福建省达标校联考高考数学模拟试卷 理（含解析）.doc

福建省达标校联考2015届高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题本大题共共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知复数z满足：z（1+i）=1i，则复数z等于（）a1bicid12（5分）设集合a=2，3，5，7，b=2，4，6，8，全集u=ab，则集合u（ab）中的元素个数为（）a3b4c5d63（5分）若a=sin（），则函数y=tanax的最小周期为（）abc2d44（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）a2b3c4d55（5分）已知向量=（x1，2），=（2，1），则“x0”是“与夹角为锐角”的（）a必要不充分条件b充分不必要条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件6（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线与圆（x3）2+y2=9相交于a、b两点，若|ab|=2，则该双曲线的离心率为（）a8b2cd37（5分）在如图的程序中所有的输出结果之和为（）a30b16c14d98（5分）在abc中，角a、b、c所对的边分别为a，b，c，若，且，则下列关系一定不成立的是（）aa=cbb=cc2a=cda2+b2=c29（5分）给定区域d：，令点集t=（x0，y0）d|x0，y0z，（x0，y0）是z=x+y在d上取得最大值或最小值的点，则t中的点共确定不同的直线的条数为（）a4b5c6d710（5分）定义在r上的奇函数f（x）和定义在x|x0上的偶函数g（x）分别满足f（x）=，g（x）=log2x（x0），若存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，则实数b的取值范围是（）a2，2b，0）（0，c2，2d（，22，+）二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分把答案填在答题卷中的横线上）11（4分）（x2）5的展开式x4的系数为（用数字作答）12（4分）从如图所示的长方形区域内任取一个点m（x，y），则点m取自阴影部分部分的概率为13（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是14（4分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2sin2x1（xr），当x0，时，若函数y=f（x）k有两个零点，则k的取值范围为15（4分）设s为非空数集，若x，ys，都有x+y，xy，xys，则称s为封闭集，下列命题：实数集是封闭集封闭集一定是无限集若s为封闭集，则一定有0s若s，t为封闭集且满足sut，则集合u也是封闭集其中真命题的序号是（把所有真命题的序号都填上）三、解答题（共5小题，满分66分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（13分）设数列an的前n项和为sn，且sn=2，（1）求数列an的通项公式；（2）设tn=log2a1+log2a2+log2an，求证：2（nn*，n2）17（13分）如图，三棱锥pabc中，pb底面abc于b，bca=90，pb=ca=2，点e是pc的中点（1）求证：侧面pac平面pbc；（2）若异面直线ae与pb所成的角为，且，求二面角cabe的大小18（13分）某玩具厂生产甲、乙两种儿童玩具，其质量按测试指示划分：指示大于或等于85为合格品，小于85为次品，现随机抽取这两种玩具个100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指示75，80）80，85）85，90）90，95）95，100） 玩具甲 8 22 30 32 8 玩具乙 7 18 40 29 6（1）试分别估计玩具甲，玩具乙为合格品的概率（2）生产一件玩具甲，若是合格品可盈利80圆，若是次品则亏损15元，生产一件玩具乙，若是合格品可盈利50圆，若是次品则亏损10元，在（1）的前提下，记x为生产1件玩具甲和1件玩具乙所得的总利润，求随机变量x的分布列和数学期望求生产5件玩具乙所获得的利润不少于140元的概率19（13分）已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且过点（2，）（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形abcd的顶点在椭圆上，且对角线ac、bd过原点o，若kackbd=，（i） 求的最值（ii） 求证：四边形abcd的面积为定值20（14分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3（1）求实数a的值；（2）若f（x）kx2对任意x0成立，求实数k的取值范围；（3）当nm1（m，nn*）时，证明：【选修4-2：矩阵与变量】21（7分）设矩阵a=求矩阵a的逆矩阵a1若曲线c在矩阵a1d的作用下变为曲线c：x2y2=1，求曲线c的方程【选修4-4：坐标系与参数方程】22（7分）在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为（为参数），以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐 标 系，曲 线c2的极坐标方程为sin（+）=4（1）求曲线c1的普通方程与曲线c2的直角坐标方程（2）设p为曲线c1上的动点，求点p到c2上点的距离的最小值，并求此时点p坐标【选修4-5，不等式选讲】23已知函数f（x）=|x+a|+|x2|当a=3时，求不等式f（x）3的解集；f（x）|x4|若的解集包含1，2，求a的取值范围福建省达标校联考2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题本大题共共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知复数z满足：z（1+i）=1i，则复数z等于（）a1bicid1考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接转化复数方程为复数的乘除运算，化简复数为a+bi的形式即可解答：解：复数z满足：z（1+i）=1i，z=i故选：b点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查2（5分）设集合a=2，3，5，7，b=2，4，6，8，全集u=ab，则集合u（ab）中的元素个数为（）a3b4c5d6考点：元素与集合关系的判断 专题：集合分析：已知集合a=4，5，7，9，b=3，4，7，8，9，可求得其全集u=ab，然后根据交集的定义和运算法则进行计算cu（ab）解答：解：集合a=2，3，5，7，b=2，4，6，8，全集u=ab，u=ab=2，3，4，5，6，7，8，ab=2，cu（ab）=3，4，5，6，7，8，共6个元素，故选：d点评：此题考查简单的集合的运算，集合在2015届高考的考查是以基础题为主，题目比较容易，在学习中我们应从基础出发3（5分）若a=sin（），则函数y=tanax的最小周期为（）abc2d4考点：三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的求值分析：利用诱导公式求得a的值，再根据y=atan（x+ ）的周期等于 t=，求得函数y=tanax的最小周期解答：解：a=sin（）=sin=，则函数y=tanax=tan 的最小周期为=2，故选：c点评：本题主要考查诱导公式，三角函数的周期性及其求法，利用了y=atan（x+ ）的周期等于 t=，属于基础题4（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）a2b3c4d5考点：系统抽样方法 专题：计算题；概率与统计分析：求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可解答：解：系统抽样的抽取间隔为=6设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3故选：b点评：本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键5（5分）已知向量=（x1，2），=（2，1），则“x0”是“与夹角为锐角”的（）a必要不充分条件b充分不必要条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义以及向量的数量积的应用，进行判断即可解答：解：若与夹角为锐角，则=（x1，2）（2，1）=2x0，解得x0成立，若与同向共线时，满足，解得x=5，满足x0，但此时夹角为0，不是锐角，故“x0”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选：a点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的数量积的应用是解决本题的关键6（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线与圆（x3）2+y2=9相交于a、b两点，若|ab|=2，则该双曲线的离心率为（）a8b2cd3考点：直线与圆锥曲线的关系 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的渐近线方程，利用圆的半径与半弦长，圆心到直线的距离满足的勾股定理求解即可解答：解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线：bxay=0，圆（x3）2+y2=9相交于a、b两点，圆的圆心（3，0），半径为3，圆心到直线的距离为：2，|ab|=2，可得：解得b=2ac=3a双曲线的离心率为3故选：d点评：本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，双曲线的离心率的求法，考查计算能力7（5分）在如图的程序中所有的输出结果之和为（）a30b16c14d9考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据框图的流程依次计算输出s的值，直到满足条件i7，程序运行终止，所有的输出结果相加可得答案解答：解：由程序框图知：第一次循环s=0+1=1，i=2+1=3，输出s=1；第二次循环s=1+3=4，i=3+2=5，输出s=4；第三次循环s=4+5=9，i=5+2=7，输出s=9；第四次循环s=9+7=16，i=7+2=9，输出s=16满足条件i7，程序运行终止，所有的输出结果之和为1+4+9+16=30故选：a点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算输出s的值是解答本题的关键8（5分）在abc中，角a、b、c所对的边分别为a，b，c，若，且，则下列关系一定不成立的是（）aa=cbb=cc2a=cda2+b2=c2考点：余弦定理 专题：解三角形分析：利用余弦定理表示出cosa，将已知第一个等式代入求出cosa的值，确定出a度数，再利用正弦定理化简第二个等式，求出sinb的值，确定出b的度数，进而求出c的度数，确定出三角形abc形状，即可做出判断解答：解：b2+c2a2=bc，cosa=，a=30，由正弦定理化简b=a，得到sinb=sina=，b=60或120，当b=60时，c=90，此时abc为直角三角形，得到a2+b2=c2，2a=c；当b=120时，c=30，此时abc为等腰三角形，得到a=c，综上，b=c不一定成立，故选：b点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及直角三角形与等腰三角形的性质，熟练掌握定理是解本题的关键9（5分）给定区域d：，令点集t=（x0，y0）d|x0，y0z，（x0，y0）是z=x+y在d上取得最大值或最小值的点，则t中的点共确定不同的直线的条数为（）a4b5c6d7考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义求出对应的最值点，结合直线的性质进行判断即可解答：解：如图，作出不等式组对应的平面区域如图，则使z=x+y取得最小值的点仅有一个（0，1），使z=x+y取得最大值的点有无数个，但属于集合t的只有5个，（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），用这些点可以组成直线的条件为个，故选：c点评：本题主要考查线性规划的应用以及直线条数的确定，利用数形结合求出最优解是解决本题的关键10（5分）定义在r上的奇函数f（x）和定义在x|x0上的偶函数g（x）分别满足f（x）=，g（x）=log2x（x0），若存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，则实数b的取值范围是（）a2，2b，0）（0，c2，2d（，22，+）考点：奇偶性与单调性的综合 专题：函数的性质及应用分析：根据函数的奇偶性作出函数f（x）和g（x）的图象，利用数形结合即可得到结论解答：解：分别作出函数f（x）和g（x）的图象如图，若若存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，则b一定在函数g（x）使两个函数的函数值重合的区间内，函数f（x）的最大值为1，最小值为1，由log2x=1，解得x=2，由log2（x）=1，解得x=2，故b的取值范围是2，2，故选：c点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性结合数形结合是解决本题的关键二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分把答案填在答题卷中的横线上）11（4分）（x2）5的展开式x4的系数为40（用数字作答）考点：二项式定理的应用 专题：计算题；二项式定理分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为4求得r，再代入系数求出结果解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，tr+1=，要求x4的项的系数103r=4，r=2，x4的项的系数是c52（2）2=40故答案为：40点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具12（4分）从如图所示的长方形区域内任取一个点m（x，y），则点m取自阴影部分部分的概率为考点：定积分的简单应用 专题：数形结合分析：本题利用几何概型概率先利用定积分求出图中阴影部分部分的面积，再结合概率计算公式求出阴影部分部分面积与长方形区域的面积之比即可解答：解：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为=x3|=1，所以点m取自阴影部分部分的概率为故答案为：点评：本题考查的定积分的简单应用，解决本题的关键是熟练掌握定积分的几何意义及运算公式简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型13（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是92考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可解答：解：几何体是底面为直角梯形高为4的直四棱柱，s上=s下=；s侧=几何体的表面积为 s=92故答案为：92点评：本题考查三视图求解几何体的表面积的方法，正确判断几何体的形状是解题的关键14（4分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2sin2x1（xr），当x0，时，若函数y=f（x）k有两个零点，则k的取值范围为1k考点：函数的零点 专题：计算题；作图题；三角函数的图像与性质分析：由三角恒变换化简f（x）sin2xcos2x=sin（2x）；从而可知函数f（x）与函数y=k在0，上有两个交点，作函数图象求解解答：解：f（x）=2sinxcosx+2sin2x1=sin2xcos2x=sin（2x）；当x0，时，要使函数y=f（x）k有两个零点，只需使函数f（x）与函数y=k在0，上有两个交点，作函数f（x）=sin（2x），x0，的图象如下，结合图象可得，1k；故答案为：1k点评：本题考查了三角函数的应用及学生作图与用图的能力，属于基础题15（4分）设s为非空数集，若x，ys，都有x+y，xy，xys，则称s为封闭集，下列命题：实数集是封闭集封闭集一定是无限集若s为封闭集，则一定有0s若s，t为封闭集且满足sut，则集合u也是封闭集其中真命题的序号是（把所有真命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：利用封闭集的定义，列举反例，对选项逐一判断即可解答：解：对于，实数集是封闭集，满足封闭集的定义，正确；对于，例如0就是封闭集，不一定是无限集，不正确；对于，若s为封闭集，xs，都有xxs，即0s，则一定有0s正确；对于，例如s=0，u=0，1，t=r，不满足封闭集的定义，所以若s，t为封闭集且满足sut，则集合u也是封闭集，不正确，不正确正确命题为：故答案为：点评：本题考查封闭集的定义的应用，命题的真假的判断，基本知识的理解与应用三、解答题（共5小题，满分66分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（13分）设数列an的前n项和为sn，且sn=2，（1）求数列an的通项公式；（2）设tn=log2a1+log2a2+log2an，求证：2（nn*，n2）考点：数列与不等式的综合 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）依题意，根据根据snsn1=an，可得数列an的通项公式；（2）设bn=log2an，可求bn=n，从而可求tn=log2a1+log2a2+log2an解答：解：（1）当n=1时，a1=s1=1（2分）当n2时，an=snsn1=，此式对n=1也成立an=（5分）（2）证明：设bn=log2an，则bn=1n（7分）bn是首项为0，公差为1的等差数列tn=（10分）=2（1+）=2（1）2（12分）点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式与等差数列的求和公式，属于中档题17（13分）如图，三棱锥pabc中，pb底面abc于b，bca=90，pb=ca=2，点e是pc的中点（1）求证：侧面pac平面pbc；（2）若异面直线ae与pb所成的角为，且，求二面角cabe的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）利用线面垂直的性质可得pbac，利用线面垂直的判定即可得出ac平面pbc，利用面面垂直的判定定理即可证明结论；（2）通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出bc的长度，进而利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角解答：（1）证明：pb平面abc，pbac；bca=90，acbc；又pbbc=b，ac平面pbc；又ac平面pac，面pac面pbc（2）以c为原点，ca、cb所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设bc=m0，则c（0，0，0），a（2，0，0），e（0，1），b（0，m，0），p（0，m，2），由，得，由=，解得m=则，设平面abe的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，则y=，z=1，=（1，1）取平面abc的一个法向量=（0，0，1），=二面角cabe的大小为60点评：本题综合考查了通过建立空间直角坐标系求异面直线的夹角、二面角，线面、面面垂直的判定与性质定理，需要较强的推理能力、计算能力和空间想象能力18（13分）某玩具厂生产甲、乙两种儿童玩具，其质量按测试指示划分：指示大于或等于85为合格品，小于85为次品，现随机抽取这两种玩具个100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指示75，80）80，85）85，90）90，95）95，100） 玩具甲 8 22 30 32 8 玩具乙 7 18 40 29 6（1）试分别估计玩具甲，玩具乙为合格品的概率（2）生产一件玩具甲，若是合格品可盈利80圆，若是次品则亏损15元，生产一件玩具乙，若是合格品可盈利50圆，若是次品则亏损10元，在（1）的前提下，记x为生产1件玩具甲和1件玩具乙所得的总利润，求随机变量x的分布列和数学期望求生产5件玩具乙所获得的利润不少于140元的概率考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：（1）利用离散型的概率公式求解得出玩具甲为合格品的概率为；玩具乙为合格品的概率为（2）确定随机变量x的所有可能取值为130，70，35，25，分别求解相应的概率，列出分布列即可求解数学期望根据题意得出生产5件玩具乙中合格品有n件，则次品有5n件，依题意得50n10（5n）140，n，求解不等式即可解答：解：（1）玩具甲为合格品的概率为=，玩具乙为合格品的概率为=，（2）随机变量x的所有可能取值为130，70，35，25p（x=130）=，p（x=70）=，p（x=35）=，p（x=25）=，所有随机变量x的分布列为： x 130 70 3525 p随机变量x的数学期望为：e（x）=130+70=86.5，设生产5件玩具乙中合格品有n件，则次品有5n件，依题意得50n10（5n）140，n，所有n=4，或n=5，设“生产5件玩具乙所获得的利润不少于140元”为事件a，则p（a）=（）4+（）5=点评：本题考查了综合运用离散型的概率分布知识求解问题，关键是准确求解概率，列出分布列，得出相应的数学期望，也可以转化为不等式求解，综合性较强19（13分）已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且过点（2，）（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形abcd的顶点在椭圆上，且对角线ac、bd过原点o，若kackbd=，（i） 求的最值（ii） 求证：四边形abcd的面积为定值考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，联立即可得到a2、b2、c2；（2）（i）设a（x1，y1），b（x2，y2），设kac=k，由kackbd=，可得把直线ac、bd的方程分别与椭圆的方程联立解得点a，b，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ii）由椭圆的对称性可知s四边形abcd=4saob=2|oa|ob|sinaob，得到=4，代入计算即可证明解答：解：（1）由题意可得，解得，椭圆的标准方程为（2）（i）设a（x1，y1），b（x2，y2），不妨设x10，x20设kac=k，kackbd=，可得直线ac、bd的方程分别为y=kx，联立，解得，=x1x2+y1y2=2，当且仅当时取等号可知：当x10，x20时，有最大值2当x10，x20有最小值2ii）由椭圆的对称性可知s四边形abcd=4saob=2|oa|ob|sinaob=4=4=4=4=128，四边形abcd的面积=为定值点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键20（14分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3（1）求实数a的值；（2）若f（x）kx2对任意x0成立，求实数k的取值范围；（3）当nm1（m，nn*）时，证明：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；证明题；导数的综合应用分析：（1）求出f（x）的导数，由切线的斜率为3，解方程，即可得到a；（2）f（x）kx2对任意x0成立对任意x0成立，令，则问题转化为求g（x）的最大值，运用导数，求得单调区间，得到最大值，令k不小于最大值即可；（3）令，求出导数，判断单调性，即得h（x）是（1，+）上的增函数，由nm1，则h（n）h（m），化简整理，即可得证解答：解：（1）f（x）=ax+xlnx，f（x）=a+lnx+1，又f（x）的图象在点x=e处的切线的斜率为3，f（e）=3，即a+lne+1=3，a=1； （2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，f（x）kx2对任意x0成立对任意x0成立，令，则问题转化为求g（x）的最大值，令g（x）=0，解得x=1，当0x1时，g（x）0，g（x）在（0，1）上是增函数；当x1时，g（x）0，g（x）在（1，+）上是减函数 故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=1，k1即为所求； （3）令，则，由（2）知，x1+lnx（x0），h（x）0，h（x）是（1，+）上的增函数，nm1，h（n）h（m），即，mnlnnnlnnmnlnmmlnm，即mnlnn+mlnmmnlnm+nlnn，lnnmn+lnmmlnmmn+lnnn，ln（mnn）mln（nmm）n，（mnn）m（nmm）n，点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查不等式的证明，运用构造函数，求导数得到单调性，再由单调性证明，属于中档题【选修4-2：矩阵与变量】21（7分）设矩阵a=求矩阵a的逆矩阵a1若曲线c在矩阵a1d的作用下变为曲线c：x2y2=1，求曲线c的方程考点：逆变换与逆矩阵 专题：选作题；矩阵和变换分析：求出矩阵a=的行列式为=1，即可求出矩阵a的逆矩阵a1设曲线c