利用MATLAB辅助模糊数学课程的教学探讨陈豫眉.pdf

教 学 改 革 广 角教 学 改 革 广 角 70 中国电力教育 2009年9月上 总第144期 模糊数学是研究和处理客观模糊现象的一门新兴学科 自 1965 年美国加利福尼亚大学的 L A Zadeh 教授发表 Fuzzy Setes 一文以后 模糊数学便作为一门新的数学学科诞生了 1 模糊数学 作为一门重要的课程 它的出现与发展对理 工 农 医 计算机与自动控制 军事以及社会科学等领域产生了极大 影响 它使得上述领域不断地出现新的成果 从而加速了这些 领域的发展 所以 学生学好模糊数学十分重要 2 模糊数学 在培养学生辩证唯物主义的认识论 方法论 教学素养和应用 能力等方面都有着良好的教育功能 1 由于模糊数学本身的系统化 严密化 涉及的数学知识较 广较深 使得不少学生感到理论太抽象 对所学内容理解不透 因而产生了畏难情绪 2 仅通过讲授的方式 学生很难理解和 接受 而通过增加实验环节的方式又需投入大量的人力 物力 和时间 因此需要寻找一种简捷易行 方便直观的新型教学方式 来弥补传统教学方式的不足 传统教学现状大多是采用板书的 形式 在学习 模糊数学 课程的应用部分时 因为计算量大 过程繁琐的特点 实际讲授时 为使学生掌握其基本理论知识 避开繁琐的计算 尽量选用一些计算量小的例题进行讲解 随 着高校教学改革的深入 教师首先要转变教学思想 除了采用 传统的教学手段之外 还应借助计算机辅助教学 更新教学方 法 3 教学手段作为教学的重要因素 3 10 学生支持多媒体的 教学手段 32 的学生希望将传统手段与现代多媒体进行有机 的结合 4 计算机技术的飞速发展和普及 使多媒体教学在高 等学校中的地位越来越重要 应用于数学分析和工程计算的软 件很多 但国际公认最有效的工具软件当属 MATLAB 针对本 课程的特点 结合 MATLAB 语言所具有的优势 如果能在实 际的教学过程中充分利用 MATLAB 的特点 不仅有助于提高 教学质量 节约课时 而且对提高教学的可视化和学生的学习 积极性都将起到积极的作用 从而提高教学质量 3 一 MATLAB 语言的特点 MATLAB 语言的出现将数值计算技术与应用带入了一个 新的阶段 MATLAB 是高性能的集数值分析 矩阵运算 信 号处理和图形显示于一体的可视化软件 包含了丰富的工具箱 函数 能简便地解决在系统仿真领域教学与研究中遇到的问 题 可以将使用者从繁琐的底层编程中解放出来 把有限的 宝贵时间更多地花在解决科学问题中 这样无疑会提高工作效 率 更方便的是 它还提供了用户可编程设计的图形用户界面 Graphical User Interface 简写为 GUI 设计工具 为课堂 实验教学和实验仿真提供了十分有效的手段 5 MATLAB 的上述特点 使它深受工程技术人员及科技专 家的欢迎 并很快成为应用学科计算机辅助分析 设计 仿真 教学等领域不可缺少的基础软件 目前 国内很多理工院校已 经或者正在把该软件作为学生必须掌握的一种软件 3 二 利用 MATLAB 辅助教学 1 MATLAB 有助于模糊数学概念的教学 以 隶属函数 概念为例 模糊数学是以模糊集合论为基 础 隶属函数是模糊集的基本概念 也是模糊控制的应用基础 正确构造隶属度函数是能否用好模糊控制的关键之一 隶属函 数的确定过程 本质上说应该是客观的 但每个人对于同一个 模糊概念的认识理解又有差异 因此 隶属度函数的确定又带 有主观性 L A Zadeh 指出 6 若对论域 研究的范围 U 中的任一元 素 x 都有一个数 A x 0 1 与之对应 则称 A为U上的模糊 集 A x 称为 x 对 A 的隶属度 当 x 在 U 中变动时 A x 就是 一个函数 称为 A 的隶属函数 隶属度 A x 越接近于1 表示 x 属于A 的程度越高 A x 越接近于 0 表示 x 属于A 的程度越 低 用取值于区间 0 1 的隶属函数 A x 表征 x 属于A 的程度高 低 这样描述模糊性问题比起经典集合论更为合理 是对经典 集合论中元素与集合 非此即彼 的二值逻辑关系改造成 亦此 亦彼 的结果 也就是把经典集合论特征函数的取值范围从 0 1 扩大到 0 1 1 隶属函数对于学生而言 是一个抽象的概念 在授课过程 中 将基本概念和原理给学生讲通讲透的同时 充分利用计算 机的表现能力将抽象问题具体化 可利用 MATLAB 模糊工具 利用 MATLAB 辅助 模糊数学 课程的教学探讨 陈豫眉 谭代伦 摘要 模糊数学 课程具有内容繁多 概念抽象等特点 学生在学习时常常会感到枯燥 难以理解和掌握 为了提高学生学习该 课程的兴趣 增强对知识的理解和掌握 利用 MATLAB 软件提供的强大功能辅助 模糊数学 课程的教学 实例表明 效果良好 关键词 模糊数学 MATLAB 教学 作者简介 陈豫眉 1972 女 四川眉山人 西华师范大学数学与信息学院 副教授 理学硕士 主要研究方向 微分方程数值 解及数学建模研究 谭代伦 1971 男 重庆铜梁人 西华师范大学数学与信息学院 副教授 理学硕士 主要研究方向 计算方法 和计算机辅助教学研究 四川 南充 637002 基金项目 本文系四川省教育厅青年基金项目 07ZB087 07ZB154 西华师范大学校极科研项目ICAI系统研究 2008 2010 的 研究成果 教 学 改 革 广 角教 学 改 革 广 角 71 中国电力教育 2009年9月上 总第144期 for i 1 size A 1 for j 1 size B 2 for k 1 size A 2 d k min A i k B k j c i j max d end end end fprintf The fuzzy product is c 在 MATLAB 命令窗口键入 A 0 3 0 7 0 2 1 0 0 9 B 0 8 0 3 0 1 0 8 0 5 0 6 fuzzyproduct A B 运行结果为 ans 0 3000 0 7000 0 8000 0 6000 在上述模糊矩阵合成基础上 可用以求解传递闭包 若 U 中只有n 个元素 R 是 U上的模糊关系 则其传递闭包为 7 R n k 1 RK 例 2 设 R 0 3 0 4 0 5 0 2 0 3 0 7 0 8 0 4 0 3 求其传递闭包 function C fuzzyclosure R 函数功能实现求传递闭包 R2 fuzzyproduct R R R3 fuzzyproduct R2 R for i 1 size R 1 for j 1 size R 2 C i j max max R i j R2 i j R3 i j end end fprintf The fuzzy closure is 在 MATLAB 命令窗口键入 R 0 3 0 4 0 5 0 2 0 3 0 7 0 8 0 4 0 3 C fuzzyclosure R 运行结果为 The fuzzy closure is C 0 5000 0 4000 0 5000 0 7000 0 4000 0 7000 0 8000 0 4000 0 5000 从此例可以看出 将求传递闭包繁琐的工作简化 3 MATLAB 有助于模糊数学应用问题的求解 模糊数学在判别分析 聚类 综合评价以及线性规划等方 面有着广泛的应用 以模糊模式识别和模糊综合评判为例 模糊识别大致有两种方法 7 一种是直接方法 按照 最 大隶属原则 归类 主要应用于个体的识别 另一种是间接方法 按 择近原则 归类 一般应用于群体模型的识别 箱中不同的隶属函数 memership function 直观的帮助学生 理解隶属函数这个抽象的概念 在 MATLAB 中 已经把复杂 的概念和数学公式编织成可以直接调用的函数 可以调用来讲 解许多概念和理论的实际意义和应用 因此我们在演示图形时 只是将 MATLAB 作为一种辅助教学手段 淡化了程序的编写 过程 程序的编写非常简洁 只让学生观察仿真结果和比较各 个图形 使课本中的抽象原理形象化 提高了教学效果 例 1 6 某 地 区十 年 降 水 量 分 别为 324 5 287 3 433 2 232 4 311 0 158 9 327 4 365 5 271 0 324 8 试建立 降水量 适中 的隶属函数 在 MATLAB 命令窗口键入 a 324 5 287 3 433 2 232 4 311 0 158 9 327 4 365 5 271 0 324 8 meana mean a stda std a h lillietest a 由于 h 0 数据服从正态分布 可以使用高斯型函数 在 MATLAB 命 令 窗 口 键 入 y gaussmf a stda meana legend 高斯型隶属函数 plot a y 得到每年降水量关于 降水量适中 的隶属度及其散点图 见 图1 y 0 9610 0 9761 0 2170 0 6306 0 9950 0 1489 0 9498 0 7057 0 9079 0 9599 MATLAB 在模糊数学计算上的应用 以模糊矩阵合成运算为例 模糊矩阵合成是模糊矩阵常 用运算之一 也是模糊聚类分析 模糊综合评判等应用的基 础 模糊关系是一般关系的推广 其定义如下 7 设 U 和 V 是 两个普通集合 U 和 V 的直积 U V x y x U y V 上 的一个模糊子集 R 便称为 U 到 V上的一个模糊关系 若 x y R 则称 x 和 y 具有关系 R 当 U 和 V 为有限集合时 模 糊关系 R 可以用矩阵表示 模糊矩阵与普通矩阵的区别在于 矩阵 R rij 中的元素 rij 0 1 设模糊矩阵分别为 A aij m l和 B bij l n 按照模糊矩阵合成法则 则 A 对 B 的合成为 A B C cij m n 其 中 cij l k 1 aik bkj i 1 2 m j 1 2 n 符号 和 分别表示取大和取小运算 在模糊矩阵合成 基础上求解传递闭包 实际也是反复合成的过程 因此考虑将 合成过程用 MATLAB 实现 function fuzzyproduct A B 函数功能实现两个模 糊矩阵的合成 教 学 改 革 广 角教 学 改 革 广 角 72 中国电力教育 2009年9月上 总第144期 设 Ai F U i 1 2 n 对 u0 U 若存在 i0 使 Ai0 u0 max Al u0 A2 u0 An u0 则认为 u0相对地隶属于Ai 这是最大隶属原则 下面进 行个体模糊识别 例 3 7 考虑人的年龄问题 分为年轻 中年和老年三类 分别对应三个模糊集 此处略去其隶属函数 某人 35 岁 试对 其进行模糊模式识别 function fuzzyclass x 函数功能是对进行模糊模式识别 if 0 x x 20 g1 1 对应年轻的隶属函数 else if 20 x x 30 g1 1 2 x 20 20 2 else if 30 x x 40 g1 2 x 40 20 2 else g1 0 end end end if 0 x x 50 g3 0 对应年老的隶属函数 else if 50 x x 60 g3 2 x 50 20 2 else if 60 x x 70 g3 1 2 x 70 20 2 else g3 1 end end end g1 1 g1 g3 g3 在 MATLAB 命令窗口键入 fuzzyclass 35 运行结果为 ans 0 1250 0 8750 0 因此 按照最大隶属度原则 他应该是个中年人 模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评标方法 该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为 定量评价 即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做 出一个总体的评价 它具有结果清晰 系统性强的特点 能较 好地解决模糊的 难以量化的问题 适合各种非确定性问题的 解决 模糊综合评判的基本思想是利用模糊线性变换原理和 最大隶属度原则 考虑与被评价事物相关的各个因素 作出合 理的综合评价 模糊评价法的一般步骤是 确定评价因素和 评价等级 构造评判矩阵和确定权重 进行模糊矩阵合成和 做出决策 例 4 7 设U 花色式样 耐穿程度 价格费用 为服装评 判的因素集 其评语集为V 很欢迎 比较欢迎 不太欢迎 不欢迎 试进行单因素评价 设某类顾客所给的权重为 A 0 5 0 3 0 2 由所有单因素评判组成的评判矩阵为 B 0 7 0 2 0 1 0 0 2 0 3 0 4 0 1 0 3 0 4 0 2 0 1 则可求出此类顾客的综合评判为 C A B 运行结果为 C 0 4700 0 2700 0 2100 0 0500 它表示的评价是 很欢迎 的程度是 47 比较欢迎 为 27 不太欢迎 为 21 不欢迎 为 5 按照最大隶属 度原则 结论是 很欢迎 注 这个模型中的矩阵合成采用了实数的加乘运算 也可 按照 和 两个运算直