高中数学必修4三角函数常考题型：正切函数的性质与图像.doc

正切函数的性质与图像【知识梳理】1正切函数的性质函数ytan x定义域函数ytan x值域(，)周期T奇偶性奇函数单调性在每个开区间(kZ)上都是增函数2正切函数的图像(1)正切函数的图像：(2)正切函数的图像叫做正切曲线(3)正切函数的图像特征：正切曲线是被相互平行的直线xk，kZ所隔开的无穷多支曲线组成的【常考题型】题型一、正切函数的定义域、值域问题【例1】求下列函数的定义域和值域：(1)ytan；(2)y.解(1)由xk(kZ)得，xk，kZ，所以函数ytan的定义域为xxk，kZ，其值域为(，)(2)由tan x0得，tan x.结合ytan x的图像可知，在上，满足tan x的角x应满足a的不等式的步骤：【对点训练】求函数y的定义域解：要使函数有意义，则有1tan x0，tan x1，xk且xk，kZ.因此，函数y的定义域为.题型二、正切函数的单调性及应用【例2】(1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan与tan的大小解(1)由kxk(kZ)得，2kx2k，kZ，所以函数ytan的单调递增区间是(kZ)(2)由于tantantantan，tantantan，又0，而ytan x在上单调递增，所以tantan，即tantan.【类题通法】1求函数yAtan(x)(A，都是常数)的单调区间的方法(1)若0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，求得x的范围即可(2)若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可2运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系【对点训练】1比较tan 1，tan 2，tan 3的大小解：因为tan 2tan(2)，tan 3tan(3)又因为2，所以20.因为3，所以30.显然231，又ytan x在内是增函数，所以tan(2)tan(3)tan 1，即tan 2tan 3tan 1.2求函数y3tan的单调区间解：y3tan3tan，由k2xk得，x(kZ)，所以y3tan的单调递减区间为(kZ)题型三、与正切函数有关的周期性、奇偶性问题【例3】(1)求f(x)tan的周期；(2)判断ysin xtan x的奇偶性解(1)tantan，即tantan，f(x)tan的周期是.(2)定义域为，关于原点对称，f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，它是奇函数【类题通法】与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数yAtan(x)的最小正周期为T，常常利用此公式来求周期(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(x)与f(x)的关系【对点训练】关于x的函数f(x)tan(x)有以下几种说法：对任意的，f(x)都是非奇非偶函数；f(x)的图像关于对称；f(x)的图像关于(，0)对称；f(x)是以为最小正周期的周期函数其中不正确的说法的序号是_解析：若取k(kZ)，则f(x)tan x，此时，f(x)为奇函数，所以错；观察正切函数ytan x的图像，可知ytan x关于(kZ)对称，令x得x，分别令k1,2知、正确，显然正确答案：【练习反馈】1函数ytan x的单调性为()A在整个定义域上为增函数B在整个定义域上为减函数C在每一个开区间(kZ)上为增函数D在每一个开区间(kZ)上为增函数解析：选C由正切函数的图像可知选项C正确2函数ytan(cos x)的值域是()A.B.Ctan 1，tan 1 D以上均不对解析：选C1cos x1，且函数ytan x在1,1上为增函数，tan(1)tan xtan 1.即tan 1tan xtan 1.3函数y5tan的最小正周期是_解析：T2.答案：24函数y3tan(x)，x的值域为_解析：函数y3tan(x)3tan x，因为正切函数在上是增函数，所以3y，所以值域为(3，答案：(3， 5求函数ytan 的定义域、周期及单调