《椭圆及其标准方程》教学设计（罗凌燕）.doc

椭圆及其标准方程广州市第四十一中学 数学科 罗凌燕【教学目标】：知识目标：1掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程。2能用标准方程判定曲线是否是椭圆。能力目标：通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析、探索的能力，增强运用代数法解决几何问题的能力。【重点难点】：教学重点：椭圆的定义及标准方程的推导。为突出重点，本节的教学应指导学生抓住数形结合的数学思想方法。教学难点：椭圆方程的推导。为了突破此难点，关键是抓住 怎样建立坐标系 并把实际问题数学化即建模和 怎样简化方程 两个环节来进行方程的推导。复习定义推导方程结构分析巩固练习课堂小节课题引入布置作业【教学过程】：教学环节教学过程（学生探究、教师引导）设计意图创设情景电脑演示：1油罐车横截面的轮廓线；2将一个圆压扁。并提问他们的形状如何？引出课题。通过对现实生活中的实例为学生提供丰富的知识背景，调动学生的好奇心，激发学生学习新知识的兴趣。概念复习将一条无弹性的细绳的两端用图钉固定，一支铅笔的笔尖沿细绳运动，能得到什么图形？所得的图形上的点始终满足什么条件？如果细绳的长度或两图钉的相对位置，所得的图形有何变化？问题1：当线长大于F1F2时，笔尖的轨迹是 问题2：当线长等于F1F2时，笔尖的轨迹是 问题3：当线长小于F1F2时，笔尖的轨迹是 椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做焦距说明椭圆上的点到两个焦点的距离之和记为2a，焦距记为2c，即F1F2 = 2c注意：P为椭圆上的点用多媒体的直观性的特点来让学生很清晰的了解椭圆的形成过程，有利于学生更好的掌握椭圆的定义。椭圆标准方程的推导求椭圆的方程可分为几步？（提示学生回忆求圆的方程的步骤）如何建立适当的坐标系？（让学生根据自己的经验来确定）原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；主要应使曲线相对于坐标轴具有较多的对称性。建立适当的直角坐标系：以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的坐标系。设点：设P是椭圆上的任意一点，yF2oPF1，则，；根据条件得x（1）化简：（方法一：两边平方） 问能否美化结论的形象？，令则：问由直线方程的截距式是否可以得到启发？椭圆方程为：（法二：分母有理化）对（1）进行分子有理化得：两边取倒数化简得（2）（1）+（2）得：（3）对（4）两边平方可得椭圆的标准方程。为推导椭圆的方程作准备通过学生自己动手推导方程是学生构建知识的一个过程。用方法一思路比较清晰自然，但是需要两次平方，计算量较大，用方法二虽然只需要一次平方，但是需要一定的思维量，而且方法二的化简对以后学习第二定义打下基础。归纳延伸yF2oPF1x当焦点在x轴上：，；方程：yF2oPF1x的关系：，及时小结，巩固知识。焦点在y轴上：，方程：的关系：，例题讲解一、基础训练1、若动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹为（ ）A椭圆 B线段 C直线 D不能确定2、已知椭圆的方程为，则 ， ， ，焦点坐标为： ，焦距为 如果曲线上一点P到焦点的距离为8，则点P到另一个焦点的距离等于 。例题讲解例1、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为m，外轮廓线上的点到两个焦点之和为3m，求这个椭圆的标准方程。变式训练：若椭圆满足：，求它的标准方程。例2、将圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线？第一部分的基础训练：先用小题目及时巩固刚学的定义和方程第二部分的例题讲解是用来回答上课提出的两个问题，有利于学生的规范解题。例1是巩固椭圆的标准方程。通过学生熟悉的实际模型，体会圆锥曲线应用的广泛性。例2运用方程证实猜想：椭圆可用圆进行压缩变换得到。它揭示了椭圆与圆之间的内在关系。，这种内在联系有利于进行类比探索，从圆的有关性质发现椭圆的相关性质。（例2的解法也给出了证明曲线类型的一种方法：根据方程的形式进行判定。这里采用的是“坐标转移法”，即利用中间变量求曲线方程，这是学生第一次接触这种方法，教学中应说明“为什么可以这么做”“怎么想到这样做的？”这两个问题，渗透“转化”即未知、向已知转化的思想方法。课堂小结图 形定义焦点方程a,b,c的关系利用表格的直观，简洁的特性来作小结，能便于学生巩固，掌握。作业布置1、思考题：对于方程满足什么条件时？它表示椭圆？（）2、教材P26页习题2.2（1）第2，3，4题3、推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程。作业的布置要因材施教，要有弹性，让学有余力的学生的创造性得到进一步发挥。板书设计：椭圆的标准方程1、定义2、标准方程：焦点在x轴上： 焦点在y轴上：例题讲解：1.2.演算区教学设计：1、将新课程理念融入教学中，改变学生的学习方式 在教师的启发点拨下，学生始终处于问题探索研究状态之中，激发了学生的学习兴趣，有利于改变学生的学习方式；通过自主探究解决问题，有利于学生的实践能力和创新意识的培养，注重“引、思、探、练”的结合形成师生互动的教学氛围本节就是以这一理论为指导，让学生积极参与学生通过观察、猜想、推理等丰富多彩的活动达到了知识的主动建构与理解 2、本节课书上内容较简单，如果仅按照书上安排讲，学生也能掌握本节知识，但学生的能力得不到提高。新课标强调，教师应不只是知识的传授者，更是教学的组织者和引导者，课堂教学不仅是基本知识和基本技能的传授，还要重视获取知识的过程。 3、椭圆是常见的曲线，学生通过引言课及日常生活的经验，对椭圆已有一定的认识。本节课的内容就是“椭圆的标准方程”，在第一节的内容中已经介绍了圆锥曲线的定义的基础上，只需简单复习一下即可。在公式的推导过程中，我们就必须要好好的引导，这是学习解析几何的两个基本问题的一个：即怎样建立圆锥曲线的方程(用解析法，坐标法)，利用了数形结合的思想，在讲解建立直角坐标系第一个难点时，讲清为什么要那样建；方程变形时，主要让学生弄清如何去根号，这是第二个难点；对于第三个难点令，重在引导学生理解为什么要那样做，有什么好处。通过对这几个难点的逐一破解，在公式的化简过程中，学生遇到了平常见得不多的需两次平方的方程，这就加大了计算量，在此处提示他们能否用其他方式来进行化简，提高了他们的观察能力和计算能力。4、两道例题的安排主要出于这样的考虑：其中例1巩固椭圆标准方程，通过学生熟悉的实际模型，体会圆锥曲线应用的广泛性。例2验证了椭圆可用圆进行压缩变换得到这一猜想，揭示了椭圆与圆之间的内在联系，同时让学生对轨迹问题有一个初步的认识。 练习题目主要让学生自己去完成，给他们足够的时间加以思考和巩固. 总之，本节课主要以教师引导为主，但始终把学生独立思考、善于发现、大胆探索的精神贯穿于整个教学