天津市2018年高考数学二轮复习专题能力训练10三角变换与解三角形文.doc

专题能力训练10三角变换与解三角形能力突破训练1.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cos A=23,则b=()A.2B.3C.2D.32.已知cos(-2)sin-4=-22,则sin +cos 等于()A.-72B.72C.12D.-123.ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=()A.34B.3C.4D.64.在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则sin A=()A.310B.1010C.55D.310105.若2,3cos 2=sin4-,则sin 2的值为()A.118B.-118C.1718D.-17186.(2017江苏,5)若tan-4=16,则tan =.7.(2017全国,文16)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.8.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=3bsin A.(1)求B;(2)若cos A=13,求sin C的值.9.(2017浙江,18)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(xR).(1)求f23的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.10.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=2;(2)求sin A+sin C的取值范围.11.设f(x)=sin xcos x-cos2x+4.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若fA2=0,a=1,求ABC面积的最大值.思维提升训练12.若02,-20,解得b=3,故选D.2.D解析 cos(-2)sin-4=-cos2sin-4=sin2-2sin-4=2cos-4=2cos +2sin =-22,sin +cos =-12,故选D.3.C解析 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,又因为b=c,所以a2=b2+b2-2bbcos A=2b2(1-cos A).由已知a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A,因为A(0,),所以A=4.4.D解析 (方法1)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意得,SABC=12a13a=12acsin B,c=23a.由正弦定理,得sin C=23sin A.C=34-A,sin C=sin34-A=23sin A,即22cos A+22sin A=23sin A,整理得sin A=-3cos A.sin2A+cos2A=1,sin2A+19sin2A=1,即sin2A=910,解得sin A=31010(排除负值).故选D.(方法2)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意得SABC=12aa3=12acsin B,c=23a.b2=a2+23a2-2a2a322=5a29,即b=5a3.由正弦定理asinA=bsinB得,sin A=asinBb=a225a3=31010.故选D.5.D解析 3cos 2=sin4-,3cos2-3sin2=22(sin -cos ),又2,sin -cos 0,3(sin +cos )=-22.平方求得sin 2=-1718.6.75解析 方法一:tan =tan-4+4=tan-4+tan41-tan-4tan4=16+11-161=75.方法二:因为tan-4=tan-tan41+tantan4=tan-11+tan=16,所以tan =75,答案为75.7.3解析 由题意和正弦定理,可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,即cos B=12.又因为B(0,),所以B=3.8.解 (1)在ABC中,由asinA=bsinB,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=3bsin A,得2asin Bcos B=3bsin A=3asin B,所以cos B=32,得B=6.(2)由cos A=13,可得sin A=223,则sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sinA+6=32sin A+12cos A=26+16.9.解 (1)由sin23=32,cos23=-12,f23=322-122-2332-12,得f23=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-2sin2x+6.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得2+2k2x+632+2k,kZ,解得6+kx23+k,kZ,所以,f(x)的单调递增区间是6+k,23+k(kZ).10.(1)证明 由a=btan A及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sin B=cos A,即sin B=sin2+A.又B为钝角,因此2+A2,故B=2+A,即B-A=2.(2)解 由(1)知,C=-(A+B)=-2A+2=2-2A0,所以A0,4,于是sin A+sin C=sin A+sin2-2A=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2sinA-142+98.因为0A4,所以0sin A22,因此22-2sinA-142+9898.由此可知sin A+sin C的取值范围是22,98.11.解 (1)由题意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+22=sin2x2-1-sin2x2=sin 2x-12.由-2+2k2x2+2k,kZ,可得-4+kx4+k,kZ;由2+2k2x32+2k,kZ,可得4+kx34+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间是-4+k,4+k(kZ);单调递减区间是4+k,34+k(kZ).(2)由fA2=sin A-12=0,得sin A=12,由题意知A为锐角,所以cos A=32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得1+3bc=b2+c22bc,即bc2+3,且当b=c时等号成立.因此12bcsin A2+34.所以ABC面积的最大值为2+34.思维提升训练12.C解析 cos4+=13,02,sin4+=223.又cos4-2=33,-20,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A(0,),所以A=34.由正弦定理asinA=csinC,得2sin34=2sinC,即sin C=12,所以C=6,故选B.14.A解析 cos A=34,cos C=2cos2A-1=18,则sin C=378,tan C=37,如图,设AD=3x,AB=4x,CD=5-3x,BD=7x.在RtDBC中,tan C=BDCD=7x5-3x=37,解得BD=7x=372,SABC=12BDAC=1574.15.152104解析 如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AEBC,BFCD.在RtABE中,cosABE=BEAB=14,cosDBC=-14,sinDBC=1-116=154.SBCD=12BDBCsinDBC=152.cosDBC=1-2sin2DBF=-14,且DBF为锐角,sinDBF=104.在RtBDF中,cosBDF=sinDBF=104.综上可得,BCD的面积是152,cosBDC=104.16.1417.8解析 sin A=sin(B+C)=2sin Bsin Ctan B+tan C=2tan Btan C,因为tan A=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanBtanC,所以tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan Btan C.因为ABC为锐角三角形,所以tan A0,tan Btan C0,所以tan A+2tan Btan C22tanAtanBtanC,当且仅当tan A=2tan Btan C时,等号成立,即tan Atan Btan C22tanAtanBtanC,解得tan Atan Btan C8,即最小值为8.18.解 (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-3),ab,所以-3cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与si