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文档简介
3泰勒 Taylor 级数 第四章级数 两类问题 在收敛圆域内 解析函数 一 泰勒定理 其中 泰勒级数 泰勒展开式 泰勒介绍 如图 由柯西积分公式 有 其中K取正方向 则 证明 由高阶导数公式 上式又可写成 其中 可知在K内 令 则在K上连续 即存在一个正常数M 从而在K内 泰勒级数 由上讨论得重要定理 泰勒展开定理 说明 1 复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多 想一想 为什么 4 任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的 为什么 因为解析 可以保证无限次各阶导数的连续性 所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多 注意 问题 利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数 展开式是否唯一 那末 即 因此 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数 因而是唯一的 二 将函数展开成泰勒级数 常用方法 直接法和间接法 1 直接法 由泰勒展开定理计算系数 例如 故有 仿照上例 2 间接展开法 借助于一些已知函数的展开式 结合解析函数的性质 幂级数运算性质 逐项求导 积分等 和其它数学技巧 代换等 求函数的泰勒展开式 间接法的优点 不需要求各阶导数与收敛半径 因而比直接展开更为简洁 使用范围也更为广泛 例如 附 常见函数的泰勒展开式 例1 解 上式两边逐项求导 例2 解 例3 解 例4 解 即微分方程 对微分方程逐次求导得 奇 偶函数的泰勒级数有什么特点 思考题 奇函数的泰勒级数只含z的奇次幂项 偶函数的泰勒级数只含z的偶次幂项 思考题答案 放映结束 按Esc退出 泰勒资料 Born 18Aug1685inEdmonton Middlesex EnglandDied 29Dec1731inSom
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