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传感器与测试技术 习题 第二章 信号分析与处理 1 1 求周期方波的傅利叶级数 三角函数形式和复指数形式 并画 出其频谱图 例 2 1 求周期方波的傅立叶级数 解 傅立叶级数展开式 1 2 求正弦信号wtxtxsin 0 的绝对均值 x 和均方根值 xrms 2 0 02 TtA tTA tx 6 4 20 5 3 1 4 sin 2 sin 2 sin 2 0cos 2 0 1 2 0 0 0 2 0 2 2 0 0 2 2 2 2 0 n n n A tdtnA T tdtnA T tdtntx T b tdtntx T a dttx T a T T T T n T T n T T 5sin 5 1 3sin 3 1 sin 4 000 ttt A tx 2 2 sin 1 lim 0 0 00 0 0 0 T x tdtx T dttx TT T x 式中 2 sin 1 1 0 0 2 0 0 0 2 0 00 x dttx T dttx T x TT rms 1 3 求指数函数 at Aetx a 0 t 0 的频谱 1 4 求被截断的余弦函数tw0cos的傅利叶变换 Tt Ttt tx 0 cos 0 1 5 求指数衰减振荡信号twetx at 0 sin 的频谱 1 6 设有一时间函数 f t 及其频谱如图所示 求信号twtf 0 cos 的频 0 T T 1 1 x t t fj A dteAedtetxfX ftjtftj 2 0 22 21 0 0 0 0 222 2 0 2 sinsin 2 2 sin 2 2 sin 2 1 2cos 00 ccT Tff Tff Tff Tff T dteee dttefdtetxfX ftjtfjtfj T T T T ftjftj 2 1 2 1 2 2 2sin 00 2 0 22 2 0 0 2 00 ffjffj j dteee j e dtetfedtetxfX ftjtfjtfjt ftj tftj 谱 并画出频谱图 又问 若 m 0 时其频谱将会出现什么情况 当 0 m时 将会出现频率混叠现象 第四章 测试系统的特性分析 4 1 进行某动态压力测量时 所采用的压电式力传感器的灵敏度为 90 9nC MPa 将它与增益为 0 005V nC 的电荷放大器相连 而电荷放 大器的输出接到一台笔式记录仪上 记录仪的灵敏度为 20mm V 试 计算这个测量系统的总灵敏度 当压力变化为 3 5 MPa 时 记录笔在 记录纸上的偏移量是多少 4 2 用一个时间常数为 0 35s 的一阶装置去测量周期分别为 1s 2s 和 5s 的正弦信号 问幅值误差是多少 wm wm F w w 0 f t t 0 22 2 1 22 2 1 2 1 2cos 00 222 2 0 2 00 ffFffF dteeetf dtetftfdtetxfX ftjtfjtfj ftjftj 解 X Y jj H 135 0 1 1 1 22 7 7 0 1 1 35 01 1 A 当 T 1s 时 41 0 1 A 即 xY AA41 0 误差为 59 当 T 2s 时 67 0 2 A 误差为 33 当 T 5s 时 90 0 3 A 误差为 8 4 3 求周期信号 45100cos 2 010cos5 0 tttx通过传递函数为 1005 0 1 s sH的装置后得到的稳态响应 解 利用叠加原理及频率保持性解题 45100sin2 09010sin5 0 tttx 2 2 005 01 1 1 1 A 005 0arctg 10 1 1 1 A 86 2 1 86 29010sin15 0 1 ttx 1 0 0 2 89 0 2 A 57 26 2 4557 26100sin89 02 0 2 tty 43 18100sin 178 0 14 8710sin5 0 ttty 4 4 想用一个一阶系统做 100Hz 正弦信号的测量 如要求限制振幅 误差在 5 以内 那么时间常数应取为多少 若用该系统测量 50Hz 正 弦信号 问此时的振幅误差和相角差是多少 511 00 A A A A AA E II I 95 A 即 95 1 1 2 A 95 0 10021 1 2 t s 4 1023 5 当 1005022 f 且s 4 1023 5 时 7 98 1001023 51 1 2 4 A 此时振幅误差 3 1 7 981 1 E 3 91001023 5 4 arctg 4 5 求频率响应函数为 1761577536 01 01 3155072 2 wjwjw sH 的系统对 正弦输入 8 62sin 10 ttx 的稳态响应的均值显示 解 写成标准形式 2 2 2 21 nn n jjj a H 2 125612562 1256 101 0 1 2 2 2 jj 2 1577536 176 1256 8 62 1 1 01 08 621 1 2 2 2 A 7 199 069 1 对正弦波 12 2 107 1 2 A ux 4 6 求传递函数分别为 5 05 3 5 1 s 和 2 2 2 4 1 41 nn n wsws w 的两环节串联后组 成的系统的总灵敏度 不考虑负载效应 解 21 HHH 17 3 5 05 3 5 1 1 SS H 3 1 S 22 2 2 4 1 41 nn n SS H 41 2 S 123413 21 SSS 4 7 设某力传感器可作为二阶振荡系统处理 已知传感器的固有频 率为 800Hz 阻尼比 0 14 问使用该传感器做频率为 400 Hz 的正 弦测试时 其幅值比 A w 和相角差 w 各为多少 当阻尼比 0 7 时 幅值比 A w 和相角差 w 又有什么变化 解 作频率为 400Hz 的正弦力测试时 2 2 2 2 41 1 nn A 2 2 2 2 800 400 14 04 800 400 1 1 31 1 2 1 2 n n arctg 2 800 400 1 800 400 14 02 arctg 6 10 当阻尼比改为7 0 时 97 0 800 400 7 04 800 400 1 1 2 2 2 2 A 43 800 400 1 800 400 7 02 2 arctg 即阻尼比变化时 二阶振荡系统的输出副值变小 同时相位角也变化剧烈 相位 差变大 4 8 对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后 测得其 响应的第一个超调量峰值为 1 5 M 振荡周期为 6 23s Td 设已知 该装置的静态增益为 3 k 求该装置的传递函数和该装置在无阻尼 固有频率处的频率响应 解 最大超调量 5 0 2 1 1 eM 即 215 0 1 5 0ln 1 2 且 28 6 2 d d T 1 28 6 2 1 2 nd 03 1 225 01 1 1 1 22 n 系统的传递函数 1 2 2 2 nn SS k sX sY sH 1 03 1 43 0 03 1 3 2 2 SS 该装置在无阻尼固有频率处的频率响应 由 1 2 2 nn jj K X Y jH nn j K 21 2 j j K jH nn n 43 0 3 21 2 d 为有阻尼固有频率 1 2 T d 215 0 1 ln 1 2 1 2 M eM 2 1 nd 02 1 1 2 d n 4 9 求 h t 的自相关函数 0 0 0 0 t ate th at 4 10 求信号 cos cos 222111 twAtwAtx的自相关函数 0 2 0 0 1 lim 11 lim lim 2 1 2 T t T T ttt tt Rxhh tdt T eedte TT e T 4 11 求方波和正弦波的胡相关函数 第五章 电阻应变式传感器 5 1 以阻值 R 120 灵敏度 Sg 2 的电阻丝应变片与阻值为 120 的固定电阻组成电桥 供桥电压为 2V 并假定负载电阻为无穷大 当应变片的应变为 2 和 2000 时 分别求出单臂 双臂电桥的 输出电压 并比较两种情况下的电桥灵敏度 解 由 0 g R R S 2 时 单臂 6 6 0 0 122 10 22 10 444 igi R UUSUV R 双臂 6 6 0 0 122 10 24 10 222 igi R UUSUV R t t T 1 1 1 1 x t y t 0 0 0 35 44 3 44 35 44 3 44 1 lim 1 sin sin 111 cos cos 2 sin T T TT TT TT TT Ryx ty t x tdt T tdttdt T tt T 2000 时 单臂 6 3 0 0 122000 10 22 10 444 igi R UUSUV R 双臂 6 3 0 0 122000 10 24 10 222 igi R UUSUV R 根据电桥的灵敏度 0 U S R R 双臂的灵敏度比单臂的提高一倍 5 2 用电阻应变片接成全桥 测量某一构件的应变 已知其变化规 律为tBtAt100cos10cos 如果电桥激励电压tEu10000sin 0 求此 电桥的输出信号频谱 5 3 已知信号tttttftx cc cos 3cos20cos30100 cos 其中 fc 10kHz f 500Hz 求 f t 与 x t 的频谱 5 4 一电容测微仪 其传感器的圆形极板半径 r 4mm 工作初始间 隙 0 3mm 问 1 工作时 如果传感器与工作的间隙变化量 2 m 时 电 容变化量是多少 2 如果测量电路的灵敏度 S1 100mV