大；zmax4(1)3(6)14，zmin4(3)3218.(2)表示点 (x，y)到原点的距离，结合不等式组所表示的区域，知B点到原点距离最大；而当(x，y)在原点时，距离最小为0.umax(1)2(6)237，umin0变式已知实数满足.求的取值范围；(2)求的取值范围来源:例4（）某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目由题意知目标函数zx0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域作直线l0：x0.5y0，并作平行直线l0的一组直线x0.5yz，zR，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x0.5y0的距离最大，这里M点是直线xy10和0.3x0.1y1.8的交点解方程组得x4，y6.此时z140.567(万元)当x4，y6时，z取得最大值所以投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大变式某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低例5（）利用平面区域求不等式组的整数解解：把x3代入6x7y50，得y4，又y2，整点有：(3,2)(3,3)(3,4)；把x4代入6x7y50，得y3 ，整点有：(4,2)(4,3)把x5代入6x7y50，得y2 ，整点有：(5,2)，把x6代入6x7y50，得y2，整点有(6,2)；把x7代入6x7y50，得y，与y2不符整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)变式某厂有一批长为18m的条形钢板，可以割成1.8m和1.5m长的零件它们的加工费分别为每个1元和0.6元售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元问如何下料能获得最大利润小结：1二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分（切忌死记硬背）2作不等式组表示的可行域时，必须标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解画平面区域时，还要注意边界线的虚实问题3在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法解决相关问题4在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析【巩固拓展】1不等式组，表示的区域为D，点P1(0，2)，点P2(0,0)，则()AP1D，P2DBP1D，P2DCP1D，P2DDP1D，P2D2已知x、y满足约束条件，则z2x4y的最小值为()A5B6C10D103如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数zaxy (a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为()A. B.C4 D.4某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱5如图所示，表示满足不等式(xy)(x2y2)0的点(x，y)所在的区域为()6若点和在直线的两侧，则的取值范围是_7设x、y满足约束条件，则z2xy的最大值是_8若实数x，y满足则不等式组表示的区域面积为，z的取值范围是.9求由约束条件确定的平面区域的面积S和周长C10已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/t和1.5 元/t，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/t和1.6 元/t.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？第十二编 基本不等式： （a,b0）【知识梳理】知识要点：1 公式(1) 若是正实数， 则_（当且仅当_时等号成立）2 公式（2） 对于任意实数都有_，当且仅当_时等号成立3 运用基本不等式直接求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件 （1）若，且(定值)， 则当时，有最小值_； （2）若，且(定值)， 则当时，有最大值_； 4灵活变式：（1）_（当且仅当时取等号）；（2）_（当且仅当时取等号）【典型例题】例1（）若，则有最_(填“大”或“小”)值，为_解析：答案填大，；，变式1设0a0，则y2x的最大值为.3已知x，则f(x)有()A最大值 B最小值C最大值1 D最小值1例2（）已知，且，的最小值为_解析：答案填，因为，且，所以当且仅当且，即，时，等号成立.所以的最小值为.变式若正数满足，则的最小值是_例3（）若，.求的取值范围_求的取值范围_解析：答案填】 ；，由，则.，当且仅当时取等号，因此的取值范围是来源:，当且仅当时等号成立，又，因此的取值范围是变式1设x，yR且2x8yxy0，求xy的最小值2已知正数a，b满足abab3，则ab的取值范围为.例3（）某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?解：设使用x年的年平均费用为y万元由已知，得y.即y1(xN*)由均值不等式知y123，当且仅当，即x10时取等号因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元变式某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3 000平方米，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写