北京市西城区2017-2018学年高二第一学期期末考试-数学理.pdf

北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末试卷 高二数学 理科 2018 1 试卷满分 试卷满分 150 分分考试时间 考试时间 120 分钟分钟 题号题号一一二二 三三 本卷总分本卷总分 151617181920 分数分数 一一 选择题选择题 本大题共本大题共 8 小题小题 每小题每小题 5 分分 共共 40 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合只有一项是符合 要求的要求的 1 直线30 xy 的倾斜角为 A 30 B 45 C 60 D 135 2 命题 对任意3x 都有ln1x 的否定是 A 存在3x 使得ln1x B 对任意3x 都有ln1x C 存在3x 使得ln1x D 对任意3x 都有ln1x 3 双曲线 22 1xy 的焦点到其渐近线的距离为 A 1 B 2 C 2 D 2 2 4 设 是两个不同的平面 a b c是三条不同的直线 A 若ab bc 则 a c B 若 a b 则 a b C 若ab a 则 b D 若a a 则 5 0nm 是 方程 22 1 xy mn 表示的曲线为椭圆 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 设 是两个不同的平面 l是一条直线 若 l l m 则 A l与m平行 C l与m异面 B l与m相交 D 以上三个答案均有可能 7 设O为坐标原点 P是以F为焦点的抛物线 2 2 0 ypx p 上任意一点 M是线段PF 的中点 则直线OM的斜率的最大值为 A 2 2 B 1 C 2 D 2 8 设 为空间中的一个平面 记正方体 1111 ABCDABC D 的八个顶点中到 的距离为 0 d d 的点的个数为m m的所有可能取值构成的集合为M 则有 A 4 M 6M B 5M 6M C 4M 6M D 5M 6M 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 9 命题 若 22 0ab 则ab 的逆否命题为 10 经过点 2 1 M且与直线380 xy 垂直的直线方程为 11 在ABC 中 3AB 4BC ABBC 以BC所在的直 线为轴将ABC 旋转一周 则旋转所得圆锥的侧面积为 12 若双曲线C的一个焦点在直线43 20 0lxy 上 一条渐近 线与l平行 且双曲线C的焦点在x轴上 则C的标准方程 为 离心率为 13 一个四棱锥的三视图如右图所示 那么在这个四棱锥的四个 侧面三角形中 有 个直角三角形 14 在平面直角坐标系中 曲线C是由到两个定点 1 0 A 和点 1 0 B 的距离之积等于 2的所有点 组成的 对于曲线C 有下列四个结论 1曲线C是轴对称图形 2曲线C是中心对称图形 侧 左 视图正 主 视图 俯视图 22 111 1 1 3曲线C上所有的点都在单位圆 22 1xy 内 4曲线C上所有的点的纵坐标 1 1 2 2 y 其中 所有正确结论的序号是 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 80 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 13 分 如图 在正三棱柱 111 ABCA BC 中 D为AB的中点 求证 CD 平面 11 ABB A 求证 1 BC平面 1 ACD 16 本小题满分 13 分 已知圆 22 680Cxyxym 其中m R 如果圆C与圆 22 1xy 相外切 求m的值 如果直线30 xy 与圆C相交所得的弦长为2 7 求m的值 17 本小题满分 13 分 如图 在四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 AA 平面ABCD AB CD ABAD 1ADCD 1 2AAAB E为 1 AA的中点 求四棱锥 1 CAEB B 的体积 设点M在线段 1 C E上 且直线AM与平面 11 BCC B 所成角的正弦值为 1 3 求线段AM的长度 判断线段 1 BC上是否存在一点N 使得 NE CD 结论不要求证明 B AC A1C1 B1 D AE CC1 BB1 DD1 A1 18 本小题满分 14 分 设F为抛物线 2 2Cyx 的焦点 A B是抛物线C上的两个动点 O为坐标原点 若直线AB经过焦点F 且斜率为 2 求 AB 当OAOB 时 证明 求OA OB 的最小值 19 本小题满分 14 分 如图 在四面体ABCD 中 AD 平面BCD BCCD 2BCCDAD M为AC的中点 求证 BCMD 求二面角BMDC 的余弦值 求四面体ABCD 的外接球的表面积 注 如果一个多面体的顶点都在球面上 那么常把该球称为多面体的外接球 球的表面积 2 4 SR 20 本小题满分 14 分 C BD A M 已 知 椭 圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的 一 个 焦 点 为 5 0 离 心 率 为 5 3 点P为 圆 22 13M xy 上任意一点 O为坐标原点 求椭圆C的标准方程 记线段OP与椭圆C交点为Q 求 PQ的取值范围 设直线l经过点P且与椭圆C相切 l与圆M相交于另一点A 点A关于原点O的对称 点为B 试判断直线PB与椭圆C的位置关系 并证明你的结论 北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末试卷 高二数学 理科 参考答案及评分标准 2018 1 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分分 1 D2 C3 A4 D5 A6 A7 B8 D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分分 9 若ab 则 22 0ab 10 350 xy 11 15 12 22 1 916 xy 5 3 13 414 1 2 注 第 12 题第一空 3 分 第二空 2 分 第 14 题多选 少选或错选均不得分 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 80 分分 15 本小题满分 13 分 证明证明 因为正三棱柱 111 ABCA BC D为AB的中点 B AC A1C1 B1 D O 所以CDAB 1 AA 底面ABC 1 分 又因为CD 底面ABC 所以 1 AACD 3 分 又因为 1 AAABA AB 平面 11 ABB A 1 AA 平面 11 ABB A 所以CD 平面 11 ABB A 6 分 证明证明 如图 连接 1 AC 设 11 ACACO 连接OD 7 分 由正三棱柱 111 ABCA BC 得 1 AOOC 又因为在 1 ABC 中 ADDB 所以 1 OD BC 10 分 又因为 1 BC 平面 1 ACD OD 平面 1 ACD 所以 1 BC平面 1 ACD 13 分 16 本小题满分 13 分 解解 将圆C的方程配方 得 22 3 4 25xym 1 分 所以圆C的圆心为 3 4 半径25 25 rm m 3 分 因为圆C与圆 22 1xy 相外切 所以两圆的圆心距等于其半径和 即 22 30 40 125m 5 分 解得9m 7 分 解解 圆C的圆心到直线30 xy 的距离 343 2 2 2 d 9 分 因为直线30 xy 与圆C相交所得的弦长为2 7 所以由垂径定理 可得 222 25 2 2 7 rm 11 分 解得10m 13 分 17 本小题满分 13 分 解解 因为 1 AA 平面ABCD AD 平面ABCD AE A1 CC1 BB1 DD1 x y z 所以 1 AAAD 又因为ABAD 1 AAABA 所以AD 平面 11 ABB A 1 分 因为 AB CD 所以四棱锥 1 CAEB B 的体积 11 1 3 C AEB BAEB B VSAD 四边形 2 分 11 12 2 1 1 32 4 分 解解 由 1 AA 平面ABCD ABAD 可得AD 1 AA AB两两垂直 所以分别以AD 1 AA AB所在直线为x轴 y轴 z轴 如图建立空间直角坐标系 5 分 则 0 0 0 A 0 0 2 B 1 0 1 C 0 1 0 E 1 1 2 1 C 所以 0 1 0 AE 1 1 1 1 EC 1 0 1 BC 1 0 2 0 CC 设平面 11 BCC B的一个法向量为 x y z m 由0BC m 1 0CC m 得 0 20 xz y 令1x 得 1 0 1 m 7 分 设 1 EMEC 其中10 则 1 AMAEEM 记直线AM与平面 11 BCC B所成角为 则 2 21 sin cos 3 3212 AM m 解得 1 5 舍 或 1 3 9 分 所以 1 4 1 3 3 3 AM 故线段AM的长度为 2AM 10 分 答答 对于线段 1 BC上任意一点N 直线NE与直线CD都不平行 13 分 18 本小题满分 13 分 解解 由题意 得 1 0 2 F 则直线AB的方程为 1 2 2 yx 2 分 由 2 2 1 2 2 yx yx 消去y 得 2 4610 xx 3 分 设点 11 A x y 22 B xy 则0 且 12 3 2 xx 12 1 4 x x 4 分 所以 2 121212 5 5 5 4 2 ABxxxxx x 6 分 解解 因为 A B是抛物线C上的两点 所以设 2 2 t At 2 2 s Bs 由OAOB 得 2 0 4 st stOA OB 8 分 所以4st 即 4 s t 则点B的坐标为 2 84 B tt 10 分 所以 4 22 422 641664 4 3248 t OAOBtt ttt 12 分 当且仅当2t 时 等号成立 所以 OAOB 的最小值为8 13 分 19 本小题满分 14 分 证明证明 因为AD 平面BCD BC 平面BCD 所以ADBC 1 分 又因为BCCD ADCDD 所以BC 平面ACD 3 分 又因为MD 平面ACD 所以BCMD 4 分 解解 如图 设BD的中点为O AB的中点为E 连接OC OE 因为AD 平面BCD 所以EO 平面BCD C Dy A M B x z O E 由BCCD 且BCCD 可得OC OD OE两两垂直 所以分别以OC OD OE所 在直线为x轴 y轴 z轴 如图建立空间直角坐标系 5 分 则 0 2 2 A 0 2 0 B 2 0 0 C 0 2 0 D 22 1 22 M 所以 22 1 22 DM 0 2 0 2BD 2 2 0 CD 设平面BMD的一个法向量为 x y z m 由0DM m 0BD m 得 2220 2 20 xyz y 令 2x 得 2 0 1 m 7 分 设平面CMD的一个法向量为 111 x y z n 由0DM n 0CD n 得 111 11 2220 220 xyz xy 令 1 1x 得 1 1 0 n 8 分 所以 3 cos 3 m n m n mn 由图可知 二面角BMDC 的余弦值为 3 3 10 分 解解 根据 记AB的中点为E 由题意 ABD 为直角三角形 斜边2 3AB 所以3EAEBED 12 分 由 得BC 平面ACD 所以BCAC 在直角ABC 中 E为斜边AB的中点 所以EAEBEC 所以E为四面体ABCD 的外接球的球心 故四面体ABCD 的外接球的表面积 2 4 12 SEA 14 分 20 本小题满分 14 分 解解 由题意 知5c 5 3 c a 1 分 所以3a 22 2bac 2 分 所以椭圆C的标准方程为 22 1 94 xy 3 分 解解 由题意 得 13 PQOPOQOQ 4 分 设 11 Q xy 则 22 11 1 94 xy 所以 22222 11111 45 4 4 99 OQxyxxx 5 分 因为 1 3 3 x 所以当 1 0 x 时 min 2OQ 当 1 3x 时 max 3OQ 6 分 所以 133 132 PQ 7 分 结论结论 直线PB与椭圆C相切 8 分 证明证明 由题意 点B在圆M上 且线段AB为圆M的直径 所以PAPB 当直线PAx 轴时 易得直线PA的方程为3x 由题意 得直线PB的方程为2y 显然直线PB与椭圆C相切 同理当直线 PAx轴时 直线PB也与椭圆C相切 9 分 当直线PA与x轴既不平行也不垂直时 设点 00 P xy 直线PA的斜率为k 则0k 直线PB的斜率 1 k 所以直线PA 00 yyk xx 直线PB 00 1 yyxx k 10 分 由 00 22 1 94 yyk xx xy 消去y 得 222 0000 94 18 9 360kxykxkxykx 因为直线PA与椭圆C相切 所以 222 10000 18 4 94 9 36 0ykx kkykx 整理 得 222 10000 144 9 24 0 xkx y ky 1 12 分 同理 由直线PB与椭圆C的方程联立 得 22 20