D31定积分概念与性质.ppt

第三章 一元函数积分学及其应用 积分学 不定积分 定积分 积分研究函数的整体性态 第一节 一 定积分问题举例 二 定积分的定义 三 定积分的存在条件 存在条件及性质 第三章 四 定积分的性质 定积分的概念 一 定积分问题举例 1 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 求其面积A 矩形面积 梯形面积 解决步骤 1 分 在区间 a b 中任意插入n 1个分点 用直线 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 2 匀 在第i个窄曲边梯形上任取 作以 为底 为高的小矩形 并以此小 矩形面积近似代替相应 小曲边梯形面积 得 3 合 4 精 令 则曲边梯形面积 2 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动 且 求在运动时间内物体所经过的路程s 解决步骤 1 分 将它分成 在每个小段上物体经 2 匀 得 已知速度 n个小段 过的路程为 3 合 4 精 上述两个问题的共性 解决问题的方法步骤相同 分 合 匀 精 四步 所求量极限结构式相同 特殊乘积和式的极限 二 定积分定义 即 个分点 注 1 定积分又被称为Riemann积分 简称R积分 2 在定义中 当所有子区间的长度的最大值d 趋近于0时 区间的个数n趋于无穷大 但不 能用 3 定义包含了两个任意性 即对区间的分割与点 的选取都是任意的 如果对区间的两种不同分割 存在一个和式的极限不存在 则函数f在该区间上 不可积 例如 Dirichlet函数 在区间 0 1 上不可积 数 它的值仅与被积函数f及积分区间有关 而与 积分变量用什么字母表示无关 即 4 函数f在区间 a b 上的定积分是一个确定的常 由定积分的定义可知两引例中 1 曲边梯形面积 A 2 变速直线运动的路程 s 定积分的几何意义 曲边梯形面积 曲边梯形面积的相反数 各部分面积的代数和 三 定积分的存在条件 1 可积的必要条件 注 可积函数必有界 有界不一定可积 如Dirichlet函数 证明 反证法 若f在 a b 上无界 则对任意分 可大于任给的常数 故其极限不存在 即f在 a b 不可积 证毕 定义 设f为 a b 上的有界函数 将区间 a b 任意分 2 可积的充分条件 称 和式 分别称为f关于该分割的 反之亦然 即有 Darboux大和与Darboux小和 2 如果f在区间 a b 上可积 则 定理1 2 设函数f在 a b 上有界 则f在 a b 可 即对任意的 0 总存在相应的某一分割 使得当 积的充要条件是 式成立 证明略 定理1 3 3 可积函数类 证明 因为f在 a b 上连续 故一致连续 即 由闭区间上连续函数的性质 使得 从而有 由定理1 2可知 f在 a b 上可积 证毕 解释 对 a b 的任意分割 当d充分小时 f在每个子区间上的振幅都能任意小 定理1 4 设f在区间 a b 上有界 若f在 a b 上只 有有限个第一类间断点或者在 a b 上单调 则f在 a b 上可积 证明略 解释 当d充分小时 虽不能保证f在每个子 区间上的振幅都任意小 但振幅不能任意小的所有 子区间长度之和可以任意小 这样函数也可积 取 例1 利用定义计算定积分 将 0 1 n等分 分点为 则 因此在 0 1 上可积 则有 注 注 注 当n较大时 此值可作为的近似值 注 利用 得 两端分别相加 得 即 例2 用定积分表示下列极限 解 四 定积分的性质 规定 性质1 2 线性性质 并且 性质1 1 性质1 3若 则 证 推论1 单调性 若 则 推论2 若 证 性质1 4若 即 注 性质1 4的逆命题不一定成立 例如 例3 试证 证 设 即 故 即 证 由定理1 2知f在I的所有子区间可积 下证 1 式 所以在分割区间时 可以永远取c为分点 于是 性质1 5 区间可加性 设I为有限区间 若f在I上可积 则f在I的任一子区间上都可积 且 1 当a b c的相对位置任意时 例如 则有 证毕 性质1 6 乘积性质 性质1 7 积分中值定理 且g在 a b 上不变号 则至少存在一点 使 证明 设在 a b 上 则 从而 因此 若 上式两边同除以 则 不等式 亦 若 得 由连续函数的介值定理可得 成立 成立 证毕 则至少存在一点 使 推论3 说明 通常称 故它是有限个数的算术平均值概念的推广 因 积分中 均 值 例5 计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均 速度 解 已知自由落体速度为 故所求平均速度 内容小结 1 定积分的定义 乘积和式的极限 3 定积分的性质 线性性质 单调性 区间 及积分中值定理 连续函数在区间