初中数学数学名师费马.docx

费马费马，Pde(Fermat，Pierre de)1601年8月20日生于法国南部图卢兹附近的博蒙-德洛马涅；1665年1月12日卒于法国卡斯特尔数学费马出身于皮革商人家庭，他的祖父、父亲、叔父都从事商业他的父亲多米尼克(Dominique Fermat)还是当地第二执政官，经办了一个生意兴隆的皮革商行他的母亲克拉丽德朗(Claire de Long)曾在长袍贵族议会中任职费马于1631年6月1日和他母亲的堂妹路易丝德朗(Louise de Long)结婚，生育了两个儿子和三个女儿费马的童年和少年时代是在波蒙特渡过的，在家乡上完中学后，可能进入了图卢兹大学17世纪20年代的后期他曾在波尔多(Bordeaux)度过了相当长的一段时间，就在这一时期他对数学发生了兴趣，深入地研究过F韦达(Vite)的著作费马在1631年5月1日获奥尔良(Orleans)大学民法学士学位费马以律师为职业，曾任图卢兹议会的议员，并享有长袍贵族的特权他不但有丰富的法律知识，而且是一个博览群籍、识多见广的学者虽然数学只不过是他的业余爱好，但他精通法语、意大利语、西班牙语、拉丁语、希腊语，从而使他不仅能精心研究韦达的著作，而且能深入钻研那些古典的数学著作例如，阿基米德(Archimedes)、阿波罗尼奥斯(Apollonius)、丢番图(Diophantus)、帕普斯(Pappus)等人的作品，在下述几个数学分支中做出了极为重要的贡献：他在研究几何的过程中发现了解析几何的原理；他是微积分的先驱者；他和B帕斯卡(Pascal)共同开创了概率论的早期研究；他是近代数论的开拓者他和R，笛卡儿(Descartes)分享创立解析几何的殊荣费马对于曲线的探讨，是从研究古希腊的几何学家，特别是研究阿波罗尼奥斯的成果开始的他力图把阿波罗尼奥斯关于轨迹的某些久已失传的证明补充起来，为此他写了篇幅不大的平面和立体的轨迹引论(Ad locos planos et solidos)一书这本著作可能在1629年左右编成，但直到1679年才出版问世他说他试图开展关于轨迹的一般性研究，这种研究是希腊人没有做到的从费马的平面和立体的轨迹引论和他在1636年与GP罗贝瓦尔(Roberval)等人的通信中，可以看出他在笛卡儿发表几何学(La gome-trie，1637)之前，就已发现了解析几何的基本原理，发现了用代数方程表示曲线的方法：他取一条水平的直线作为轴，并在此直线上确定一个点作为原点他考虑任意曲线和它上面的一般点M(图1)点M的位置用两个字母A，E来确定，A表示从原点O沿轴线费马所用的坐标实际上是我们所说的倾斜坐标，但是y轴没有明显地出现，而且不用负数他的A，E就是我们的x，y费马清楚地叙述了他的一般原理：“只要在最后的方程里出现了两个未知量，我们就得到一条轨迹，这两个量之一，其末端就绘出一条直线或曲线”图中对于不同位置的E，其末端M，M1，M2，就把这条“线”描绘出来费马的未知量A和E，实际上是变数，或者可以说，联系A和E的方程是不确定的在这里，费马采用韦达的办法，让一个字母代表一类的数，然后写出联系A和E的各种方程，并指明它们所描绘的曲线例如，他写出“D in A aequetur B in E”(用我们的记号就是Dx=By)，并指明这代表一条直线他还给出了(以下用我们今天的符号)：d(a-x)=by代表一条直线；a2-x2=y2是圆的方程；a2-x2=ky2是椭圆方程；a2+x2=ky2是双曲线方程；xy=a是双曲线方程，x2=ay是抛物线方程应该指出，因费马不用负坐标，他的方程不能像他所说的代表整个曲线，但他确实领会到坐标轴可以平移或旋转，因为他给出一些较复杂的二次方程，并给出它们的简化形式例如，他曾指出d2+xy=bx+sy是双曲线费马既把圆锥曲线看成圆锥的平截线，也看成为平面轨迹和二次方程的图象他在求最大值和最小值的方法(Methodus addisquirendam maximam et minimam，1637)中引进了曲线y= xn和y=x-n他在1643年的一封信里，还简短地描述了他的三维解析几何的思想他第一个把三元方程应用于空间解析几何他还谈到了柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面，并指出作为平面曲线论的顶峰，应该研究曲面上的曲线“这个理论，有可能用一个普遍的方法来处理我有空闲时将说明这个方法”尽管费马对三维解析几何未能给出一个几何框架，但他却为它提供了一个代数基础在1650年的一篇文章“新型二阶或高阶方程分析中的指标问题”(Novus secundarum et ulterioris ordinis radicumin analyticis usue)里，他指出，一个自变量的方程决定点的作图，二个自变量的方程决定平面曲线的轨迹的作图，三个自变量的方程决定空间中曲面的轧迹的作图当笛卡儿的几何学出版之际，费马曾对书中所提出的曲线分类理论提出异议，并指出书中不应该删去极大值和极小值，曲线的切线，以及立体轨迹的作图法他认为这些内容是所有几何学家值得重视的为此，他们曾进行过激烈的争论但冷静下来之后，态度便逐渐缓和费马在1660年的一篇文章里，既开诚布公地指出笛卡儿几何学中的一个错误，又诚挚地说出，他很佩服笛卡儿的天才费马和笛卡儿研究解析几何的方法是大相径庭的，表达形式也迥然不同：费马主要是继承了希腊人的思想尽管他的工作比较全面系统，正确地叙述了解析几何的基本原理，但他的研究主要是完善了阿波罗尼奥斯的工作因此古典色彩很浓，并且沿用了韦达以字母代表数类的思想，因此需要读者对韦达的代数知识了解甚多而笛卡儿则是从批判希腊的传统出发，断然同这种传统决裂，走的是革新古代方法的道路他的方法更具一般性，也适用于更广泛的超越曲线费马是从方程出发来研究它的轨迹；而笛卡儿则从轨迹开始建立它的方程这正是解析几何中一个问题的正反两种提法但各有侧重，前者是从代数到几何，而后者是从几何到代数从历史的发展看，后者更具有突破性他是微积分学的先驱者之一关于微积分方法的创立，I牛顿(Newton)曾经说过：“我从费马的切线作法中得到了这个方法的启示，我推广了它，把它直接地并且反过来应用于抽象的方程，” 对光学的研究特别是透镜的设计，促使费马探求曲线的切线他在1629年就找到了求切线的一种方法，但迟后八年发表在1637年的手稿求最大值和最小值的方法中，他的方法要点如下： 设PT是曲线在点P处的切线(图2)，TQ的长叫次切线费马的方案是求出PQ的长度，从而知道T的位置，最后就能作出TP设QQ1是TQ的增量，长度为E因为TQPPRT1，所以TQPQ=ET1R但是，费马说，T1R和P1R的长度差不多；因此TQPQ=E(P1Q1-QP)，用现在的符号，若令PQ为f(x)，则有TQf(x)=Ef(xE)-f(x)因此，费马对上式的处理是：用E除右端分式的分子和分母，然后令E=0(他说是去掉E项)，就得到TQ这就是费马通过次切线TQ求表达式费马把韦达的代数理论应用到帕普斯数学论题(Mathema-tical collection)中的一个问题，便得到了求最大值最小值方法他在求最大值和最小值的方法中曾用如下的一个例子加以说明：已知一条直线(段)，要求出它上面的一点，使被这点分成的两部分线段组成的矩形最大他把整个线段叫做B，并设它的一部分为A那么矩形的面积就是AB-A2然后他用AE代替A，这时另外一部分就是B-(AE)，矩形的面积就成为(AE)(B-A-E)他把这两个面积等同起来，因为他认为，当取最大值时，这两个函数值即两个面积应该是相等的所以ABEB-A2-2AE-E2=AB-A2两边消去相同的项并用E除，便得到B=2A+E然后令E=0(他说去掉E项)，得到B=2A因此这矩形是正方形费马认为这个方法有普遍的适用性他说：如果A是自变量，并且如果A增加到AE，则当E变成无限小，且当函数经过一个极大值(或极小值)时，函数的前后两个值将是相等的把这两个值等同起来；用E除方程，然后使E消失，就可以从所得的方程，确定使函数取最大值或最小值的A值这个方法实质上是他用来求曲线切线的方法但是求切线时是基于两个三角形相似；而这里是基于两个函数值相等遗憾的是，费马对于他的方法从来未从逻辑上作过清楚和全面的解释，因此对于他究竟是怎样考虑这个问题的，一些数学史专家曾产生过争论费马没有认识到有必要去说明先引进非零E，然后用E通除之后，令E=0的合理性但从这里我们可以看出，费马这种求极值的方法已非常接近微分学的基本观念了如果用现代的记号他的规则可以表述如下：欲求f(x)(费马先取个别的整有理函数)的极值先把表达式 零，再求出方程的根，便是可能使f(x)具有极值的极值点他的方法给出了(可微函数的)极值点x所能满足的必要条件f(x)=0费马还有区分x为极大值点和极小值点的准则，即现在所谓的“二阶导数准则”(f(x)0有极大，f(x)0有极小)，尽管他没能系统地去研究拐点(f(x)=0)，但也得到了求拐点的一种法则费马还用类似的方法，研究过求抛物体截段重心的问题他的方法要点如下：设截段的重心O和顶点的距离为a个单位将截段的高度h减小E，则重心的位置改变费马由一系列的引理，知道两个截段的重心与顶点的距离与其高成正比，而两截段体积与其高的平方成正比例，通过对O取瞬，他能用这些事实列出包含a，h和E的“虚拟等式”根 微积分史上的重要性，在于它第一次采用相当于今天微分学中的方法，而不是像积分学中求和的方法，求出了重心费马早在1636年之前在计算抛物线y=xn(n为正整数)的面积时，以等距离的纵标把面积分成窄长条，然后依据不等式+(m-1)n大约在1644年，他在横坐标做成几何级数的那些点上引出纵坐标，而把他自己的结果推广到n为分数与负数的情形；同时那些近似于ydx的长条的面积组成容易求和的几何级数经过求极限即得费马的结果，这些这样就指出了它与对数性质的关系费马还得出了一个求半立方抛物线长度的方法这个方法也是他的一般方法的典型说明，展示出在他各个方面工作中的内在联系，对曲线上横坐标OQ=a，纵坐标PQ=b的任一点，次切线TQ=c可以用他的切线 纵坐标P1Q1，则线段PP1可用a和E来表达对 但在切线上，而且也在曲线上，所以曲线的长度可以视为PP1的线段的和而这些线段的和又可以作为在抛物线之下的面积由于这个面积已能求出，曲线的长度就可以求得费马还用自己的方法处理了许多几何问题，例如，求球的内接圆锥的最大体积、球的内接圆柱的最大面积等等奇怪的是，费马在应用他的方法来确定切线、求函数的极大值极小值以及求面积、求曲线长度等问题时，能在如此广泛的各种问题上从几何和分析的角度应用无穷小量，而竟然没有看到这两类问题之间的基本联系其实，只要费马对他的抛物线和双曲线求切线和求面积的结果再加仔细地考察和思考，是有可能发现微积分的基本定理的也就是说费马差一点就成为微积分的真正发明者以致JL拉格朗日(Lagrange)说：“我们可以认为费马是这种新计算的第一个发明人”PS拉普拉斯(Laplace)和J傅里叶(Fourier)也有类似的评论但SD泊松(Poisson)持有异议，认为费马还没达到如此高的境界因为费马不但没有认识到求积运算是求切线运算的逆运算，并且费马终究未曾指出微分学的基本概念导数与微分；也未曾建立起微分学的算法他之所以没有作进一步的考虑，可能是由于他以为自己的工作只是求几何问题的解，而不是统一的很有意义的一种推理过程在他看来，他的求最大值、最小值方法，切线方法以及求面积方法不过是解决这些具体问题的特有方法，而不是新的分析学但是他的思想和方法对后来微积分学的建立奠定了重要的基础他和帕斯卡共同对概率论进行了最早的科学探索虽然16世纪概率论已有了某些萌芽，例如H卡尔达诺(Cardano)曾经对机会对策中产生的一些问题感到过兴趣，但首先试图把这些方法归纳和抽象成一种法则的，还应归功于费马和帕斯卡而激励他们俩人认真对待这项研究的起因，却来自一个赌博者的请求1654年法国骑士C梅累(Mr)向帕斯卡提出了一个使他苦恼很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算赢了，现在一个人赢a(as)局，另一个人赢b(bs)局，赌博中止，问赌本应怎样分法才算合理？”这个问题后来称为“赌点问题”当帕斯卡接到这个问题后，立刻把它转告了费马，他们俩人都对这个问题得出了正确的答案，但所用的方法不同关于概率论的研究就是这样开始的正如对概率论做出了卓越贡献的法国数学家泊松后来所说：“由一位广有交游的人向一位严肃的冉森派教徒所提出的一个关于机会游戏的问题乃是概率演算的起源”这个广有交游的人就是梅累，那位严肃的冉森派教徒就是帕斯卡当C惠更斯(Huygens)到巴黎的时候，听说费马和帕斯卡在研究这个问题，他也进行了研究，并写成了论赌博中的计算(De Ratiociniis in Ludo Aleoe，1657)一书从此概率论的研究引起了更多数学家的关注，特别是为了研究在实践中碰到的大量随机现象的统计规律，就进一步推动了这一数学分支的发展他开辟了近代数论费马对解析几何、微积分和概率论的开创都做出了重要的贡献但最能显示出他的才华且对后人影响最大的，还是他在数论方面的工作在他生命的最后15年里，他几乎把全副精力放到了对数论的研究上在费马以前，希腊人也曾研究过数的性质，我们可以从欧几里得(Euclid)、尼科马霍斯(Nachus)、赛翁(Theon)、丢番图等人的著作中找到一些关于数的性质的论述，但是很不系统这门学科也曾强烈地吸引过印度人，但是直到费马仔细阅读了丢番图的译本而把注意力转移到这方面之前，数论始终不曾有过重大的进展费马认为数论被忽视了他曾抱怨说几乎没有什么人提出或懂得算术问题，并说：“这是不是由于迄今为止，人们都用几何观点而不用算术观点来处理算术的缘故？”他认为甚至连丢番图也颇受几何观点的束缚他相信算术有它自己的特殊园地：整数论费马对数论的研究是从阅读丢番图的著作算术(Arithme-tica)一书开始的，这本书曾被文艺复兴时代的数学家译成许多译本，他仔细阅读了由M巴歇(Bachet)1621年校订的法文译本费马对数论的大部分贡献都批注在这本书页的边缘和空白处以及写给朋友的一些信件中他主要研究了素数和整数的可除性问题并给出了从单个的基本解得到一般形式的解的一些论断费马在1640年6月致M梅森(Mersenne)的一封信中提出了下述三个定理：1若n是合成数，则2n-1是合成数2若n是素数，则2n-2可被2n除尽3若n是素数，则除了2kn+1这种形式的数之外，2n-1不能被其他素数除尽费马宣称，这三个定理是他关于数的性质的研究基础费马对数论还提出了下列一些重要定理：4费马断言没有一个形如4n+3的素数能表达为两个平方数之和5费马在他的丢番图书页上的侧记中以及在写给梅森的一封信中，推广了著名的直角三角形的3，4，5关系，指出了如下一些定理：形如4n1的一个素数能够而且只能作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；(4n1)的平方是两个而且只有两个这种直角三角形的斜边；它的立方是三个而且只有三个这种直角三角形的斜边；它的四次方是四个而且只有四个这种直角三角形的斜边，如此等等，乃至无穷他在给梅森的信中还说，形如4n1的素数和它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的三次方和四次方都能以两种方式表达为两个平方数之和；它的五次方和六次方都能以三种方式表达为两个平方数之和；如此等等，乃至无穷他在信中接着说：若等于两个平方数之和的一个素数乘以另一个也是这样的素数，则其乘积将能以两种方式表达为两个平方数之和若第一个素数乘以第二个素数的平方，则乘积将能以三种方式表达为两个平方数之和；若乘以第二个素数的立方，则乘积将能以四种方式表达为两个平方数之和；如此等等，乃至无穷6费马给出了关于将素数表达为x2+2y2，x2+3y2，x2+5y2，x2-2y2以及其他这种形式的许多定理，它们都是关于素数表达为平方和的推广，并指出一个奇素数能且只能以一种方式表为两个平方数之差7费马在1640年10月18日写给BF德贝西(de Bessy)的一封信中给出了下述定理：若p是个素数而a与p互素，则ap-a能为p整除(后人称这个定理为费马小定理)8费马也研究过多边形数，他在那本丢番图的书的空白处写下了这样一个定理：每个正整数或者本身是一个三角形数，或者是两个或三个三角形数之和；每个正整数或者本身是个正方形数，或者是2，3或4个正方形数之和；每个正整数或者本身是个五边形数，或者是2，3，4或5个五边形数之和：以及对较高的多边形数的类似关系9费马在1636年重新发现了Q泰比特(T bitibn)第一个提出的法则，给出了第二对亲和数17，926及18，416(第一对亲和数220及284是毕达哥拉斯(Pythagoras)给出的)10费马重新发现了求解x2-Ay2=1的问题，其中A是整数但非平方数他在1657年2月写给德贝西的一封信中提出一个定理：x2-Ay2=1在A是正数而非完全平方时有无穷多个解费马还指出：对于给定的A和B，x2-Ay2=B在什么情况下可解，并能把它解出来费马对上述这些定理都没有给出证明，有的也只是略述大意，补充这些定理的证明曾强烈的吸引着18世纪许多数学家费马在数论中还提出过其他一些定理他提出的所有定理，除了下述两个定理以外，都已被后来的人证明是正确的，这两个定理是：(i)费马1640年在一封信中说，形如22n+1(n=0，1，2，)的数都是素数，他自己验证了当n=0，1，2，3，4时，22n1确实都是素数，但他承认他还不能给出普遍的证明后来L欧拉(Euler)证明了当n=5时，即22+1不是素数而且，直到今天再没有发现其他22n1型的素数从而说明费马这个猜想是错误的(ii)费马于1637年左右，他在巴歇校订的丢番图的算术第二卷第八命题“将一个平方数分为两个平方数”的旁边写道：“相反，要将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，都是不可能的，对此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小写不下”这就是数学史上著名的费马大定理或称费马最后定理这个定理可用现代的术语简述如下：不可能有满足xnyn=zn，xyz0，n2的整数x，y，z，n存在费马逝世后，人们一直未找到他对这个定理的证明，于是激起了许多数学家试图证明这个定理例如：欧拉、AM勒让德(Legendrd)、 CF高斯(Gauss)、NH阿贝尔(Abel)、PGL狄利克雷(Dirichlet)、G拉梅(Lame)、AL柯西(Cauchy)、EE库默尔(Kummer)等著名数学家都试证过，并得到了部分结果，但都没有得到普遍的证明为此，布鲁塞尔科学院、巴黎科学院曾设奖金悬赏征集这个问题的证明，也没得到结果1908年，数学家F沃尔夫斯克尔(Wolfskehl)在格丁根皇家科学会悬赏十万马克，赠给最先证明这个定理的人尽管许多迹象都说明费马最后定理可能是成立的，但至今依然没有得到完全的证明因此，费马是否真对这一问题作出正确的证明，也许将永远是个谜，不过从他提出的许多定理的绝大多数都被后来的人证明是正确的这一事实来看，费马确实具有一种直观的天才和非凡的洞察力1879年，在莱顿图书馆惠更斯的手稿中发现一篇论文，其中介绍了由费马首创和应用的“无穷下推法”(the method of infinitedescent)在1659年，费马曾将这个方法的梗概写信告诉过他的朋友P卡尔卡维(Carcavi)为了描述这个方法，我们先来考察费马在1640年12月25日给梅森的信中所提出的一个定理：每一个形如4n1的素数，能唯一的分解为两个平方数之和例如17=42+1，29=52+22应用这个方法时，先假设形如4n+1的素数并不具有所述性质，我们要证明形如4n1的一个较小素数也不具有所述性质由于n是任意的，所以还必需有一个更小的，这样通过n的整数值往下递推，就必定能推到n=1，从而推到素数411=5也不该具有所述性质但素数5是能唯一分解为两个平方数的和的，这就和假定相矛盾，因而每一个形如4n1的素数都能唯一分解为两个平方数之和费马还说他用“无穷下推法”证明了下述定理：边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数这个概括的证明是他唯一详细写出的证明，而且是作为x4y4=z4不可能有整数解的一个推论得出的，他还声称他用“无穷下推法”证明了上述命题8和命题10但后人一直未找到他是怎样具体用“无穷下推法”证明的细节，不过他提出的上述一些命题却被欧拉、拉格朗日、柯西等用他首创的“无穷下推法”或其他方法证明确实是正确的费马在数论中提出的命题，都以极大的魅力吸引了许多后来的数学家去研究它们，从而推动了19世纪数论理论的发展和数论研究方法的产生例如，库默尔在企图证明费马最后定理时，就创立了理想数论另外费马的成果对现代代数学基本概念的明确阐述也起到了推动作用他对光学做出了重要贡献费马同他那个世纪的其他数学家一样，他研究过许多科学问题，特别对光学做出过重要贡献费马在1637年看到笛卡儿的折光(La dioptrique)中给出的折射定律其中v1是光线在第一介质中的速度，v2是光进入第二介质的速度(图4)他对这个定律及其证明方法都持怀疑和反对的态度，并曾引起他们俩人之间长达十年之久的争论但后来费马发现反射时光线取需时最少的路径，而且相信自然确实是按简单而又经济的方式行动的，在1657年和1662年的信件中，他确认了他的最小时间原理光线永远取花时间最