数学人教版九年级下册反比例函数的几何意义.docx

反比例函数的几何意义教学设计冉红芬(黔南民族师范学院附属中学，贵州 都匀 558000)【教学内容分析】 反比例函数是人教版教材安排在九年级下册的最后一类函数，它是描述现实世界中具有反比例变化规律的重要数学模型.其学习基础是函数的概念、函数的表示方法以及反比例关系；我们类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，研究反比例函数的概念、图象、性质及其应用.它不仅具有丰富的性质，而且在实际中具有广泛的应用.与此同时，反比例函数是历年中考数学的一个重要考点章节，常常结合三角形，四边形等相关知识综合考察.而反比例函数中的几何意义也是其中一块很重要的知识章节，常在中考以选择题、填空题及计算大题中进行考察，这类考题大多考点简单但方法灵活，目的在于考察学生的数学图形思维.【学生情况分析】在本节课学习之前，学生已经对函数及反比例函数的相关知识有了一定积累.对于初三年级学生多数可以进行逻辑抽象思维，但其辩证逻辑思维的能力水平有限.在数学建模的过程中，如果能借助一定的图形、图表、图像进行数形结合，学生可直观地判断实际问题中的对象及其特点，以及它们之间的相互联系，从而能快速、准确地建立数学模型，使问题得到解决。这样让学生通过自己的分析来体验知识间的内在联系，感受到数学的应用价值.【教学目标】 1、理解反比例函数的概念及几种等价形式，并掌握反比例函数中的几何意义，根据其图象及性质（对称性，变化趋势等），构建合理恰当的数学模型，并灵活运用模型解决反比例函数中与面积有关的常见问题. 2、让学生尝试过双曲线上任意一点分别向轴、轴作垂线，从而探究出两条垂线与坐标轴所形成矩形的面积与的关系.领会到函数解析式与函数图象之间的联系，体会数学建模思想及数形结合与转化的思想方法. 3、探究出了矩形的面积与的关系，启发学生对其它几何面积(三角形的面积、菱形面积等）与会有什么样的关系产生思考.4、在探究的过程中，让学生通过自己的分析来体验知识间的内在联系，感受到数学的应用价值.培养学生在数学建模方面的核心素养. 【四点突破】兴趣点有了反比例函数的图象和性质后，反比例函数中还有什么问题更值得我们去研究，这样激发学生对的探究有了兴趣.重点理解并掌握反比例函数中的几何意义,构建合理恰当的数学模型.难点利用矩形的面积与的数学模型，来分析、解决一些综合问题.目标达成点经历探究矩形的面积与的关系，灵活利用这一知识点解决数学问题，并熟悉与反比例函数k的几何意义常见的考察方式和解题思路.【教学过程】一、复习提问，引入新知1.什么是反比例函数？它有几种表示形式？2.反比例函数的图象是什么？它又有哪些性质？师生活动：教师提出问题，学生思考、回答.设计意图：通过复习反比例函数的概念、图象及性质，为探究矩形的面积与的关系作好铺垫.3.反比例函数除了具有图象和性质外，那么反比例函数中还有什么问题更值得我们去研究呢？设计意图：通过该问题，激起学生对新知的欲望，从而激发学生对的探究有了兴趣.二、探究新知，建立模型4. 如图，过双曲线上任意一点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为A、B,所形成矩形的面积S是多少？师生活动：教师演示课件并提出问题，引导学生观察，归纳得到这时矩形的面积与有关，说明是有几何意义的，这就是今天我们要研究的主要内容.5、如图，研究，矩形的面积和还具有这样的关系吗？师生活动：教师演示课件启发学生对比、思考，引导学生关注双曲线所在的象限.归纳得到设计意图：通过师生的共同合作，探究出了矩形的面积与的关系，根据图象分别建立了和的数学模型，既培养了学生的数学建模能力，又让学生进一步领悟数形结合的思想方法.6、总结反比例函数上任意一点分别向轴、轴作垂线，与坐标轴所形成矩形的面积与的关系.师生活动：教师帮助学生梳理、归纳得到：设计意图：通过归纳，培养学生的抽象概括能力.三、巩固提高，解决问题（1）如图，若反比例函数的图象过点A，矩形ABOC 的面积为4，则k=_ . (2)如图，过反比例函数图象上一点A作 AMx轴于点M，连接OA，则（3）在双曲线上任取一点P,过点P分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴y轴所围成的矩形面积为12，则该双曲线的解析式为 _.(4) 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数的图象上，则k的值为_师生活动：教师给出问题，学生独立思考，然后交流，教师适时评价.设计意图：通过反比例函数上任意一点分别向轴、轴作垂线，与坐标轴所形成矩形的面积与的关系： ，利用该数学模型让学生根据矩形的面积来确定的值，进而得到反比例函数解析式.反过来，可以根据值确定矩形、三角形的面积.目标检测1、如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数图象上的一点，分别过点P作PAx轴于点A，PBy轴于点B若四边形OAPB的面积为3，则k的值为（ ） A3 B3 C D2、以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线 经过点D,则正方形ABCD的面积是（） A.10 B.11 C.12 D.133、双曲线在第一象限的图象如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C，若 ，则的解析式是_.4、如图，双曲线 经过RtBOC斜边上的点A，且满足 ,与BC交于D， ,则k的值为_.5、如图,已知正方形的面积为9，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数的图象上，点为其双曲线上的任一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，并设矩形和正方形不重合部分的面积为(1)求点坐标和的值； (2)当时，求点坐标；(3)写出关于的函数关系式设计意图：通过一系列练习，实现知识向能力的转化.四、小结谈谈这节课你有什么收获？设计意图：教师引导学生归纳本节课的知识点和思想方法，使学生对反比例函数的几何意义有一个较为完整、全面的认识.五、布置作业1、正比例函数和的图象与反比例函数的图象分别相交于点和点.若和的面积分别为和,则与的关系是_. 第1题图 第2题图 2、在反比例函数（）的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 3、已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由 教学反思上述教学设计基于学生现有认知水平，关注学生数学核心素养的培养，而数学核心素养更一般地，还包括学会学习、数学应用、创新意识它与数学课程的目标和内容直接相关，是在数学学习的过程中逐步形成的数学建模是数学核心素养的一个方面，它是联系数学知识和数学应用的桥梁，有效地将思维过程简约化、形象化在初中数学教学中渗透数学建模思想，应从教材和课堂人手，而“四点突破”教学理念正是以这个点为中心展开教学，即在每一堂常规课的数学教学过程中，教师力图找到并充分利用教学内容中学生的兴趣生长点，抓住并突出课程内容重点，解决并突破课程内容难点，最终贯彻落实教学目标的达成点2。突破了传统的教学方法和教学模式，通过对教学内容的研究和处理，以问题引导学生学习。上述的教学过程设计做实了以下几个方面：（1）突破兴趣点。围绕反比例函数的图象和性质，教师抛出问题3反比例函数中还有什么问题更值得我们去研究，这样激发学生对的探究有了兴趣.通过教师的一步步引导，带领学生如何寻找的几何意义，这样不仅使学生对教师的信任倍增，而且能积极主动参与到探究新的问题实践中寻求问题解决的方法。 （2）突破重点、难点。从反比例函数的图象上来分析，构建了 ， 的数学模型。通过这个模型说明了建立数学模型的过程，是将错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程，通过观察和探索研究对象的固有特征和内在规律，利用数学的知识和方法去分析并解决问题与此同时，要提高学生的数学建模能力，教师不