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交给学生思考的钥匙信息技术与中学数学 “3+X”高效课程整合切入点的研究陈 谦 甘肃省定西市安定区中华路中学 邮编：743000甘肃省教育科学“十二五”重点课题研究成果 批号 2012GSZ68提要：没学会解题的原因是没把思考的钥匙交给学生，通过研究要将这把钥匙真正地交给学生。从研究三个概念（“3+x”构式课堂教学建模式、高效课程、好问题与提好问题），探讨三个案例（布特纳教学的启示、函数教学设计、为什么不会解题），明确应当注意的四个误区入手，找到了整合课中把思考的钥匙交给学生的切入点关心爱护、表扬激励、尊重差异；提好问题；所提问题要有阶段性、独立性、精细性、实验性；要学会思考。关键词：思考的钥匙；“3+X”高效课程； 整合；切入点学会思考比学会知识更重要。陶行知先生强迫喂鸡的演讲故事（见教育文汇2007年02期），非常形象地说明了一个抽象的道理：要让学生把学习搞好，就要发挥学生学习的主观能动性。曾经有人说过：“数学不是听讲会的，而是演算会的”。虽然这句话不完全正确，但至少包含着某些合理的成分。信息技术与中学数学“3+x”高效课程整合切入点的研究，就是为自主学习，高效学习找准“3+x”构建式课堂教学模式达成的高效课程的切入点和落脚点，把思考的钥匙真正交给学生。1 有关概念及其内涵的研究1.1 “3+x”建构式课堂教学模式的内涵“3+x”建构式课堂教学模式是学习借鉴江苏洋思中学“先学后教、当堂训练”教学模式、山东杜郞口中学“三三六”教学模式提出的“六模块3+X建构式课堂”教学模式。六模块为： “问题指向，预习先行”模块； “呈现目标，任务导学”模块； “互动探究，合作求解”模块； “交流展示，适度拓展”模块； “反馈矫正，尊重差异”模块； “强化训练，当堂达标”模块。具体操作方式为：教师依据课程标准和学生实际，确定适宜的教学目标，围绕教学目标系统把握教材，适当整合其他教学资源，在保证、模块的前提下，依据不同学科、不同教学内容、不同班级的学情等实际需要整合与建构，灵活选择运用、模块，建构促进学生自主学习，实现对话交流、动态生成、合作共享，实现学生知识、能力与情感协同发展，有效高效的课堂。1.2 高效课堂与高效课程的关系高效课堂与高效课程的关系是微观与宏观的关系，是被包容与包容的关系，是相辅相成的关系。高效课堂专指通过一个单位课堂教学所达到教学效益与效率的最大化，高效课程指通过若干个单位课堂教学和课外活动取得的学习效益与效率的最大化。高效课堂是高效课程的基础，高效课程是目标和方向。课堂高效不一定课程高效，要达到课程高效必须课堂高效，通过课堂高效达成课程高效。1.3提好问题是实现高效课程的钥匙在具体的学习中学生想什么，怎么想，全凭学生自己的阅读和演算是难以摸准脉络的，这时需要教师的诱导和启迪。教师诱导和启迪的最好办法就是提出学生思考的好问题。陶维林老师（南京师大附中特级教师）2011年8月在兰州七中的新课程培训课上给学员培训时，反复强调教师要多提问题，要提好问题，其意图是把思考的钥匙要交给学生。2 案例研究案例1：高斯聪敏还是他的老师教学有方？高斯在上小学时，布特纳（Buttner）除了一道很难的题，把1+2+3+4+99+100加起来等于几。老师规定，每个人要把答案写在一块石板上，写好后放在课桌上。老师布置完后，高斯已经把答案放到了讲桌上。老师以为错了，让他继续做，可高斯站着没动，老师看了看高斯的结果，是5050，老师很惊讶。最后公布答案时，高斯的答案是对的，并且高斯还能准确无误的说出解题方法。布特纳对他刮目相看。后来，布特纳特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。”接着，高斯与布特纳的助手巴特尔斯(J.M.Bartels)建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世。他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。 这个故事说了几百年，评了几百年。在这几百年的评说过程中肯定高斯聪敏的多而肯定布特纳教学有方的少。不可否认，高斯的确聪敏好学，但是，从这个故事更能透视出布特纳施教的高招：从出题到核对答案，以及激发兴趣等深层次的方面，折射出布特纳用他的教学智慧影响着学生的发展，可以说他真正地把思考的钥匙交给了学生，帮助学生实现了高效课程。布特纳的教学是“信息技术与数学3+x高效课程整合”中诸多要素的具体体现。用石板呈现信息。布特纳要求学生把答案写在石板上，最后亮出石板上的答案，这与现代信息技术中的展台呈现答案的方式一样。当然，现在的课堂还可以借助动画把高斯的加法过程显示出来；出题环节与“呈现目标，任务导学”模块吻合；公布答案环节与“反馈矫正，尊重差异”模块吻合；让高斯说出解法环节与“交流展示，适度拓展”模块吻合；整个课堂就是“强化训练，当堂达标”模块。当高斯很快交上答案时，布特纳很惊讶，可以有两种解读：真的惊讶，为高斯的聪敏惊讶。老师的惊讶对学生是一种有形的鼓励，通过惊讶的表情更进一步激发学生学习的热情。如果这样优秀的学生站在老师面前，老师没有任何表情，对学生而言是一种悲哀，对学生的学习就没有催动力；装出的惊讶，为激励高斯而惊讶，这是布特纳的高招。布特纳表现出的惊讶在本文中的意思是后者，这一点可以由后来的布特纳买最好的算术送给高斯为证。关心爱护、表扬激励、尊重差异，是布特纳高效教学的一个基本切入点。当高斯聪敏的天资展现出来时，布特纳特意买最好的算术书送给高斯，用激励的语言说：“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。”并且把高斯介绍给他的助手巴特尔斯(J.M.Bartels)，以期有更好的发展。案例2：1.2.1函数的概念（新人教数学（A版）必修1）新授课用集合与对应的语言所刻画的函数概念及其函数的符号，多数学生很难达到透彻理解的程度。该节内容是教学中的一大难点。运用“3+x”建构式教学模式设计预习问题时，处理好信息技术与课程内容的整合，要留给学生足够的实验和思考时间，将思考的钥匙真正的交给学生。任何一个函数的二元关系都可以由实体语言和动画语言显现，教师可以利用函数的这个特征，将课本上的三个实例全都制作成动画交给学生，让学生结合动画过程阅读预习课文，结合具体问题体会用“集合与对应”的语言所刻画的函数概念的内涵。2.1 预习问题的设计要有共性、整体性、趣味性、启发性、易读性（1）共性是对课文中出现的三个具体实例所反应出来的共同规律的凝聚。为了能让学生更好地挖掘出函数概念的本质，还可以补充第4个实例（为了便于说明，按课文及补充实例出现的先后对实例排序）：某工人在4月份每天的工资都是80元，并且合同约定当天支付工资。请你说说这个工人4月份第x天的工资y 与第x天的依赖关系。下面是根据4个实例设计的能反应函数概念和表示式内涵共性的预习课文的8个问题。问题1：忆一忆，初中你学过的函数的定义是什么？你学习了哪些具体的函数？这些函数中两个变量之间的依赖关系分别是什么？问题2：比一比，4个函数实例中两个变量之间的依赖关系分别是什么？试试看，你能用初中学到的函数概念解释清楚它们吗？问题3：试一试：请你用课文中给出的函数定义（用集合与对应的语言所刻画的函数概念）解释这4个函数实例。问题4：想一想：实例1中，时间s时高度为米。实例4中，工人在第天做完工后老板支付元的工资。如果这两个实例中不用文字说明具体的时间和第几天，你能从和中看出实例2中什么时间的高度为240米，实例4中第几天的工资是80元吗？如果用呢？问题5：求一求：实例1中求值：你发现了什么问题？分别在其它三个实例中求值：问题6：探一探：实例1中，能求出何时炮弹的高度为900米吗，为什么？问题7：什么是函数的定义域？什么是函数的值域？你在初中学过的三种函数的定义域、值域分别是什么？问题8：如果还想让学生理解得更透彻些，可以补充问题“是函数吗？如果是，请举出几个应用方面的例子，并用动画显现出两个变量之间的关系；如果不是，请说明理由”。有的老师在布置预习问题时给了学生一大堆题目，认为学生做完这些题目就实现了“问题指向，预习先行”。实际上这是变相加重学生课外作业负担的做法，很不利于提高学生思考的质量，因此，就不能实现真正意义上的高效。教师想好的问题有时会遗忘，为了“不遗忘”，办法是把备课时想到的问题记录下来，在课堂上呈现给学生。传统的记录问题的办法只能是教案，但在课堂上翻阅教案会给上课带来很多不便，现在好了，可以将问题记录在媒体课件上，用课件呈现就方便多了。（2）整体性是对函数概念（三要素）及表示式内涵全面的宏观的把握，设计的问题要覆盖所有内容。从横向方面看，反应函数内容的事例有实体语言、动画语言、图形语言、文字语言、符号语言；从纵向方面看，对函数的概念（定义）的刻画经历了一个从依存关系到对应关系的继承和发展过程。依存关系中两个变量是什么学生容易弄清楚，但依存的本质是什么，较为隐蔽，学生不容易整明白，如实例3和实例4。对应关系把形成函数的数集、中所对应的两数以及对应关系三项内容都显示了出来，这个特征便于更加明确地解释函数，但是让学生学习理解且显得较为抽象；另外，中学数学研究的函数是二元函数。二元函数与二元方程之间有着密切的关系，它们都是两个“变量”之间的依存关系，是被包容与包容的关系。但它们二者之间又有着很大的差别，对这种差别虽然没必要让学生去辨别清楚，但是，为了不让学生在一开始认识函数时将问题弄混淆，教师在设计问题时一定要想到它们两者之间的这个差别；整体性还要注意到课堂与课程的关系。对函数概念的全面深刻理解，一个课时是做不到的，需要后续的学习和研究来保障。因此，要注意对知识点进行合理、恰当、分时段的划分。划分时还要注意循序渐进原则。当然，如果有部分好学生对教师在第一个课时没规划到的问题提了出来，教师千万不要回避学生的问题，要积极热情地进行肯定和指导。比如，为了使定义域、值域的表示具有简捷性和直观性，课文中涉及到了“区间”的概念。有的学生对区间的概念在预习时进行了解，教师不能剥夺学生的课前学习知晓权，要进行合理地引导。虽然区间不是这节课的核心概念，但是，如果学生对这个概念认识不到位，在运用中就会发生许多意想不到的问题。因此，对区间的概念要在第二课时有所处理，并借助求函数定义域去感悟和掌握它真正的含义。（3）用文字语言陈述的数学概念强调了逻辑的严谨性和语句的精准性，削弱了阅读的趣味性；函数的表示符号加重了理解中的抽象度；函数定义域、值域的定义和表示降低了知识本源的显露性。这些现象使得部分学生对函数学习望而生畏，直接影响着他们学习的主动性。设计问题的目的就是要让预习的内容由隐性抽象变得显性形象直观，解除学生对数学学习的惧怕心理，以便提高学习兴趣，让所有学生都参与到主动学习的行列中。在设计趣味性方面，教师可以让学生借助课件中的动画功能理解抽象的文字叙述。下面的图形是对实例3（表11）制作的动画。学生通过移动“滑动杆”观察二元关系（年份，城镇居民家庭恩格尔系数（%）之间的对应关系。滑动杆城镇居民家庭恩格尔系数（%）53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9时间（年）19911992199319941995199619971998199920002001（4）预习过程要求学生独立进行，因此，所设计的问题必须是能够很好地启发学生思考的问题。设计启发性问题时还要注意问题的层次性，让不同层次的学生都能在预习中对函数的概念和表示有一个深刻的认知。（5）设计的问题的语句一定要浅显且容易理解，千万不能因为问题中文字语言表述的不科学和生涩而造成难以理解或理解错误。2.2 预习过程的设计要有阶段性、独立性、精细性、实验性（1）预习时间方面，概念部分的“问题指向，预习先行”模块由三个“五分钟”完成，即前节课的后五分钟、本节课的前五分钟、两课之间的课外活动（早晚自习）5分钟。通过三个“五分钟”，学生对课文及其实例至少阅读和实验三遍。（2）预习要求方面，预习过程要独立完成，不能讨论。预习时可以查阅相关的书箱，也可以借助网络，还可以借助教师制作的课件。通过独立预习，促使学生养成独立、深思、慎思的读书思考习惯。（3）预习的精细方面，对课文至少要粗读一遍、细阅一遍、实验探究一遍。粗读能从宏观上认识“为什么在初中已经学习了函数的概念而又要在高中学习函数概念”的问题，细读能对初高中对函数定义差别进行精准地研究和感悟，实验探究能对函数概念的认知从感性认识上升到理性认识，从而建立起自己的知识库。2.3. 呈现目标，任务导学”模块要完成学习效果质的飞跃中学数学的课堂教学的中心环节是“呈现目标，任务导学”，这个环节允许把第、模块合并进行，这个环节允许学生互相交流。具体的函数概念的教学过程，从下面几个方面开展活动。（1）教师要提出明确的学习目标，学生通过领会感悟学习目标，深化对函数概念及其表示式内涵的理解，加深对函数三要素的认知。对比4个函数实例，总结函数的定义域、值域的概念及表示。（2）呈现预习结果：对问题1-4的交流，让学生认识到函数的定义和表示是“自然的”，不是突然的，更不是强加的；对问题5-7的交流讨论，让学生进一步认识和感悟函数值域这个困惑学生的难题。什么是函数值？什么是函数的值域？对这两个问题，学生的认识一直是模糊的，多数学生求解与之有关的问题时往往是束手无策，因此让他们通过先求解，再感悟的方式进行体会、认知，就会消除困惑；对问题8，参考问题4回答是函数后，让学生举出三个应用性例子：王某某给一个酒店打工，第一天，工资30元，第二天，工资30元，第三天，工资30元，第天，工资30元。我校的东教学楼在时刻的高度是30米。我班张同学在高中的12次期中期未考试中，总分成绩名次都是30名。教师在后面的引导中就要很好地发挥这三个例子的作用。（3）课堂上交流了问题8中举出的三个应用性实例后，教师提出“这三个函数是相同的函数吗？”这样一个新问题，把“思考”的皮球再次踢给学生，让学生再思考辨析，用此来达到深入研究构成函数三要素、深刻认识函数表示式内涵的目的。（4）在交流过程中，学生也可以用教师准备好的课件动画（预习时把课件交给学生）进行演示和实验，发挥函数“动画语言”的功能。例如，实例1中炮弹高度的范围通过观察动画会一目了然，这个演示实验也为求解二次函数值域提供了“理解”平台。当然，数学课中信息技术的运用，也能促使师生加大信息技术知识学习的力度。2.4 从整体与全局上规划“强化训练，当堂达标”模块函数概念的学习需要23个课时（我校每个课时40分钟），规划课时学习任务时，其侧重点要有所不同，不能每堂课都去练习，或者每堂都去讨论。第一堂课的重点是学生呈现他们对预习问题解决的情况，并对呈现出来的结果进行讨论辨析，教师或者学生根据讨论的情况还可以提出一些新的问题，让学生继续进行交流探讨。这个课堂讨论交流的重点内容应当是4个实例以及8个预习的问题，达成的认知目标是函数的定义、表示式、定义域和值域。第二堂课的重点是例题的学习和练习题的训练，做到“互动探究，合作求解”和“强化训练，当堂达标”两大模块。学习的内容是区间的表示、例1、例2；练习的内容和课文中的练习题和习题。根据预习和分组交流讨论的结果，让学生自己完成例题和练习题。对错误的地方先让没做错的组帮助解决，对全班性的问题由教师通过设置问题解决。达成的认知目标是：会求解简单函数的定义域并能用区间表示定义域；通过求函数值，加深对函数与函数值异同的认识，了解一些常见的判断不同函数的基本方法。第三堂课的重点是在教师的组织引导下，进行总结、拓展、提高。案例3：为什么不会解题解数学题是数学学习的中心环节，对中学数学课程学得怎么样，教学效率高不高，衡量的唯一标准就是看学生会不会运用学到的知识解数学题（含应用型题目）。实际上学生最头痛的事就是不会解数学题。为什么学生不会解数学题呢？主要原因有两方面：一是对数学概念不清楚，对定义、定理、公理、公式没记住；二是不会分析问题，对题目中的已知条件和解答的问题之间的关系割裂开来思考。出现这两方面问题的根源也是两方面的：一是教师讲得多了；二是教师督促检查得少了、对“分析方法”的交待做得少了。例1 已知等差数列满足：，,的前项和为.（）求及；（）令，求数列的前项和.一个学生来问这道题，我让他先做出第（）问，再讲第（）问，然后我做其它事了（我认为这个学生会做第（）问），5分钟后，发现这个学生没做出第（）问！我考问等差数列的概念、通项公式、前项和公式等，他不会！我没讲，让他看书，看完书后再考问我前面考问过的内容，发现他记住了，这时，我让他再独立做第（）问，在5分钟内他独立做了出来，且是正确的。例2 求满足不等式的实数的集合.这道题是A、B两位任课教师分别在他所授课班（同级平行班）的一道课堂练习题，做题时间都在6分钟左右，可是答对率比较悬殊，前者是50%60%，后者是90%左右。造成这个结果的原因是什么呢？其根原是教学过程采用了不同的操作。做这道练习题前两位教师都讲授了一道与练习题类似的例题：已知函数 ，（）化简函数解析式，并求它的周期、最大值和最小值；（）求函数的单调增区间。A教师对例题从分析到解答板书全盘进行。他在分析过程中，借助课件中呈现出来的函数图形，解释函数何时有最大最小值以及该函数的单调性问题。B教师对这道例题没正面讲解，他的做法是先出了练习题让学生分组合作完成解答，并集中讨论校正通过。随后把例题交予学生，让学生完成解答，对解答情况进行集中核对与校正。他的练习题是： （1）化简：； （2）结合函数的图形(图形由教师做成课件发给学生)，你能说出的周期、最大值和最小值、单调增区间吗？不会做例1的原因是对基本概念和关键的两个公式没记住。等差数列是两个基本数列之一，学生不应该犯忘记公式的错误，可是，据统计，有一大部分学生在犯这样的错误。那么，为什么记不住这两公式呢？根源在等差数列概念的教学及其公式的推导过程中老师代替了学生，没把思考的钥匙交给学生，例2的教学效果，在两班出现了较大的差异，不也证明了这个的问题吗？3 几个误区的研究3.1 学生自习、交流讨论不是不要教师的讲解中学数学中的很多知识只靠学生自学是理解不了的。实践表明，有些知识学生通过自学获得的理解与知识所蕴含着的真正意义大相径庭。数学是一个抽象的演绎推理和逻辑推理科学，“观”的效果有时比不上“闻”的效果，教师讲解过程的一言一行，一招一式，有时会牢牢地刻在学生的脑海中。有些课堂上一味地体现“学生为中心”，教师做“甩手掌柜”，让学生去自学，让学生给学生讲解，致使学习后得到的结果错误百出。因此，教师对重点难点内容必须要做透彻分析和精讲，削除学生自学过程的误读和误解。3.2 鼓励的方式多种多样，并不一定全是掌声 掌声是教师鼓励调动学生积极性的一种有效方式，但是如果一节课掌声泛滥的话，那样的掌声不仅起不到应有的效果，而且会干扰正常思考，造成课堂混乱。掌声应该送给课堂上展示精彩、互动充分的小组和个人，而不是只要发言讲讲都要鼓掌。当然实施高效课程之初，应该多给予学生掌声，但是当同学们都适应高效课程之后，便要有选择的鼓掌，让掌声真正起到应有的作用！否则也就成了形式。除了掌声之外，采用小组奖励加分的办法对学生取得的成绩给予鼓励。加分是捆绑式的，学习小组长对本小组获得的分数有权二次分配，用以调动小组长及每个成员的积极性。3.3 全员展示而不都是精英展示对预习和学习小组讨论的结果，如果每一堂课都是个别学生展示、讲解，那样，这些个别学生就变成了老师的“代讲者”，其他的学生也就由传统的被动听教师讲解者变成了听个别“精英”的讲解者，这不是全员参与的“3+x”建构式高效课程模式所倡导的。“3+x”建构式高效课程模式的目的是让每个学生都有展示自己的机会，所以教师应预设一些活动，让所有的学生参与到学习交流展示的活动中，体验学习的快乐和成功！如果仅仅是个别展示，那样会让高效打折扣的。3.4 实现课堂高效并不是完全促成了课程高效课堂高效还是不够高效，衡量它的唯一标准