人教A版必修一 1.3.1 第2课时　函数的最值 学案.doc

第2课时函数的最值学习目标1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.2.会求简单函数的最大值或最小值 : 中 教 知识点函数的最大(小)值及几何意义最值条件几何意义最大值对于任意的xi，都有_，存在x0i，使得f(x0)m函数yf(x)图象上最高点的纵坐标最小值对于任意的xi，都有_，存在x0i，使得f(x0)m函数yf(x)图象上最低点的纵坐标思考任何函数都有最大(小)值吗？ ste p.c o m来 源: step 题型一利用函数的图象求最值例1已知函数f(x)求f(x)的最大值、最小值反思与感悟1.分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大值、最小值2如果函数的图象容易作出，画出分段函数的图象，观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值、最小值跟踪训练1(1)函数f(x)的部分图象如图所示，则该函数在2,2上的最小值、最大值分别是()af(2)，f(3) b0,2 cf(2)，2 df(2)，2(2)画出函数f(x)的图象，并写出函数的单调区间及函数的最小值 :中教 题型二利用单调性求函数的最值例2求函数f(x)在区间2,5上的最大值与最小值来 源 :中国教育出版 来 源 : 中教 反思与感悟1.当函数图象不易作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值2函数的最值与单调性的关系：(1)若函数在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；(2)若函数在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a)；(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值来源:中 教 跟踪训练2已知函数f(x)x.(1)求证：f(x)在1，)上是增函数；(2)求f(x)在1,4上的最大值及最小值题型三闭区间上二次函数的最值问题例3已知函数f(x)x2ax3，x1,1(1)若a1，求函数f(x)的最值；(2)若ar，求函数f(x)的最小值中国 教 育出版 反思与感悟1.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且它们只能在区间的端点或二次函数图象的对称轴上取到2解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为ya(xh)2 的形式，再依a的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴xh得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论3对于二次函数f(x)a(xh)2 (a0)在区间p，q上的最值问题可作如下讨论：(1)对称轴xh在区间p，q的左侧，即当hp时，f(x)maxf(q)，f(x)minf(p)(2)对称轴xh在区间p，q之间，即当phq时，f(x)minf(h) .当ph时，f(x)maxf(q)；当h时，f(x)maxf(p)f(q)；当q时，f(x)maxf(p)，f(x)minf(q)当a0恒成立，试求实数a的取值范围解(1)当a时，f(x)x2.设1x1x2，则f(x2)f(x1)(x2x1)(1)，1x10,2x1x22， st ep 00，f(x2)f(x1)0，f(x1)0恒成立 中 国教育出 版 x22xa0恒成立设yx22xa，x1，)，则函数yx22xa(x1)2a1在区间1，)上是增函数所以当x1时，y取最小值，即ymin3a，于是当且仅当ymin3a0时，函数f(x)0恒成立，中国教 育出版 故a3.反思与感悟在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使用以下结论：af(x)恒成立af(x)maxaf(x)恒成立af(x)min.跟踪训练5设f(x)x24x3，不等式f(x)a对xr恒成立，则实数a的取值范围是_1.函数f(x)(2x2)的图象如图所示，则函数的最大值和最小值分别为()af(2)，f(2) bf()，f(1) cf()，f() df()，f(0)2已知函数f(x)在区间1,2上的最大值为a，最小值为b，则ab等于()a. b c1 d13函数yx在1,2上的最大值为()a0 b. c2 d34f(x)x22x1，x2,2的最大值是_5记mina，b若f(x)minx2,10x(x0)，则f(x)的最大值为_w ww. s tep .co m1.函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素(2)若函数f(x)在闭区间a，b上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)2二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得答案精析知识梳理f(x)mf(x)m :中国教育出版 思考不一定函数的最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素若仅有对定义域内的任意实数x，都有f(x)m，但m不在函数值域内，则m不能称为函数的最值例如函数y(0x1)，对于任意x(0,1)，0y1成立，由于0,1不在值域(0,1)内，因此0,1都不是这个函数的最值，这个函数既没有最大值也没有最小值题型探究例1解作出函数f(x)的图象(如图)由图象可知，当x1时，f(x)取最大值为f(1)1.当x0时，f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.跟踪训练1(1)c由图象可知，x2时，f(x)取得最小值为f(2)1，x1时，f(x)取得最大值为f(1)2.(2)解f(x)的图象如图所示，f(x)的单调递增区间是(，0)和0，)，函数的最小值为f(0)1.例2解任取2x1x25，中 国 教 育出版 则f(x1)，f(x2)，f(x2)f(x1)，2x1x25，x1x20，x110，f(x2)f(x1)0.f(x2)f(x1)www . s t ep.c omf(x)在区间2,5上是单调减函数f(x)maxf(2)2，f(x)minf(5).跟踪训练2(1)证明设1x1x2，w ww. s te p 则f(x1)f(x2)(x1)(x2)(x1x2).1x1x2，x1x20，x1x21，x1x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)在1，)上是增函数(2)解由(1)可知，f(x)在1,4上递增，当x1时，f(x)minf(1)2，当x4时，f(x)maxf(4).综上所述，f(x)在1,4上的最大值是，最小值是2.例3解(1)当a1时，f(x)x2x3(x)2，w ww. step.co m故函数在1，上单调递减，在，1上单调递增，又f(1)3，f()，f(1)5，函数f(x)的最大值为5，最小值为.中 国教育出版 (2)f(x)的对称轴为x.www. ste p 当2时，函数f(x)x2ax3在1,1上单调递增，f(x)minf(1)4a.当11，即2a2时，f(x)minf()33.当1，即a2时，f(x)x2ax3在1,1上单调递减，f(x)minf(1)4a.www. s tep.c o m综上可知，f(x)min跟踪训练3解(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，故当x1时，f(x)的最小值为1.当x5时，f(x)的最大值为37.(2)函数f(x)(xa)22a2图象的对称轴为xa.f(x)在5,5上是单调函数，故a5，或a5.即实数a的取值范围是a|a5，或a5例4解(1)设月产量为x台，则总成本为20 000100x，从而f(x)(2)当0x400时，f(x)(x300)225 000；当x300时，f(x)max25 000，当x400时，f(x)60 000100x是减函数，f(x)60 00010040025 000.当x300时 ，f(x)max25 000.来 源 : 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元跟踪训练4解设售价为