五年级逻辑推理.doc

第三讲：逻辑推理教学目标1. 掌握逻辑推理的解题思路与基本方法：列表、假设、对比分析法等2. 培养学生的逻辑推理能力，掌握解不同题型的突破口.3. 能够利用所学的数论等知识解复杂的逻辑推理题知识精讲逻辑推理作为数学思维中重要的一部分，经常出现在各种数学竞赛中，除此以外，逻辑推理还经常作为专项的内容出现在各类选拔考试，甚至是面向成年人的考试当中。对于学生学习数学来说，逻辑推理既有趣又可以开发智力，学生自主学习研究性比较高。本讲我们主要从各个角度总结逻辑推理的解题方法。一列表推理法逻辑推理问题的显著特点是层次多，条件纵横交错.如何从较繁杂的信息中选准突破口，层层剖析，一步步向结论靠近，是解决问题的关键.因此在推理过程中，我们也常常采用列表的方式，把错综复杂的约束条件用符号和图形表示出来，这样可以借助几何直观，把令人眼花缭乱的条件变得一目了然，答案也就容易找到了.二、假设推理用假设法解逻辑推理问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立解题突破口：找题目所给的矛盾点进行假设模块一、列表推理法【例 1】 刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛事先规定：兄妹二人不许搭伴第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹问：三个男孩的妹妹分别是谁？【解析】 因为兄妹二人不许搭伴，所以题目条件表明：刘刚与小丽、李强与小英、李强与小红都不是兄妹由第二盘看出，小红不是马辉的妹妹将这些关系画在左下表中，由左下表可得右下表刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹【巩固】 王文、张贝、李丽分别是跳伞、田径、游泳运动员，现在知道：张贝从未上过天；跳伞运动员已得过两块金牌；李丽还未得过第一名，她与田径运动员同年出生.请根据上述情况判断王文、张贝、李丽各是什么运动员？【解析】 为了能清楚地找到所给条件之间的关系，我们不妨运用列表法，列出下表，在表中“”表示是，“”表示不是，在任意一行或一列中，如果一格是“”，可推出其它两格是“”王文张贝李丽跳伞田径游泳由可知张贝、李丽都不是跳伞运动员，可填出第一行，即王文是跳伞运动员；由可知，李丽也不是田径运动员，可填出第三列，即李丽是游泳运动员，则张贝是田径运动员 【例 2】 张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：张明不在北京工作，席辉不在上海工作；在北京工作的不是教师；在上海工作的是工人；席辉不是农民问：这三人各住哪里？各是什么职业？【解析】 这道题的关系要复杂一些，要求我们通过推理，弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系三者的关系需要两两构造三个表，即人物与地点，人物与职业，地点与职业三个表 我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示，由条件得到表，由条件、得到表，由条件得到表 因为各表中，每行每列只能有一个“”，所以表可填全为表由表知农民在北京工作，又知席辉不是农民，所以席辉不在北京工作，可以将表可填全完为表由表和表知得到：张明住在上海，是工人；席辉住在天津，是教师；李刚住在北京，是农民方法二：由题目条件可知：席辉不在上海工作，而在上海工作的是工人，所以席辉不是工人，又不是农民，那么席辉只能是教师，不在北京工作，就只能是在天津工作，那么张明在上海工作，是工人。李刚在北京，是农民。【巩固】 甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员已知：甲不是辽宁人，乙不是广西人；辽宁人不是演员，广西人是教师；乙不是工人求这三人各自的籍贯和职业【解析】 由题意可画出下面三个表：将表补全为表由表知，工人是辽宁人，而乙不是工人，所以乙不是辽宁人，由此可将表补全为表所以，甲是广西人，职业是教师；乙是山东人，职业是演员；丙是辽宁人，职业是工人方法二：将能判断的条件先列入图表中，广西人是教师，但是乙不是广西人，所以乙不是教师，乙又不是工人，所以乙为演员。在对应的地方打上“”，对应的行列均打“”。但是辽宁人不是演员，所以乙不是辽宁人，乙就是山东人，所以甲是广西人，职业是教师；乙是山东人，职业是演员；丙是辽宁人，职业是工人。【巩固】 小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道：（1）小明不在一小；（2）小芳不在二小（3）爱好乒乓球的不在三小；（4）爱好游泳的在一小；（5）爱好游泳的不是小芳。问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？【解析】 这道题比上例复杂，因为要判断人、学校和爱好三个内容。先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示：因为各表中，每行每列只能有一个“”，所以表3可补全为表4。由表4、表2知道，爱好游泳的在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不在一小。于是可将表1补全为表5。对照表5和表4，得到：小明在二小上学，爱好打乒乓球；小芳在三小上学，爱好打羽毛球；小花在一小上学，爱好游泳。【例 3】 甲、乙、丙、丁四个人的职业分别是教师、医生、律师、警察已知：教师不知道甲的职业；医生曾给乙治过病；律师是丙的法律顾问（经常见面）；丁不是律师；乙和丙从未见过面那么甲、乙、丙、丁的职业依次是： 【解析】 律师、教师、警察由可以知道丙不是律师，但是他见过律师，再由知乙不是律师，又由可知甲是律师于是由和知丙不是教师，由和知丙不是医生，从而丙是警察再由知乙是教师，丁是医生列表如下（列表的好处在于直观明了，不会犯错误）：教师医生律师警察甲乙丙 ，丁【巩固】 甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地甲说：“我和乙都住在北京，丙住在天津”乙说：“我和丁都住在上海，丙住在天津”丙说：“我和甲都不住在北京，何伟住在南京”丁说：“甲和乙都住在北京，我住在广州”假定他们每个人都说了两句真话，一句假话问：不在场的何伟住在哪儿？【解析】 因为甲、乙都说“丙住在天津，”我们可以假设这句话是假话，那么甲、乙的前两句应当都是真话，推出乙既住在北京又住在上海，矛盾所以假设不成立，即“丙住在天津”是真话 因为甲的前两句话中有一句假话，而甲、丁两人的前两句话相同，所以丁的第三句话“我住在广州”是真的由此知乙的第二句话“丁住在上海”是假话，第一句“我住在上海”是真话；进而推知甲的第二句是假话，第一句“我住在北京”是真话；最后推知丙的第二句话是假话，第三句“何伟住在南京”是真话所以，何伟住在南京【例 4】 甲、乙、丙、丁每人只会中、英、法、日四种语言中的两种，其中有一种语言只有一人会说他们在一起交谈可有趣啦：乙不会说英语，当甲与丙交谈时，却请他当翻译；甲会日语，丁不会日语，但他们却能相互交谈；乙、丙、丁找不到三人都会的语言；没有人同时会日、法两种语言请问：甲、乙、丙、丁各会哪两种语言？【解析】 由可得下表，其中丙不会日语是因为甲会日语，且甲与丙交谈需要翻译由下表看出，甲会的另一种语言不是中文就是英语先假设甲会说中文由知，丁也会中文；由知丙不会中文，再由每人会两种语言，知丙会英、法语（见左下表：由推知乙会中文和法语；再由及每人会两种语言，推知丁会英语（见右下表）结果符合题意再假设甲会说英语由知，丁也会英语；由知丙不会英语，再由每人会两种语言，知丙会中文和法语（见左下表）；由 推知，乙会中文和日语；再由及每人会两种语言，推知丁会法语（见右下表）右下表与“有一种语言只有一人会说”矛盾假设不成立所以甲会中、日语，乙会中、法语，丙会英、法语，丁会中、英语【例 5】 （年湖北省“创新杯”初赛）六年级四个班进行数学竞赛，小明猜想比赛的结果是：班第一名，班第二名，班第三名， 班第四名小华猜想比赛的结果是：班第一名，班第二名，班第三名，班第四名结果只有小华猜到的班为第二名是正确的那么这次竞赛的名次是 班第一名， 班第二名， 班第三名， 班第四名。【解析】 方法一：依题意，班不为第一名也不为第三名，那么班为第四名同样，班不为第二名也不为第一名，那么班为第三名班不为第三名也不为第四名，那么班为第一名故第一名到第四名依次为班，班，班，班方法二：我们可以将两人的猜测结果列成表格形式，将小明猜想结果用“”表示，小华猜测结果用“”表示，列表如下：第一名第二名第三名第四名班班班班由题意知只有小华猜到的班为第二名正确，其他的全是错误的，所以很容易确定各班名次（打的即为正确的名次）第一名第二名第三名第四名班班班班方法二：题目中只有小华猜到4班为第二名是正确的，那么其他的猜想均为错误的。在其对应的地方打“”，正确的则打“”。第一名第二名第三名第四名班班班班【巩固】 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺序在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测甲猜：乙第三，丙第五乙猜：戊第四，丁第五丙猜：甲第一，戊第四丁猜：丙第一，乙第二戊猜：甲第三，丁第四老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，则出赛顺序中，第一是_；第三是_【解析】 题中每个人都猜了另外两个人的出场顺序，每个人的出场顺序也都被另外两个人猜过，其中戊被乙和丙猜的都是第四，由于每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，所以戊是第四（否则戊的出赛顺序没有人猜中），以此为突破口。由于戊是第四，则在第四列其余地方均打“”则丁不能第四，所以丁的出赛顺序被乙猜中，为第五，则丙不能是第五，丙只能是第一，甲不能是第一，故甲是第三，乙是第二，所以答案为：第一是丙，第三是甲第一第二第三第四第五甲丙猜的戊猜的乙丁猜的甲猜的丙丁猜的甲猜的丁戊猜的乙猜的戊乙猜的，丙猜的【例 6】 红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，有、五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包猜：第二包是紫的，第三包是黄的；猜：第二包是蓝的，第四包是红的；猜：第一包是红的，第五包是白的；猜：第三包是蓝的，第四包是白的；猜：第二包是黄的，第五包是紫的猜完后，打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包，并且每包只有一人猜对请你判断他们各猜对了其中的哪一包？【解析】 方法一：题目要求、五个人在猜每包珠子的颜色时每人只猜两包且每人都只猜对了一包每包只有一人猜对，所以观察五包珠子中第一包只有猜，所以猜对了第一包，又根据每人只猜对了一种，所以猜第五包是白的，猜错了；第五包只有、两人猜，所以猜第五包是紫的，猜对了；那么猜第二包是黄的，猜错了；紫颜色的珠子，只有、两人猜，那么猜第二包是紫的，猜错了；第二包有，三人猜，其中，都猜错了，所以猜第二包是蓝的，猜对了；那么猜第四包是红的，猜错了；所以猜对的是第四包，是白的猜第三包是蓝的，也猜错了；所以猜对的是第三包，是黄的；总结以上推理判断，猜对了第三包是黄的，猜对了第二包是蓝的，猜对了第一包是红的，猜对了第四包是白的，猜对了第五包是紫的方法二：分析同方法一，第一包只有一人猜对，所以第一包为红色，在第一行的其余地方打上“”第四包不为红色，第四包为白色，白色不能为第五包，第五包就为紫色，同理可知其余各包颜色。红色黄色蓝色白色紫色一二三四【巩固】 四张卡片上分别写着奥、林、匹、克四个字（一张上写一个字），取出三张字朝下放在桌上，、三人分别猜每张卡片上是什么字，猜的情况见下表：第一张第二张第三张林奥克林匹克匹奥林结果，有一人一张也没猜中，一人猜中两张，另一人猜中三张.问：这三张卡片上各写着什么字【解析】 、有两张猜的相同，必有一人全对，一人对两张，因此，全错，推知全对.【例 7】 老师让小新把小胖、小贝、小丸子、小淘气、小马虎的作业本带回去，小新见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了现在知道：小胖拿的不是小贝的，也不是小淘气的；小贝拿的不是小丸子的，也不是小淘气的；小丸子拿的不是小贝的，也不是小马虎的；小淘气拿的不是小丸子的，也不是小马虎的；小马虎拿的不是小淘气的，也不是小胖的另外，没有两人相互拿错(例如小胖拿小贝的，小贝拿小胖的)问：小丸子拿的是谁的本？小丸子的本被谁拿走了？【解析】 根据“全发错了”及条件，可以得到下表：小胖的本小贝的本小丸子的本小淘气的本小马虎小胖小贝小丸子小淘气小马虎由表1看出，小淘气的本被小丸子拿了此时，再继续推理分析不大好下手，我们可用假设法由上表知，小胖拿的本不是小丸子的就是小马虎的先假设小胖拿了小丸子的本于是得到下表，表中小贝拿小马虎的本，小马虎拿小贝的本两人相互拿错，不合题意小胖的本小贝的本小丸子的本小淘气的本小马虎小胖小贝小丸子小淘气小马虎再假设小胖拿小马虎的本于是又可得表，经检验，下表符合题意小胖的本小贝的本小丸子的本小淘气的本小马虎小胖小贝小丸子小淘气小马虎所以小丸子拿了小淘气的本，小丸子的本被小马虎拿去了模块二、假设推理【例 8】 甲、乙、丙三人，一个总说谎，一个从不说谎，一个有时说谎有一次谈到他们的职业甲说：“我是油漆匠，乙是钢琴师，丙是建筑师”乙说：“我是医生，丙是警察，你如果问甲，甲会说他是油漆匠”丙说：“乙是钢琴师，甲是建筑师，我是警察”你知道谁总说谎吗？【解析】 甲如果甲从不说谎，那么乙的最后一句、丙的第一句都对，没有总说谎的人，矛盾；同理，如果丙从不说谎，也将推出矛盾【巩固】 在神话王国内，居民不是骑士就是骗子，骑士不说谎，骗子永远说谎，有一天国王遇到该国的居民小白、小黑、小蓝，小白说：“小蓝是骑士，小黑是骗子”，小蓝说：“小白和我不同，一个是骑士，一个是骗子”国王很快判断出谁是骑士，谁是骗子你能判断出吗？【解析】 假设小白是骑士（说实话），则小蓝是骑士，小黑是骗子；又因为小蓝是骑士，那么小白、小蓝不同，一个是骑士，一个是骗子，与小白、小蓝均为骑士矛盾假设小白是骗子（说假话），那么小蓝是骗子，小黑是骑士，又因为小蓝是骗子，所以小白、小蓝不同是假话因此，小白、小蓝是骗子，小黑是骑士.【巩固】 甲说：“乙和丙都说谎。”乙说：“甲和丙都说谎。”丙说：“甲和乙都说谎。”根据三人所说，你判断一下，下面的结论哪一个正确：（1）三人都说谎；（2）三人都不说谎；（3）三人中只有一人说谎；（4）三人中只有一人不说谎。【解析】 （4）正确。【例 9】 某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别。甲判断：不是铁，也不是铜。乙判断：不是铁，而是锡。丙判断：不是锡，而是铁。经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个人说对了一半，而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？【解析】 丙全说对了，甲说对了一半，乙全说错了。先假设甲全对，推出矛盾后，再设乙全对，又推出矛盾，则说明丙全对，甲说对了一半，乙全说错了。【巩固】 三只小猴子聪聪、淘淘、皮皮见到一个水果，他们分别判断这是什么水果：聪聪判断：不是苹果，也不是梨淘淘判断：不是苹果，而是桃子皮皮判断：不是桃子，而是苹果老猴子告诉他们：有一只小猴子的判断完全正确，有一只小猴子说对了一半，而另一只小猴子完全说错了你知道三只小猴中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？【解析】 先设聪聪全对，不是苹果，也不是梨只能是桃子，那么淘淘两句也都说对了，推出矛盾；再设淘淘全对，不是苹果，而是桃子，推出这个水果是桃子，那么聪聪说的也都对了，又推出矛盾；则说明皮皮全对，那么这种水果是苹果，聪聪说对了一半，淘淘全说错了【例 10】 （年太原福布斯迎奥运数学展示活动）名运动员参加一项比赛，赛前，甲说：“我肯定是最后一名”乙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名”丙说：“我绝对不会得最后一名”丁说：“我肯定得第一名”赛后，发现他们人的预测中只有一人是错误的请问谁的预测是错误的？【解析】 假设甲的预测是错的，那么其他三人的预测都是对的，那么甲不是最后一名，乙和丙也不是最后一名，丁是第一名，这样的话没有人是最后一名，矛盾所以甲的预测是对的，甲是最后一名，那么丙的预测也是对的如果乙的预测是错的，那么乙是第一名，而丁的预测是对的，丁也是第一名，矛盾所以乙的预测是对的，丁的预测是错的【巩固】 甲、乙、丙、丁在比较他们的身高，甲说：“我最高”乙说：“我不最矮”丙说：“我没甲高，但还有人比我矮”丁说：“我最矮”实际测量的结果表明，只有一人说错了请将他们按身高次序从高到矮排列出来【解析】 丁不可能说错，否则就没有人最矮了由此知乙没有说错若甲也没有说错，则没有人说错，矛盾所以只有甲一人说错所以丁是最矮的，甲不是最高的，丙没甲高，但还有人比他矮，那么只能是甲第二高，丙第三高，乙最高所以他们的身高次序为乙、甲、丙、丁【巩固】 （年第七届希望杯一试试题）百米决赛前，小芳对参赛的五名选手的名次作了预测，比赛的结果同她预测的名次全不相同由下图知小芳预测为第一名的选手的实际名次是第 名我预测的第二名、第三名、第四名中有1人高出3个名次，有1人高出1个名次，另一人低1个名次【解析】 假设小芳预测第一名、第二名、第三名、第四名、第五名对应的人分别是甲、乙、丙、丁、戊，由小芳说的话知第四名丁就是实际名次的第一名, 预测的第二名乙就是实际名次的第三名, 预测的第三名丙就是实际名次的第二名,因此实际的第一名、第二名、第三名的人分别是丁、丙、乙，又知道比赛的结果同她预测的名次全不相同,所以小芳预测的第五名戊只能是实际的第四名了，这样实际名次的第五名只能是小芳预测的第一名甲了.（如下表所述）第一名第二名第三名第四名第五名小芳预测名次对应的人甲乙丙丁戊实际名次对应的人丁丙乙戊甲【巩固】 （年台湾第一届小学数学世界邀请赛）在期末考试前，学生、分别预测他们的成绩是、或，评分标准是比 好，比好，比好说：“我们的成绩都将不相同若我的成绩得，则将得”说：“若的成绩得，则将得的成绩将比好”说：“若的成绩不是得到，则将得若我的成绩得到，则的成绩将不是”说：“若的成绩得到，则我将得到若的成绩不是得到，则我也将不会得到”当期末考试的成绩公布，每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测请问这四位学生的成绩分别是什么？【解析】 由于每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测，所以说：“的成绩将比好”是正确的，这样将不可能得，不可能得这样不可能得（否则得）如果得，那么将得由于的成绩不是得到，那么将得，这与得矛盾所以不得如果得，那么将得到但这样的成绩将不可能比好，矛盾所以不得由于、均不得，那么只有得如果得，那么的成绩将不是这样的成绩将是，的成绩将是，矛盾所以不得由于不得、，所以得由于的成绩比好，所以剩下的和只能是得，得所以、的成绩分别是、【巩固】 (年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛个人赛)三位女孩、进行百米赛跑，裁判、在赛前猜测她们之间的名次。说：“我猜是第一名。”说：“我猜不会是最后一名。”说：“我猜不会是第一名。”成绩揭晓后已知恰只有一位裁判的猜测是正确的，请问哪位女孩得第一名？【解析】 假设是第一名，那么猜测正确，猜测正确，出现矛盾。假设是第一名，那么与猜测错误，而当为第二名时，猜测正确。假设为第一名，那么、猜测正确，出现矛盾，所以第一名是。【巩固】 小强、小明、小勇三人参加数学竞赛，他们分别来自甲、乙、丙三个学校，并分别获得一、二、三等奖已知：小强不是甲校选手；小明不是乙校选手；甲校的选手不是一等奖；乙校的选手得二等奖；小明不是三等奖根据上述情况，可判断出小勇是校的选手，他得的是等奖【解析】 甲校；三等奖由、小明得的不是二等奖，由知小明得的不是三等奖，所以小明得的是-等奖，由、知小明是丙校的，由知小强是乙校的，所以小勇是甲校的，他得的是三等奖【例 11】 一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问四人分别供述如下： 甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中” 乙说：“我没有作案，是丙偷的” 丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯” 丁说：“乙说的是事实”经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？【解析】 如果甲说的是假话，那么剩下三人中有一人说的也是假话，另外两人说的是真话可是乙和丁两人的观点一致，所以在剩下的三人中只能是丙说了假话，乙和丁说的都是真话即“丙是盗窃犯”这样一来，甲说的也是对的，不是假话这样，前后就产生了矛盾所以甲说的不可能是假话，只能是真话同理，剩下的三人中只能是丙说真话乙和丁说的是假话，即丙不是罪犯，乙是罪犯又由甲所述为真话，即甲不是罪犯再由丙所述为真话，即丁是罪犯所以乙和丁是盗窃犯【巩固】 （年春武汉明心奥数挑战赛）名谋杀案的嫌疑人，在犯罪现场被警察询问，其中有一名是凶手下面个人的供述中，只有 句是对的：说：是杀人犯；说：我是无辜的；说：不是杀人犯；说：在说谎；说：说的是实话在这个人中， 是凶手【解析】 与判断相同，要么都对，要么都错假设与都错，即凶手是，那么也错，就出现了句错的，与“有句是对的”矛盾所以与都是对的余下的人中还有人判断是对的，由于与互相矛盾，所以这两个人中必有一个是对的，一个是错的，由于只有句是对的，那么必定是错的，所以是凶手【巩固】 甲，乙，丙，丁四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下甲：“丙、丁两人中有人做了好事”乙：“丙做了好事，我没做”丙：“甲、丁中只有一人做了好事”丁：“乙说的是事实”最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入到底是谁做了好事？【解析】 我们用假设法来解决题目说四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入注意，此处的“与事实有出入”表示不完全与事实相符，比如，当乙、丙都做了好事，或乙、丙都没做好事，或乙做了好事而丙没做好事时，乙说的话都与事实有出入 因为乙与丁说的是一样的，所以只有两种可能，要么乙与丁正确，甲与丙错；要么乙与丁错，甲与丙正确假设乙与丁说的话正确这时丙做了好事，甲说丙、丁两人中有人做了好事，甲说的话也正确，这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾所以假设错误 假设甲与丙说的话正确那么做好事的是甲与丙，或乙与丁，或丙与丁若做好事的是甲与丙，或丙与丁，则乙说的话也正确，与题意不符；若做好事的是乙与丁，则乙说的话与事实不符，符合题意 综上所述，做好事的是乙与丁【例 12】 甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。甲说：“丙第名，我第名。”乙说：“我第名，丁第名。”丙说：“丁第名，我第 名。”成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？【解析】 我们以“他们每人只说对了一半”作为前提，进行逻辑推理。 假设甲说的第一句话“丙第名”是对的，第二句话“我第名”是错的。由此推知乙说的“我第名”是错的，“丁第名”是对的；丙说的“丁第名”是错的，“丙第名”是对的。这与假设“丙第名是对的”矛盾，所以假设不成立。 再假设甲的第二句话“我第名”是对的，那么丙说的第二句“我第名”是错的，从而丙说的第一句话“丁第名”是对的；由此推出乙说的“丁第名”是错的，“我第名”是对的。至此可以排出名次顺序：乙第名、丁第名、甲第名、丙第名。【例 13】 传说有个说谎国，这个国家的男人在星期四、五、六、日说真话，在星期一、二、三说假话；女人在星期一、二、三、日说真话，在星期四、五、六说假话有一天，一个人到说谎国去旅游，他在那里认识了一男一女男人说：“昨天我说的是假话”，女人说：“昨天也是我说假话的日子”这下，那个外来的游人可发愁了，到底今天星期几呢？请同学们根据他们说的话，判断一下今天是星期几呢？【解析】 假设男人今天说的是真话，那么今天是星期四、五、六、日其中的一天，而且今天的前一天男人说的是假话，所以，根据男人的话，确定今天是星期四，所以女人说的话是假话，昨天也就是星期三女人说的是真话，符合题意，所以，今天是星期四.【巩固】 从A，B，C，D，E，F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。根据挑选规则，参展产品满足下列要求：（1）A，B两种产品中至少选一种；（2）A，D两种产品不能同时入选；（3）A，E，F三种产品中要选两种；（4）B，C两种产品都入选或都不能入选；（5）C，D两种产品中选一种；（6）若D种产品不入选，则E种也不能入选。问：哪几种产品被选中参展？【解析】 用假设法。从条件（1）开始，有三种情况：假设选A不B选，由（2）知D不能入选，再由（5）知C入选，再由（4）推知C，B同时入选，与前面假设不选B矛盾。假设不成立。假设选B不选A，由（3）知选E，F，由（6）知D入选，再由（5）知C不入选，再由（4）推知B，C都不入选，与假设选B矛盾。假设不成立。假设A，B都入选，由（2）知D不入选，由（6）知E也不入选，再由（3）知F入选，由（4）知C入选。符合题意。因此，A，B，C，F选中参展。【例 14】 三年级一班新转来三名学生，班主任问他们三人的年龄刘强说：“我12岁，比陈红小2岁，比李丽大1岁”陈红说：“我不是年龄最小的，李丽和我差3岁，李丽是15岁”李丽说：“我比刘强年岁小，刘强13岁，陈红比刘强大3岁”这三位学生在他们每人说的三句话中，都有一句是错的请你帮助班主任分析出他们三人各是多少岁？【解析】 经过审题，仔细分析这九句话，不难发现有两句话是相互矛盾的一句话是刘强说的第一句话：“我12岁”，另一句话是李丽说的第二句话：“刘强13岁”这两句话不能都真，必有一句是假的为了确定这两句话的真假性可以先假设某一句为真，如果推不出矛盾，本题就获得了解决；如果推出矛盾，就说明这句话是假的，从而也就找到了突破口先假设刘强说的第一句话“我12岁”为真，那么李丽说的第二句话“刘强13岁”就为假，因此李丽的另外两句话就应该是真话，从“陈红比刘强大3岁”就推出陈红是15岁；又从“我比刘强年岁小”推出李丽小于12岁可是这样一来，陈红说的三句话中，“李丽和我差3岁”和“李丽15岁”这两句话都不能成立，这与本题中的要求(“每人说的三句话中，都有一句是错的”，即三句话中有两句话是真的)相矛盾因此，刘强说的“我12岁”这句话是假的由于刘强说的第一句话是假的，所以后两句话就是真的因此，李丽说的第三句话“陈红比刘强大3岁”就是假的，所以，李丽说的第二句话“刘强13岁”就是真的于是就可以推出：李丽12岁，陈红15岁，刘强13岁【例 15】 (2008年日本小学算术奥林匹克大赛决赛)甲和乙做猜数的游戏。首先，甲在纸上写个各位数字都不同的四位数，写好后将纸翻过来。不让乙看到，然后让乙猜这个四位数的各位数字。如果数字和位数都猜对了就是，如果数字对而位数不对就是。例如：甲写的是，乙猜的是，那么就是个，个。请阅读以下对话并回答问题： 乙：“我猜”，甲：“个，个。”乙：“？”，甲：“也是个，个。”乙：“？”，甲：“也是个，个。”乙：“呢？”，甲：“个。”乙：“哇，猜不着呀，呢？”甲：“也是个。”（1）：请从以上的对话中答出甲最可能写的个四位数。后来，甲发现自己刚才的回答中对四位数的判断有误。甲：“对不起，刚才有搞错的。”乙：“啊！那么”甲“只是个数字搞错了，在刚才说到的数字中，只是对的判断有误，正确的回答应该是个，个。”乙“稍等一会儿，啊！我知道啦！甲写的四位数是 吗”？甲：“对啦！你真棒！”(2)：请问甲写的这个四位数是什么？【解析】 如下表：由1、4次猜测结果知，2到9中包含了正确数字中的全部四位数字，也即甲写的数字各位都不是0或1；由2、3次猜测结果，同理知甲写的数字各位都不是1或4；再考察第3、4次猜测结果，由于其中的0和4一定是错的，而且两次各猜对了正确数字四位数中的两位，可以先假设甲写的数字各位上没有3，那么甲写的数字各位就是2、5、7、8，那么第5次猜测的结果就应该是（0，1）或者（1，0）而非（0，2）。因此甲写的数字一定有一位是3；再由第5次猜测结果，甲所写的数字各位有且只有6、8、9中的一个；于是由第1次猜测结果，甲所写的数字中一定有一位是5再综合第3、5次猜测结果，知甲所写的数字各位上没有8，而一定有且只有6、9其一根据第2次的猜测结果，甲所写的数字应该有一位是2、7其一。假定第1、3次猜测中位数对的数字是5，那么根据第3、5次的猜测结果可以判断出3在甲所写的数字的个位上于是由第2次猜测结果，2或7一定是数字对而位数不对的，那么6或9一定是数字对且位数对的，于是甲可能写的数字是：6253、2953或7953假定第1、3次猜测中位数对的数字不是5，那么第3次猜测中位数对的数字一定是3，第1次猜测中位数对的数字只能是6而不能是9，于是只能第百位是5，十位是7，这时甲可能写的数字只有3576综上所述，甲可能写的四位数是6253、2953、7953或3576（2）由上述前半部分推理，仍然能判断出甲写的数字各位上一定有3和5，且仍然6、9中有其一，而2、7中有其一。仍然先假设第3次猜测中数字对且位数对的是3，那么第1次猜测中数字对且位数对的只能是6，而不能是5或9。那么由于第1次猜测中5是数字对而位数不对的，则5只能放在百位，又由于第2次猜测中有一位数字对且位数对，所以只能是十位上为7，这时这个四位数是3576，但这时第4次猜测将没有数字对且位数对的数，与甲的叙述不附，因此最开始的假设不成立。那么第3次猜测中数字对且位数对的数只能是5，由第3、5次猜测结果可以推知，3不在千位也不在百位，那么3只能在个位。考虑到第四次猜测中要有一位数字对且位数对，只能是百位上的7，再由第1次猜测的结果推出千位上不能是9而只能是6，于是这个四位数是6753，经过检验可知，这个四位数满足所有五个条件，因此甲写的四位数就是6753。【巩固】 一只皮箱的密码是一个三位数。小光说：“它是954。”小明说：“它是358。”小亮说：“它是214。”小强说：“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字。”这只皮箱的密码是 。【解析】 每个人只猜了位置不同的一个数字，也就是说一样的数字必然不对，“5、4”第一位肯定是9，第三位是8，第二位是1，密码就是918。【例 16】 一次数学考试，共六道判断题考生认为正确的就画“”，认为错误的就画“”记分的方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分已知、七人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出的得分并简单说明你的思路考生题号123456得分755597【解析】 由于得了9分，说明他只答错了一道题先假定答错的是第1题，这样就有一个标准答案，并由此可分析其他人的得分如出现矛盾，再假定答错的是第2题直到判断出答错的题号为止有了正确的答案，就可以写出的得分假设的第1题答错，那么至少错3道题，一题未答，最多得5分，与得7分矛盾所以第1题答对假设第2题答错，可知最多得3分，矛盾所以第2题答对假设第3题答错，则最多得3分，矛盾所以第3题答对假设第6题答错，则最多得3分，矛盾所以第6题答对由于得9分，因此只答错一题，因此第4题答错，于是的第2，4两题对，3，6两题错而得7分，说明的第5题是对的由，两人的答案，可得一标准答案如下表：题号123456答案按此标准评分，与题中所给，得分相符合，所以的第4题确实答错了上表的答案是正确的故可知得8分【例 17】 有六个大小相同的彩球，三个红，三个白，分别放入三个罐子里，一个罐里放两红球，一个罐里放两白球，另一罐放一红一白然后将写有“两红”、“两白”、“红白”的三个标签贴在三个罐子上，由于粗心，三个标签全贴错了试问此时最少要从罐子中取出几个球，才能确定三个罐分别装的是什么彩球？【解析】 因为所有罐子上的标签都和罐中实物不符，所以在贴有“红白”标签的罐子中只能是两红或两白那么只需在“红白”罐子中取出一个彩球，若是红色球，则可知罐中是两红，那么标有“两白”的罐子中就是“一红一白”，标有“两红”的罐子中就是“两白”；若是白色球，则可知罐中是“两白”，那么标有“两红”的罐子中就是“一红一白”，而标有“两白”的罐子中就是“两红”模块四、计算中的逻辑推理【例 18】 学校组织了一次投篮比赛，规定投进一球得分，投不进倒扣分，如果大明得分，且知他有个球没有投进，那么大明共投了几个球？【解析】 大明有个球没有投进，要被扣掉分，如果不考虑这个球，大明应该得(分)，规定投进一球得分，(个)，所以，大明投进了个球，加上未投进的个球，大明共投了个球【例 19】 小华在一个文具店里买了5支铅笔，4块橡皮，8个练习本，付给售货员2元钱，售货员叔叔找给他5角5分小华看了看铅笔的价格是每支8分，就说：“叔叔，您把帐算错啦！”请问：小华怎么知道这笔帐算错了？【解析】 因为每支铅笔的价格是8分，所以5支铅笔的价钱是(分)，40是4的倍数；4块橡皮和8个笔记本，不管它们各自的单价是多少，总共应付的钱也是4的倍数但是小华给了售货员2元钱，找回5角5分，实际付给售货员1元4角5分，因为145(分)不是4的倍数，所以小华断定售货员把这笔帐算错了【例 20】 张红因病在家休息了几天，这期间的气候是：下了8次雨，时间是上午或下午；当下午下雨时，当天上午是晴天；有9个下午是晴天；有13个上午是晴天。问她一共在家休息了几天？【解析】 因为（2）当下午下雨时，当天上午恰好是晴天，如果上午下雨，下午也必定是晴天因此每天只可能上午或者下午下雨。设他休息了X天，（X-9）为下午下雨的次数，（X-13）为上午下雨的次数(X-9)+(X-13)=8，2X=30，X=15，休息了15天【例 21】 五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的岁，最小的岁，最大的女孩比最小的男孩大岁，最大的男孩比最小的女孩也大岁，求最大的男孩的岁数【解析】 假设最小的男孩岁，那么最大的女孩有（岁），四个女孩年龄都不同，最小的女孩应是岁，那么最大的男孩为（岁），与题目说最大的孩子岁矛盾所以假设不成立再假设最小的女孩岁，那么最大的男孩为岁，最大的女孩岁，最小的男孩岁，符合题意所以最大男孩是岁【例 22】 四对夫妇坐在一起闲谈四个女人中，吃了个梨，吃了个，吃了个，吃了个；四个男人中，甲吃的梨和他妻子一样多，乙吃的是妻子的倍，丙吃的是妻子的倍，丁吃的是妻子的倍四对夫妇共吃了个梨问：丙的妻子是谁？【解析】 分别设，的丈夫吃梨的个数为，和，则有： 由题意知，分别等于，四个数之一，且互不相同所以，得到所以与的奇偶性相同由于，所以，只能为或如果，那么，由得到，矛盾所以，因为丙吃的梨是妻子的倍，而，所以丙的妻子是课后练习练习1. ，分别是中国、日本、美国和法国人.已知：和中国人是医生；和法国人是教师；和日本人职业不同；不会看病.问：，各是哪国人，【解析】 有可知，、都不是中国人和法国人，再由知，也不是中国人，所以，是中国人，由，日本人也是教师，从而推知，是法国人，得下表：，中国人日本人美国人法国人最后由是中国人及，推知日本人是教师，再由知是日本人.练习2. 班里举行投篮比赛，规定投中一个球得分，投不进扣分小立一共投了个球，得了分，那么小立投中了几个球？【解析】 如果小立个球全部投中，应该得（分），实际上少了（分），投中一个球得分，投不进扣分，投不进一个球就少（分），所以一共没投进（个），投中了（个）球练习3. 学校新来了一位老师，五个学生分别听到如下的情况：是一位姓王的中年女老师，教语文课；是一位姓丁的中年男老师，教数学课；是一位姓刘的青年男老师，教外语课；是一位姓李的青年男老师，教数学课；是一位姓王的老年男老师，教外语课他们每人听到的四项情况中各有一项正确问：真实情况如何？【解析】 真实情况是姓刘的老年女老师，教数学假设是男老师，由、知，他既不是青年、中年，也不是老年，矛盾，所以是女老师再由知，她不教语文，不是中年人假设她教外语，由、知她必是中年人，矛盾，所以她教数学由、知她是老年人，由知她姓刘练习4