2004年考研数学一真题及解析.pdf

您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料 请访问 2004200420042004年数学一试题详解和评注年数学一试题详解和评注 一 填空题填空题 本题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 把答案填在题中横线上 1 1 1 1 曲线 y lnx 上与直线1 yx垂直的切线方程为1 xy 分析分析 本题为基础题型 相当于已知切线的斜率为 1 由曲线 y lnx 的导数为 1 可 确定切点的坐标 详解详解 由1 1 ln x xy 得 x 1 可见切点为 0 1 于是所求的切线方程为 1 10 xy 即1 xy 评 注评 注 本 题 也 可 先 设 切 点 为 ln 00 xx 曲 线 y lnx 过 此 切 点 的 导 数 为 1 1 0 0 x y xx 得1 0 x 由此可知所求切线方程为 1 10 xy 即1 xy 本题比较简单 类似例题在一般教科书上均可找到本题比较简单 类似例题在一般教科书上均可找到 2 2 2 2 已知 xx xeef 且 f 1 0 则 f x 2 ln 2 1 x 分析分析 先求出 xf 的表达式 再积分即可 详解详解 令te x 则txln 于是有 t t tf ln 即 ln x x xf 积分得Cxdx x x xf 2 ln 2 1ln 利用初始条件 f 1 0 得 C 0 故所求函数 为 f x 2 ln 2 1 x 评注评注 本题属基础题型 已知导函数求原函数一般用不定积分 完全类似的例题见 数学复习指南 完全类似的例题见 数学复习指南 P89P89P89P89 第第 8 8 8 8题题 P90P90P90P90 第第 11111111题题 3 3 3 3 设L为正向圆周2 22 yx在第一象限中的部分 则曲线积分 L ydxxdy2的 值为 2 3 分析分析 利用极坐标将曲线用参数方程表示 相应曲线积分可化为定积分 详解详解 正向圆周2 22 yx在第一象限中的部分 可表示为 2 0 sin2 cos2 y x 于是 dydxxdy L sin2sin22cos2cos2 2 2 0 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料 请访问 2 3 sin2 2 0 2 d 评注评注 本题也可添加直线段 使之成为封闭曲线 然后用格林公式计算 而在添加 的线段上用参数法化为定积分计算即可 完全类似例题见 数学题型集粹与练习题集 完全类似例题见 数学题型集粹与练习题集 P143P143P143P143 例例 10 1110 1110 1110 11 考研数学大串讲 考研数学大串讲 P12P12P12P122 2 2 2 例例 5 5 5 5 例 例 7 7 7 7 4 4 4 4 欧拉方程 0 024 2 2 2 xy dx dy x dx yd x的通解为 2 21 x c x c y 分析分析 欧拉方程的求解有固定方法 作变量代换 t ex 化为常系数线性齐次微分方 程即可 详解详解 令 t ex 则 dt dy xdt dy e dx dt dt dy dx dy t 1 111 2 2 22 2 22 2 dt dy dt yd xdx dt dt yd xdt dy xdx yd 代入原方程 整理得 023 2 2 y dt dy dt yd 解此方程 得通解为 2 212 21 x c x c ececy tt 评注评注 本题属基础题型 也可直接套用公式 令 t ex 则欧拉方程 2 2 2 xfcy dx dy bx dx yd ax 可化为 2 2 t efcy dt dy b dt dy dt yd a 完全类似的例题见 数学复习指南 完全类似的例题见 数学复习指南 P171P171P171P171 例例 6 19 6 19 6 19 6 19 数学题型集粹与练习题集 数学题型集粹与练习题集 P34P34P34P342 2 2 2 第六题第六题 考研数学大串讲 考研数学大串讲 P75P75P75P75 例例 12 12 12 12 5 5 5 5 设矩阵 100 021 012 A 矩阵 B 满足EBAABA 2 其中 A为 A 的伴随矩 阵 E 是单位矩阵 则 B 9 1 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料 请访问 分析分析 可先用公式EAAA 进行化简 详解详解 已知等式两边同时右乘 A 得 AABAAABA 2 而3 A 于是有 ABAB 63 即ABEA 63 再两边取行列式 有363 ABEA 而2763 EA 故所求行列式为 9 1 B 评注评注 先化简再计算是此类问题求解的特点 而题设含有伴随矩阵 A 一般均应先 利用公式EAAAAA 进行化简 完全类似例题见 数学最后冲刺 完全类似例题见 数学最后冲刺 P107P107P107P107 例例 2 2 2 2 P118P118P118P118 例例 9 9 9 9 6 6 6 6 设随机变量 X服从参数为 的指数分布 则 DXXP e 1 分析分析 已知连续型随机变量 X 的分布 求其满足一定条件的概率 转化为定积分计 算即可 详解详解 由题设 知 2 1 DX 于是 DXXP dxeXP x 1 1 1 1 e e x 评注评注 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征 而不应在考试时再 去推算 完全类似例题见 数学一临考演习 完全类似例题见 数学一临考演习 P35P35P35P35 第第 5 5 5 5题题 二 选择题二 选择题 本题共 8 小题 每小题 4 分 满分 32 分 每小题给出的四个选项中 只有一 项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 7 7 7 7 把 0 x时的无穷小量dttdttdtt xxx 0 3 00 2 sin tan cos 2 使 排在后面的是前一个的高阶无穷小 则正确的排列次序是 A B C D B 分析分析 先两两进行比较 再排出次序即可 详解详解 0 cos 2tan lim cos tan limlim 2 0 0 2 0 00 2 x xx dtt dtt x x x xx 可排除 C D 选项 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料 请访问 又 xx x x dtt dtt x x x xx tan2 2 1 sin lim tan sin limlim 2 3 0 0 0 3 00 2 2 0 lim 4 1 x x x 可见 是比 低阶的无穷小量 故应选 B 评注评注 本题是无穷小量的比较问题 也可先将 分别与 n x进行比较 再确定 相互的高低次序 完全类似例题见 数学一临考演习 完全类似例题见 数学一临考演习 P28P28P28P28 第第 9 9 9 9题题 8 8 8 8 设函数 f x 连续 且 0 0 f则存在0 使得 A f x 在 0 内单调增加 B f x 在 0 内单调减少 C 对 任意 的 0 x有 f x f 0 D 对 任意 的 0 x有 f x f 0 C 分析分析 函数 f x 只在一点的导数大于零 一般不能推导出单调性 因此可排除 A B 选项 再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可 详解详解 由导数的定义 知 0 0 lim 0 0 x fxf f x 根据保号性 知存在0 当 0 0 x时 有 0 0 x fxf 即当 0 x时 f x f 0 故应选 C 评注评注 题设函数一点可导 一般均应联想到用导数的定义进行讨论 完全类似例题见 数学一临考演习 完全类似例题见 数学一临考演习 P28P28P28P28 第第 10101010题题 9 9 9 9 设 1n n a为正项级数 下列结论中正确的是 A 若 n n na lim 0 则级数 1n n a收敛 B 若存在非零常数 使得 n n nalim 则级数 1n n a发散 C 若级数 1n n a收敛 则0lim 2 n n an 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料 请访问 D 若级数 1n n a发散 则存在非零常数 使得 n n nalim B 分析分析 对于敛散性的判定问题 若不便直接推证 往往可用反例通过排除法找到 正确选项 详解详解 取 nn an ln 1 则 n n na lim 0 但 11 ln 1 nn n nn a发散 排除 A D 又取 nn an 1 则级数 1n n a收敛 但 n n an 2 lim 排除 C 故应选 B 评注评注 本题也可用比较判别法的极限形式 0 1 limlim n a na n n n n 而级数 1 1 n n 发散 因此级数 1n n a也发散 故应选 B 完全类似的例题见 数学复习指南 完全类似的例题见 数学复习指南 P213P213P213P213 例例 8 13 8 13 8 13 8 13 10101010 设 f x 为连续函数 tt y dxxfdytF 1 则 2 F 等于 A 2f 2 B f 2 C f 2 D 0 B 分析分析 先求导 再代入 t 2 求 2 F 即可 关键是求导前应先交换积分次序 使得 被积函数中不含有变量 t 详解详解 交换积分次序 得 tt y dxxfdytF 1 txt dxxxfdxdyxf 111 1 于是 1 ttftF 从而有 2 2 fF 故应选 B 评注评注 在应用变限的积分对变量 x 求导时 应注意被积函数中不能含有变量 x xb xa xaxafxbxbfdttf 否则 应先通过恒等变形 变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量 x 换到积分号外 或积分线上 完全类似例题见 数学最后冲刺 完全类似例题见 数学最后冲刺 P184P184P184P184 例例 12121212 先交换积分次序再求导 先交换积分次序再求导 11111111 设 A 是 3 阶方阵 将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B 再把 B 的第 2 列加到第 3 列 得 C 则满足 AQ C 的可逆矩阵 Q 为 A 101 001 010 B 100 101 010 C 110 001 010 D 100 001 110 D 分析分析 本题考查初等矩阵的的概念与性质 对 A 作两次初等列变换 相当于右乘两 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料 请访问 个相应的初等矩阵 而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积 详解详解 由题设 有 BA 100 001 010 CB 100 110 001 于是 100 001 110 100 110 001 100 001 010 CAA 可见 应选 D 评注评注 涉及到初等变换的问题 应掌握初等矩阵的定义 初等矩阵的性质以及与初 等变换的关系 完全类似例题见 数学题型集粹与练习题集 完全类似例题见 数学题型集粹与练习题集 P196P196P196P196 例例 2 22 22 22 2 12121212 设 A B 为满足 AB O 的任意两个非零矩阵 则必有 A A 的列向量组线性相关 B 的行向量组线性相关 B A 的列向量组线性相关 B 的列向量组线性相关 C A 的行向量组线性相关 B 的行向量组线性相关 D A 的行向量组线性相关 B 的列向量组线性相关 A 分析分析 A B 的行列向量组是否线性相关 可从 A B 是否行 或列 满秩或 Ax 0 Bx 0 是否有非零解进行分析讨论 详解详解 1 1 1 1 设 A 为nm 矩阵 B 为sn 矩阵 则由 AB O知 nBrAr0 r B 0 可见 r A n r B n 即 A 的列向量组线性相关 B 的 行向量组线性相关 故应选 A 详解详解 2 2 2 2 由 AB O知 B 的每一列均为 Ax 0 的解 而 B 为非零矩阵 即 Ax 0 存在非 零解 可见 A 的列向量组线性相关 同理 由 AB O 知 OAB TT 于是有 T B的列向量组 从而 B 的行向量组线性相关 故应选 A 评注评注 AB O 是常考关系式 一般来说 与此相关的两个结论是应记住的 1 AB O nBrAr 2 AB O B 的每列均为 Ax 0 的解 完全类似例题见 数学最后冲刺 完全类似例题见 数学最后冲刺 P110P110P110P110 例例 10 1110 1110 1110 11 数学一临考演习 数学一临考演习 P79P79P79P79 第第 4 4 4 4 题题 考 研数学大串讲 考 研数学大串讲 P173P173P173P173 例例 8 8 8 8 P184P184P184P184 例例 27272727 13131313 设随机变量 X 服从正态分布 N 0 1 对给定的 10 uXP 若 xXP 则x等于 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料 请访问 A 2 u B 2 1 u C 2 1 u D 1 u C 分析分析 此类问题的求解 可通过 u的定义进行分析 也可通过画出草图 直观地得 到结论 详解详解 由标准正态分布概率密度函数的对称性知 uXP 于是 2 11xXPxXPxXPxXPxXP nXXX n 独立同分 布 且其方差为 0 2 令 n i i X n Y 1 1 则 A Cov 2 1 n YX B 2 1 YXCov C 2 1 2 n n YXD D 2 1 1 n n YXD A 分析分析 本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可 注意利用独立性有 3 2 0 1 niXXCov i 详解详解 Cov n i i n i i XXCov n XXCov n X n XCovYX 2 1 1 1111 1 1 1 11 2 1 n DX n 评注评注 本题 C D 两个选项的方差也可直接计算得到 如 2 2 2 2 2 211 1 1 111 n n n n X n X n X n n DYXD n 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料 请访问 22 2 2 33 n n n nn 2 2 2 2 2 211 1 1 111 n n n n X n X n X n n DYXD n 22 22 2 2 n n n nn 完全类似的例题见 数学一临考演习 完全类似的例题见 数学一临考演习 P78P78P78P78 第第 23232323题 本题是第题 本题是第 23232323 题的特殊情况 题的特殊情况 15151515 本题满分 本题满分 12121212 分 分 设 2 ebae 分析分析 根据要证不等式的形式 可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用 单调性证明 证法证法 1 1 1 1 对函数x 2 ln在 a b 上应用拉格朗日中值定理 得 ln2 lnln 22 baabab e 时 0 即 22 2 2lnln ee e 故 4 lnln 2 22 ab e ab 证法证法 2 2 2 2 设x e xx 2 2 4 ln 则 2 4ln 2 ex x x 2 ln1 2 x x x 所以当 x e 时 0 x 故 x 单调减少 从而当 2 exe ee ex 即当 2 exe 时 x 单调增加 因此当 2 exe 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料 请访问 即a e ab e b 2 2 2 2 4 ln 4 ln 故 4 lnln 2 22 ab e ab 评注评注 本题也可设辅助函数为 2 2 22 4 lnln exaeax e axx 或 2 2 22 4 lnln ebxexb e xbx 时 级数 1n n x 收敛 分析分析 利用介值定理证明存在性 利用单调性证明惟一性 而正项级数的敛散性可 用比较法判定 证证 记 1 nxxxf n n 由01 0 nfn 及连续函数 的介值定理知 方程01 nxxn存在正实数根 1 0 n x 当 x 0 时 0 1 nnxxf n n 可 见 xfn在 0 上 单 调增 加 故 方 程 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料 请访问 01 nxx n 存在惟一正实数根 n x 由01 nxxn与0 n x知 nn x x n n n 11 0 时 1 0 n xn 时 级数 1n n x 收敛 评注评注 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性 题型设计比较新颖 但难度 并不大 只要基本概念清楚 应该可以轻松求证 完全类似例题见 数学题型集粹与练习题集 完全类似例题见 数学题型集粹与练习题集 P91P91P91P91 例例 6 15 6 15 6 15 6 15 有关根的存在性与惟一性证 明 有关根的存在性与惟一性证 明 收敛性证明用比较法很简单收敛性证明用比较法很简单 19191919 本题满分 本题满分 12121212 分 分 设 z z x y 是由0182106 222 zyzyxyx确定的函数 求 yxzz 的极值 点和极值 分析分析 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点 先求出一阶偏导 再令其为零确定 极值点即可 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值 并求出相应的极值 详解详解 因为0182106 222 zyzyxyx 所以 02262 x z z x z yyx 0222206 y z z y z yzyx 令 0 0 y z x z 得 0103 0 3 zyx yx 故 3 yz yx 将上式代入0182106 222 zyzyxyx 可得 3 3 9 z y x 或 3 3 9 z y x 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料 请访问 由于02 222 2 2 2 2 2 x z z x z x z y 022226 22 yx z z x z y z yx z y x z 02 222220 2 2 2 2 2 y z z y z y z y y z y z 所以 6 1 3 3 9 2 2 x z A 2 1 3 3 9 2 yx z B 3 5 3 3 9 2 2 y z C 故0 36 1 2 BAC 又0 6 1 A 从而点 9 3 是 z x y 的极小值点 极小值为 z 9 3 3 类似地 由 6 1 3 3 9 2 2 x z A 2 1 3 3 9 2 yx z B 3 5 3 3 9 2 2 y z C 可知0 36 1 2 BAC 又0 6 1 A 从而点 9 3 是 z x y 的极大值点 极大值为 z 9 3 3 评注评注 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题 关键是求可能极值点时应注意 x y z满足原方程 完全类似的例题见 数学复习指南 完全类似的例题见 数学复习指南 P277P277P277P277 例例 10 31 10 31 10 31 10 31 20202020 本题满分 本题满分 9 9 9 9 分 分 设有齐次线性方程组 2 0 0 2 2 2 0 1 21 21 21 n xannxnx xxax xxxa n n n 试问 a 取何值时 该方程组有非零解 并求出其通解 分析分析 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组 可考虑对系数矩 阵直接用初等行变换化为阶梯形 再讨论其秩是否小于 n 进而判断是否有非零解 或直接 计算系数矩阵的行列式 根据题设行列式的值必为零 由此对参数 a 的可能取值进行讨论即 可 详解详解 1 1 1 1 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换 有 00 002 1111 2222 11