人教A版选修45 1.1.2基本不等式 教案.docx

1.1.2 基本不等式一、教学目标1了解两个正数的算术平均数与几何平均数2理解定理1和定理2(基本不等式)3掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题二、课时安排1课时三、教学重点理解定理1和定理2(基本不等式)四、教学难点掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题五、教学过程（一）导入新课已知lg xlg y2，则的最小值为_【解析】lg xlg y2，x0，y0，lg(xy)2，xy102，2，当且仅当xy10时，等号成立【答案】（二）讲授新课教材整理1两个定理及算数平均与几何平均1两个定理定理内容等号成立的条件定理1a2b2 (a，br)当且仅当 时，等号成立定理2 (a，b0)当且仅当 时，等号成立2.算术平均与几何平均如果a，b都是正数，我们称 为a，b的算术平均， 为a，b的几何平均教材整理2利用基本不等式求最值已知x，y为正数，xys，xyp，则(1)如果p是 ，那么当且仅当 时，s取得最小值 ；(2)如果s是 ，那么当且仅当xy时，p取得最大值 .（三）重难点精讲题型一、利用基本不等式证明不等式例1已知a，b，c都是正数，求证：abc.【精彩点拨】观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系【自主解答】a0，b0，c0，b2 2a，同理：c2b，a2c.三式相加得：(bca)2(abc)，abc.规律总结：1首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明2当且仅当abc时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“”号取不到，则三式相加所得的式子中“”号取不到再练一题1已知x，y，z均为正数，求证：.【证明】x，y，z都是正数，.同理可得，.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得.题型二、利用基本不等式求最值例2设x，y，z均是正数，x2y3z0，则的最小值为_【精彩点拨】由条件表示y，代入到中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等号取到的条件【自主解答】由x2y3z0，得y，3.当且仅当xy3z时，取得最小值3.【答案】3规律总结：1本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题2使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：各项均为正数；其和或积为定值；等号必须成立，即“一正、二定、三相等”在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，决定着成败的关键再练一题2已知x0，y0，且1，试求xy的最小值.【解】x0，y0，且1，xy(xy)1021016.当且仅当，即y3x时等号成立又1，当x4，y12时，(xy)min16.题型三、基本不等式的实际应用例3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3x与t1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？【精彩点拨】(1)两个基本关系式是解答关键，即利润销售收入生产成本促销费；生产成本固定费用生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式利用基本不等式求最值【自主解答】(1)由题意可设3x(k0)，将t0，x1代入，得k2.x3.当年生产x万件时，年生产成本为32x3323.当销售x万件时，年销售收入为150%t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，得年利润y(t0)(2)y5050250242，当且仅当，即t7时，等号成立，ymax42，当促销费定在7万元时，年利润最大规律总结：再练一题3如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从a孔流入，经沉淀后从b孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m2，问当a，b各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(a，b孔的面积忽略不计)?【解】法一设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y，其中k为比例系数(k0)根据题意，得 22b2ab2a60(a0，b0)，b(由a0，b0，可得a0)要求y的最小值必须先求出ab的最大值依题设4b2ab2a60，即aba2b30(a0，b0)a2b2(当且仅当a2b时取“”)，ab230，可解得00，lg x2；任意xr，ax2；任意x，tan x2；任意xr，sin x2.其中真命题有()a b c d.【精彩点拨】按基本不等式成立的条件进行判定【自主解答】在中，lg xr，sin x1,1，不能确定lg x0与sin x0.因此是假命题；在中，ax0，ax22，当且仅当x0时，取等号，则是真命题；在中，当x时，tan x0，有tan x2，且x时取等号，是真命题【答案】c规律总结：1本题主要涉及基本不等式成立的条件及取等号的条件在定理1和定理2中，“ab”是等号成立的充要条件但两个定理有区别又有联系：(1)是a2b22ab的特例，但二者适用范围不同，前者要求a，b均为正数，后者只要求a，br；(2)a，b大于0是的充分不必要条件；a，b为实数是a2b22ab的充要条件2当ba0时，有变形不等式a b.再练一题4若a，br，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()aa2b22ab bab2c. d.2【解析】a选项中，当ab时，a2b22ab，则排除a；当a0，b0时，ab02，00，则0，0，22，当且仅当ab时取“”，所以选d.【答案】d（四）归纳小结基本不等式（五）随堂检测1下列结论中不正确的是()aa0时，a2 b.2ca2b22ab d.a2b2【解析】选项a，c显然正确；选项d中，2(a2b2)(ab)2a2b22ab0，a2b2成立；而选项b中，2不成立，因为若ab0，则不满足不等式成立的条件【答案】b2下列各式中，最小值等于2的是()a. b.ctan d.2x2x【解析】2x0,2x0，2x2x22，当且仅当2x2x，即x0时，等号成立故选d.【答案】d3已知1(x0，y0)，则xy的最小值是()a15 b6 c60 d