浅谈总结高中数学解题方法与规律的途径(塘厦中学张永伟).doc

浅谈总结高中数学解题方法与规律的途径塘厦中学 张永伟【摘要】 本文通过从课本一些公式的推导过程中、从课内外一些习题中、从一些高考题中、从一些竞赛题中四个方面，主要以例题的形式来阐述总结高中数学解题方法与规律的途径.【关键词】 总结；高中数学；解题方法；解题规律；途径1 研究背景与问题提出对于高中数学来说，正确合理的解题方法不仅能够帮助学生顺利地将数学题目一一解答出来，同时也有助于学生自主学习能力、思维能力与创新能力的培养，因此可以说，解题方法对学好高中数学是至关重要的.抽象概括和归纳总结能力是普通高中课程标准要求学生掌握的基本能力，考纲1中指出抽象概括和归纳总结能力是对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括并归纳总结出一些结论，而且能将其应用于解决问题.然而从哪些方面总结高中数学解题方法与规律呢？这一直是困扰学生的一大难题.基于这个问题来探究一下总结高中数学解题方法与规律的途径.2 总结高中数学解题方法与规律的途径2.1 从课本一些公式的推导过程中总结解题方法与规律在课本2中，等差数列及等比数列的通项公式和前n项和公式的推导过程蕴含着丰富的数学方法与规律.在解某些数列题时我们会潜移默化地使用这些数学方法与规律，那么在学习课本知识时，就应该总结一些求数列通项公式和求数列前n项和等类型题目的方法与规律.2.1.1 从等差数列通项公式的推导过程中总结出求数列通项公式的一种方法累加法等差数列通项公式的推导过程是：根据等差数列的定义得到递推关系，当时，我们可得到个等式：，把这个等式两边分别相加整理得：，并且当时上式也成立，故等差数列的通项公式为.从等差数列通项公式的推导过程我们可以总结出：已知数列首项，且有递推关系，则可用“累加法”求数列通项公式.2. 1.2 从等比数列通项公式的推导过程中总结出求数列通项公式的一种方法累乘法等比数列通项公式的推导过程是：根据等比数列的定义得到递推关系为：，当时，我们可得到个等式：，把这个等式两边分别相乘得：，并且当时上式也成立，故等比数列的通项公式为.从等比数列通项公式的推导过程我们可以总结出：已知，且，可用“累乘法”求.2. 1.3 从课本等差数列前n项和公式的推导过程中总结出求数列前n项和的一种方法倒序相加法等差数列的前n项和公式的推导过程是：由，得，故.从等差数列前n项和公式的推导过程我们可以总结出求数列前n项和的一种方法倒序相加法：如果求和数列的首末两项的和与首末两项等距离的两项的和相等，可采用倒序相加法.2. 1.4 从课本等比数列前n项和公式的推导过程中总结出求数列前n项和的一种方法错位相减法等比数列的前n项和公式的推导过程是： 两边同时乘以，得 两式相减，得 故当时，.从等比数列前n项和公式的推导过程我们可以总结出求数列前n项和的一种方法错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列（公比不为1）对应项乘积组成，可采用错位相减法.即对形如的数列，其中是等差数列，而是等比数列（公比不为1），则可在求和等式两边同乘数列的公比，然后两等式错位相减.2.2 从课内外一些习题中总结解题方法与规律下面以一道求三角函数的最值题为例来总结一类求三角函数最值问题的方法与规律.例2.1 求函数的最小值.解法1（利用三角函数有界性求解）由得：，根据辅助角公式得：，由得：，从而，又由得：.假设，则，从而.故当时，函数的最小值为.总结：这个函数式里既含，又有，关键是利用辅助角公式，转化为只含或的表达式才能利用三角函数的有界性求解.解法2（利用基本不等式求解），当且仅当，即时等号成立，此时.故当时，函数的最小值为.总结：这个函数式里既含，又有，关键是利用万能公式和，转化为的形式，再利用基本不等式求解.解法3（利用判别式求解）由得：，两边平方整理得：把上式看作关于的一元二次函数，则有：，又由得：，从而，假设，则，从而，故当时，函数的最小值为.总结：这个函数式里既含，又有，关键是利用关系式，转化为关于或的一元二次方程，再利用判别式得到的不等式求解.解法4（利用导数求解）由得：，则由得：，由得：，又由当时，则在上单调递减，当时，则在上单调递增，得：当时，取最小值，故当时，函数的最小值为.总结：利用导数求函数的最值，关键是会求函数导数以及判断这些稳定点（即导数为0得到的方程根）是极大值点还是极小值点，最后再确定最大值和最小值.解法5（利用数形结合求解）要求的最小值，可先考虑的最小值.而可以看作点和点所成直线的斜率，由得：点在轴上侧的上半单位圆周上，从而可先求点P和轴上半单位圆周上动点Q所成斜率的最小值，而当PQ和上半单位圆周相切时斜率最小，此时，则的最小值为.故函数的最小值为.总结：关键是利用数形结合的思想理解表示的几何意义：点和点所组成直线的斜率，以及点是单位圆周上的点.其实这个题可以推广到和类型的题，以及更一般的和类型题，这类型题都可以利用三角函数有界性、导数或数形结合来求解，而能否运用基本不等式和判别式法求解要具体问题具体分析.2.3 从一些高考题中总结解题方法与规律下面以2012年广东高考理科数学试卷第18题为例来总结求二面角3大小的方法与规律.例2.2 如右图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面.（）证明：平面；（）若，求二面角的正切值.解：（）由平面，平面，得.又由平面，平面，得.而，平面，平面，故平面.（）由（）可知平面，而平面，则，而为矩形，所以为正方形，于是.设与交于点，连接.下面用四种方法分别来求二面角大小.方法一：（定义法）根据二面角的平面角定义，在棱上找一点，过此点分别在两个半平面内作棱的垂线，两条垂线所成的角即为二面角的平面角.解法一：因为平面，平面，平面，所以，故就是二面角的平面角.由（）知面，平面，则，所以是直角三角形.由可得，而，所以，而，所以，于是，而，故二面角的正切值为.总结：用定义法求二面角关键是要在棱上找到一个恰当的点（常见的取点方法为找垂足或者取中点），此法一般是在题目没有明显垂直关系时运用.方法二：（三垂线法）根据三垂线定理及其逆定理，过一平面内一点作另一平面的垂线（垂足为），过此点或垂足作棱的垂线（垂足为），连接或，则即为二面角的平面角.解法二：由平面，平面，得.由（）可知平面，根据三垂线定理的逆定理，得：就是二面角的平面角.随后求解同解法一.总结：用三垂线法求二面角是最典型也是最常用的方法，如果题目有比较明显的垂直关系，运用此法往往比较凑效.方法三：（射影法）当容易求出一个半平面上的部分图形在另外一个半平面上的射影面积和它自身面积时，根据两个面积比就是二面角的余弦值，可得到二面角的大小.解法三：由（）可知平面，则在平面中的射影为，由平面，平面，得，由，得.由平面，平面，得；又由底面为矩形，得；由，得，又由平面，得,从而.由底面为正方形，得，由平面，平面，得，则.则二面角的余弦值为，故二面角的正切值为.总结：用射影法求二面角不但不需要找二面角的平面角，只要算出两个平面中部分图形的面积即可，而且不局限于三角形，还可以是任意的平面多边形，因此省去了找二面角的平面角这繁琐的一步，特别是在棱不出现的情况下，考虑此法往往有意想不到的解题效果，然而此法是在两个平面图形面积容易求出时才能运用.方法四：（向量法）建立空间直角坐标系，利用待定系数法分别求出两个半平面的法向量和，利用公式，通过求法向量夹角来确定二面角的大小. 解法四：以点为空间坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.则、，则，.设平面的一个法向量为，则，从而. 令，得；由（）可知平面，则平面的一个法向量为.则二面角的余弦值为，显然二面角的平面角为锐角，故二面角的正切值为.总结：用向量法求二面角避开了高度抽象的思维转换和添加辅助线带来的困难，它是运用代数方法通过坐标的运算来解决几何问题，是近几年高考的一大亮点.2.4 从一些竞赛题中总结解题方法与规律下面以两道数学竞赛题为例来总结用柯西不等式4求一些最值问题的方法与规律.例2.3 若，则的最小值为 .（第20届全国希望杯高二数学邀请赛 第二试试题）解：由柯西不等式，得.则 ，特别当时，故的最小值为.例2.4 求函数的最大值.（2009年全国高中数学联合竞赛题）解：由柯西不等式得：则，又由柯西不等式成立的条件，得，解得，故当时等号成立，故函数的最大值为.总结： 求最值问题是数学竞赛中常考的题型，有些最值问题，特别是带有约束条件的最值问题，运用柯西不等式求解比较方便，其中柯西不等式是指对任意的和，有，其中当且仅当或存在一个数，使得时等号成立.3 结束语高中数学具有知识点多和逻辑性强的特点，学生在数学学习过程中感觉很难，特别是在考试中，能否及时采用正确合理的解题方法，是关系到学生能否在较短时间内正确解答数学题目的关键所在.学生要想学好数学，需要通过多个途径对学过的知识和题目进行总结和归纳，多反思，多总结，这样才能触类旁通和举一反三.【参考文献】1广东省教育考试院