考研数学二模拟试题2及答案解析.pdf

1 数学二模拟试题二数学二模拟试题二 校区学管师班级姓名分数 一 选择题 一 选择题 1 81 8 小题小题 每小题每小题 4 4 分分 共共 3232 分分 下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中 只有一只有一 项符合题目要求项符合题目要求 把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1 1 设函数 2 1 lim 1 nx nx n xe f x e 则点0 x 为 f x的 A 连续点 B 跳跃间断点 C 可去间断点 D 无穷间断点 2 2 设 f x是连续且单调增加的奇函数 0 2 d x F xux f xuu 则 F x是 A 单调增加的奇函数 B 单调减少的奇函数 C 单调增加的偶函数 D 单调减少的偶函数 2 3 3 设函数 f x具有一阶连续导数 且 2 0 1 lim3 x x ef x xx 则 A 5 0 1 0 2 f f B 5 0 1 0 2 f f C 5 0 1 0 2 f f D 5 0 1 0 2 f f 4 4 设 2 0 cosIx dx 2 sin 0 cos x Jxedx 则 A 0 0IJ B 0 0IJ C 0 0IJ D 0 0IJ 3 5 5 设函数 2 22 42 22 0 00 x y xy xy f x y xy 则 f x y在点 0 0 处 A 连续 但偏导数不存在 B 不连续 但偏导数存在 C 连续且偏导数存在 D 不连续且偏导数不存在 6 6 将极坐标系下的二次积分 3 1 4 00 d 1cos sin frrrdr 转化为直角坐标系下的二 次积分为 A 22 0111 2 00 2 xx x dxf x y dydxf x y dy B 22 11 1 21 1 2 110 2 xx x dxf x y dydxf x y dy C 22 2 2 111 2 2 01 2 yy yy dyf x y dxdyf x y dx D 22 2 2 11111 2 2 0111 2 yy yy dyf x y dxdyf x y dx 4 7 7 设 A B为三阶非零矩阵 满足ABO 其中 2 111 212 2 Baaa aaa 则 A 2a 时 必有 1R A B 2a 时 必有 2R A C 1a 时 必有 1R A D 1a 时 必有 2R A 8 8 已知二次型 22 123121323 24f x x xxxax xx x 的秩为2 则该二次型的正负惯性指 数分别为 A 2 0 B 0 2 C 1 1 D 依赖于a的取值 5 9 9 设 f x为可导的偶函数 2 0 cos lim2 x fx x 则曲线 yf x 在点 1 1 f 处的法 线方程为 1010 3 2 cos sin 1 cos xx dx x 6 1111 4 333 3 1 lim arctan 123 n n n 1212 微分方程 2 42cosyyx 的特解形式为 7 1313 设函数 zz x y 由方程 xazybz 确定 其中 可导 a b为常数 且 0ab 则 zz ab xy 1414 设 12 2 1 30 对任意的正整数n 矩阵 T nE 8 1515 本题满分本题满分 1010 分分 设01x 证明 1 2 21 ln 1 1 xx x x 2 1 1 1 1 4 x x x x 1616 本题满分本题满分 1010 分分 将yoz坐标面上的曲线段 0 012 yf zf zz 绕z轴旋转一周所得旋转曲面 与xoy坐标面围成一个无盖容器 已知它的底面积为 2 16 m 如果以 3 3 ms的速度 把水注入容器内 在高度为 z m的位置 水的上表面积以 2 3 1 ms z 的速度增大 求 1 曲线 yf z 的方程 2 若将容器内水装满 需要多少时间 9 1717 本题满分本题满分 1010 分分 已知平面上两点 4 6 6 4 AB C为椭圆 22 1 520 xy 上的点 求ABC 面积的最大值 和最小值 18 18 本题满分本题满分 1010 分分 设区域 01 02Dxy 计算 2 1 1 d xy D Iyexy 10 19 19 本题满分本题满分 1010 分分 设函数 yy x 满足 2 1 2 x yxox xx 且 1 1y 计算 2 1 d y xx 20 20 本题满分本题满分 1111 分分 设曲线L的参数方程 sin 02 1 cos xtt t yt 求 1 曲线L的参数方程确定的函数 yy x 的定义域 2 曲线L与x轴围成的平面图形绕y轴旋转一周而形成的旋转体体积 y V 3 设曲线L的形心坐标为 x y 求 y 11 21 21 本题满分本题满分 1111 分分 设函数 f x在 0 1 上具有二阶连续导数 且 0 1 0ff 证明 1 至少存在一点 0 1 使得 1 2 0 1 24 f fff 2 至少存在一点 0 1 使得 1 0 4 f ff 22 22 本题满分本题满分 1111 分分 已知 123 为三个三维列向量 112233 TTT A 1 证明存在矩阵B使得 T AB B 2 当 123 线性无关时 证明 3R A 3 当 123 123 2 2 4 314 时 求0Ax 的通解 12 23 23 本题满分本题满分 1111 分分 设A是二次型 123 f x x x的矩阵 1R A 齐次线性方程组 2 0EA x 的通解为 1 xk 其中 1 1 1 1 T k为任意实数 1 求解齐次线性方程组0Ax 2 求二次型 123 f x x x 13 数学二模拟试题二数学二模拟试题二参考答案参考答案 校区学管师班级姓名分数 一 选择题 一 选择题 1 81 8 小题小题 每小题每小题 4 4 分分 共共 3232 分分 下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中 只有一只有一 项符合题目要求项符合题目要求 把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1 1 设函数 2 1 lim 1 nx nx n xe f x e 则点0 x 为 f x的 A 连续点 B 跳跃间断点 C 可去间断点 D 无穷间断点 解 解 应选 B 2 2 1 0 1 lim0 12 0 nx nx n x xx xe f xx e ex 故点0 x 为其跳跃间断点 14 2 2 设 f x是连续且单调增加的奇函数 0 2 d x F xux f xuu 则 F x是 A 单调增加的奇函数 B 单调减少的奇函数 C 单调增加的偶函数 D 单调减少的偶函数 解 解 应选 B 令xut 0 00 2 d d2 d xx x F xxt f ttxf tttf tt 因为 f t是奇函数 tf t为偶函数 所以 0 d x xf tt 为奇函数 0 d x tf tt 为奇函数 故 F x为奇函数 务必记住此处知识点的结论 要求会证明 又因为 0 d 0 x F xf ttxf xxfxf x 在0与x之间 故 F x单调减 少 15 3 3 设函数 f x具有一阶连续导数 且 2 0 1 lim3 x x ef x xx 则 A 5 0 1 0 2 f f B 5 0 1 0 2 f f C 5 0 1 0 2 f f D 5 0 1 0 2 f f 解 解 应选 A 2 000 1 0 0 1 limlimlim 2222 xxx xxx exf xef xxfxeff xf fx xxxx 3 故知 0 1f 又 00 0 11 limlim 222 xx xx efe xx 0 0 1 lim 0 22 x f xf f x 0 11 lim 0 22 x fxf 所以 1 0 3 2 f 得 5 0 2 f 或使用泰勒公式求解 22 22 00 1 1 1 0 0 1 2 limlim x xx xxo xx ffxo x exf x xx 22 2 0 1 1 0 0 2 lim3 x fxfxo x x 故 1 0 0 1 0 3 2 f f 得 5 0 1 0 2 f f 16 4 4 设 2 0 cosIx dx 2 sin 0 cos x Jxedx 则 A 0 0IJ B 0 0IJ C 0 0IJ D 0 0IJ 解 解 应选 B 2 2 2 000 2 111coscos coscos 22 xuuu Ix dxudududu uuu 2222 0000 1coscos1coscos 0 22 22 uttt dudtdtdt ut tt 2 cos 2 2 2sin0 t tx Jtedt 所以0 0 IJ 17 5 5 设函数 2 22 42 22 0 00 x y xy xy f x y xy 则 f x y在点 0 0 处 A 连续 但偏导数不存在 B 不连续 但偏导数存在 C 连续且偏导数存在 D 不连续且偏导数不存在 解 解 应选 B 由于 2 4 44 00 1 lim lim 0 0 2 xx y x x f x yf xx 故 f x y在点 0 0 处不连续 又因为 0 0 0 0 0 0 xy ff 知 f x y在点 0 0 处两个偏导数均存在 18 6 6 将极坐标系下的二次积分 3 1 4 00 d 1cos sin frrrdr 转化为直角坐标系下的二 次积分为 A 22 0111 2 00 2 xx x dxf x y dydxf x y dy B 22 11 1 21 1 2 110 2 xx x dxf x y dydxf x y dy C 22 2 2 111 2 2 01 2 yy yy dyf x y dxdyf x y dx D 22 2 2 11111 2 2 0111 2 yy yy dyf x y dxdyf x y dx 解 解 应选 D 1cos sin xr yr 引入 2 2 y 分割区域 得 12 DDD 其中 2 1 2 0 111 2 Dyyxy 22 2 2 1 1111 2 Dyyxy 19 7 7 设 A B为三阶非零矩阵 满足ABO 其中 2 111 212 2 Baaa aaa 则 A 2a 时 必有 1R A B 2a 时 必有 2R A C 1a 时 必有 1R A D 1a 时 必有 2R A 解 解 应选 A 111 010 00 2 1 r Ba aa 由ABO 知 3R AR B 又由于 A B均为非零矩阵 则有 1 1R AR B 当2a 且1a 时 3R B 得 0R A 与 1 1R AR B 矛盾 当1a 时 1R B 此时1 2R A 选项 B C 不正确 当2a 时 2R B 必有1 3 1R AR B 得 1R A 选项 D 不正确 20 8 8 已知二次型 22 123121323 24f x x xxxax xx x 的秩为2 则该二次型的正负惯性指 数分别为 A 2 0 B 0 2 C 1 1 D 依赖于a的取值 解 解 应选 C 10 012 20 a A a 123 123 0 0 取 1 0 则 23 0 0 从而 23 21 9 9 设 f x为可导的偶函数 2 0 cos lim2 x fx x 则曲线 yf x 在点 1 1 f 处的法 线方程为 解 解 应填 1 44 x y 由题意知 1 0f 从而 222 000 cos cos 1 cos 1 cos11 limlimlim 1 2 cos12 xxx fxfxffxfx f xxxx 得 1 4 f 又因为 f x为偶函数 所以 fx 为奇函数 故 1 1 4ff 因此法线方程为 1 1 1 4 yfx 即 1 44 x y 22 1010 3 2 cos sin 1 cos xx dx x 解 解 应填 22 1 cosln 1 cos 2 xxC 原积分 222 222 cos cos 1 cos 1 1 2 cos 1 cos11 xt xxt tttt dxdtdt xtt 2222 2 211 dln 1 cosln 1 cos 122 t ttttCxxC t 23 1111 4 333 3 1 lim arctan 123 n n n 解 解 应填 3 4 原式 1 333 1 3 3 4 0 1 3 12313 limlim 4 n nn i ni x dx n n n 24 1212 微分方程 2 42cosyyx 的特解形式为 解 解 应填 cos2sin2 ax AxBx 特征方程为 2 40r 特征根为 1 2 2ri 将微分方程转化为41 cos2yyx 对于 1 1f x 可设 1 ya 对于 2 cos2fxx 可设 2 cos2sin2 yx AxBx 由叠加原理可知特解形式为 12 cos2sin2 yyyax AxBx 25 1313 设函数 zz x y 由方程 xazybz 确定 其中 可导 a b为常数 且 0ab 则 zz ab xy 解 解 应填1 方程两边对x求偏导 得1 zz ab xx 所以 1z xab 方程两边对y求偏导 得 1 zz ab yy 所以 z yab 从而1 zz ab xy 26 1414 设 12 2 1 30 对任意的正整数n 矩阵 T nE 解 解 应填 210 4210 631 nn nn nn 令 T B 则 0 2 nTTT Bn 故 T11 210 4210 631 nnn n nn EEC EBEnBnn nn 27 1515 本题满分本题满分 1010 分分 设01x 证明 1 2 21 ln 1 1 xx x x 2 1 1 1 1 4 x x x x 证 证 1 令 2 21 ln 1 1 xx g xx x 则 3 1 0 1 x x g x x 故 g x单调递减 当01x 时 0 0 g xg 2 只需证 11 ln 1 ln 1 ln4xx xx 令 11 ln 1 ln 1 ln4f xxx xx 则 1 0f 2 1111 ln 1 ln 1 1 1 fxx xxxxx 则 1 0 f 32 2 21 ln 1 0 1 xx fxx xx 则 1 0fxf 故 f x单调增加 所以 1 0f xf 故 11 ln 1 ln 1 ln4 xx xx 28 1616 本题满分本题满分 1010 分分 将yoz坐标面上的曲线段 0 012 yf zf zz 绕z轴旋转一周所得旋转曲面 与xoy坐标面围成一个无盖容器 已知它的底面积为 2 16 m 如果以 3 3 ms的速度 把水注入容器内 在高度为 z m的位置 水的上表面积以 2 3 1 ms z 的速度增大 求 1 曲线 yf z 的方程 2 若将容器内水装满 需要多少时间 解 解 1 设在t时刻 水面高度为 zz t 则水的体积和水的上表面积分别为 2 0 d z V tfuu 2 S tfz 由题意知 2 d d 3 dd V tz fz tt d d 3 2 dd1 S tf z f z ttz 综上列两式 得 d d d2 1 f zz tz 两边积分 得 1 ln ln 1 ln 2 f zzC 即 1f zCz 由于容器的底面积为16 知 0 4f 进而4C 故所求曲线方程为 41 012 yzz 2 容器的体积为 121212 223 000 41 d16 1 d8 1 1344 Vzzzzzm 若将容器用水装满 需要时间为 1344 448 3 s 29 1717 本题满分本题满分 1010 分分 已知平面上两点 4 6 6 4 AB C为椭圆 22 1 520 xy 上的点 求ABC 面积的最大值 和最小值 解解 过 A B两点的直线为10 xy 设C点坐标为 x y 则ABC 的面积为 210Sxy 记 22 2 10 1 520 xy Lxy 令 22 2 2 10 0 5 2 10 0 10 10 520 x y x Lxy y Lxy xy 解得驻点 1 4 及 1 4 1 4 5 2S 1 4 15 2S 所以 min 1 4 5 2S max 1 4 15 2 S 30 18 18 本题满分本题满分 1010 分分 设区域 01 02Dxy 计算 2 1 1 d xy D Iyexy 解解 12 d d d DDD xyxyyx 2 11211 22 00000 0 11 d dd d d d 22 x x x x xxyyxyxyxyyxyxyx 11 22 00 114 d 22 d 223 xxxxx 而D关于1y 对称 2 1 1 xy ye 关于1y 成奇函数 所以 2 1 1 d0 xy D ye 故 4 3 I 31 19 19 本题满分本题满分 1010 分分 设函数 yy x 满足 2 1 2 x yxox xx 且 1 1y 计算 2 1 d y xx 解解 由 2 1 2 x yxox xx 知 2 1 2 yxox xx xx 令0 x 则有 2 1 2 x y xx 故有 2 2 1 d2 2 x y xxxxC xx 由 1 1y 知0C 所以 2 2yxx 于是 222 222 2 1110 1sin d2d1 1 dcosd 4 xt y xxxxxxxt t 32 20 20 本题满分本题满分 1111 分分 设曲线L的参数方程 sin 02 1 cos xtt t yt 求 1 曲线L的参数方程确定的函数 yy x 的定义域 2 曲线L与x轴围成的平面图形绕y轴旋转一周而形成的旋转体体积 y V 3 设曲线L的形心坐标为 x y 求 y 解解 1 因为 1 cos0 x tt 且1 cos0t 的点不构成区间 所以 x t在 0 2 上 连续单增 因此 yy t 的定义域就是 x t的值域 即为 0 2 0 2 xx 2 22 2 00 2 d2 sin 1 cos d y Vxy xxtttt 22 22 00 2 1 cos d2sin 1 cos dtttttt 2 23 0 2 2 coscos d6 tttttt 3 22 2222 00 22 2222 00 d 1 cos 1 cos sind d 1 cos sind L L y txtyttttt tyds y ds xtytttt t 3 2 2 0 1 2 2 0 32 2 1 cos d 4 3 83 2 1 cos d tt tt 33 21 21 本题满分本题满分 1111 分分 设函数 f x在 0 1 上具有二阶连续导数 且 0 1 0ff 证明 1 至少存在一点 0 1 使得 1 2 0 1 24 f fff 2 至少存在一点 0 1 使得 1 0 4 f ff 证证 1 由 1 2 f分别在点0 x 和1x 处的泰勒公式得 2 11 111 0 0 0 0 0 222 28 ff ffff 1 1 0 2 2 22 111 1 1 1 1 1 222 28 ff ffff 2 1 1 2 两式相加 得 12 1 2 0 1 28 ff fff 由于 fx 在 0 1 上连续 由介值定理知 存