高数复习题(第1章-第5章).pdf

复 习 题 一 复 习 题 一 第 1 章 第 5 章 一 判断题 正确打 一 判断题 正确打 错误打 错误打 1 0 lim 2 xxx x 2 0lim 2 lim 1 lim 21 lim 222222 n n nnn n nn nnnn 3 若 则 Axf xx lim 0 Axf 0 4 已知不存在 但有可能存在 0 xf lim 0 xf xx 5 2 arctanlim x x 6 如果函数在上连续 且 xf ba bfaf0 则在内至少存在一点 ba 使得 f 0 7 是上的连续函数 则在上一定有最大值和最小值 xf ba xf ba 8 在上连续 则在上是有界函数 xf ba ba xf 9 2 1 13 13 lim limlim 2 2 1 3 3 1 3 3 1 x x xx xx xx xx xxx 10 0 1 sinlimlim 1 sinlim 000 x x x x xxx 11 1 sin lim x x x 12 xy 在处连续且可导 0 x 13 若在处不连续 则必不存在 14 xfy 在x xf 0 x 0 x f 处可导的充要条件是 0 xfy 在处可微 是曲线 导函在个极值点是的最值 在点 0 x 15 点 3 xy 的拐点 0 0 16 若可数 xf b内只有一x 则 f就 a 00 x xf 17 曲线 处有切线 则 xfy 00 xfx 0 x f 一定存在 在处连续 则 21 22 已知则 23 18 一定存在 xfy 0 xx 0 xf 19 偶函数的导数为奇函数 奇函数的导数为偶函数 20 设函数 xf可积 则 xxfxxfd d d d xfxxf d CxFxxf CxgFxxgf d sin 2 x x2cos 2 1 是同一个函数的原函数 24 若 则在上0d b a xxf ba 0 xf 25 在上连续是在上可积的充分条件 但不是必要条件 xf ba xf ba 1 二 单项选择题 二 单项选择题 1 已知下列四个数列 2 n x 13 2 n xn 13 2 1 1 n x n n 13 13 1 1 n n x n n 则其中收敛的数列为 D A B C D 2 当时 下列变量中是无穷小的是 A 1 x A B C D 1 3 xxsin x e 1ln x 3 函数的连续区间是 D 2 01 2 12 xx f x xx A B C D 1 0 2 1 2 0 2 1 1 0 4 从不能推出 B 1 lim 0 xf xx A B C 1 lim 0 xf xx 1 0 xf1 lim 0 xf xx D 0 1 lim 0 xf xx 5 1 1sin lim 2 1 x x x B A B 2 C 0 D 1 1 6 下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是 C A B C D x 3 sin1 3 xxx 3 xx 3 7 方程在区间内 B 013 3 xx 1 0 A 无实根 B 有唯一实根 C 有两个实根 D 有三个实根 8 函数在点处是 D xy 0 x A 无定义 B 无极限 C 间断 D 连续但不可导 9 由方程所确定的曲线在点处的切线斜率为 B 0esin y xy 0 0 A B 1 C D 1 2 12 1 10 已知 2 3 f h fhf h 2 3 3 lim 0 D A 2 3 B 2 3 C 1 D 1 11 设 C yxydcos 2 则 A B C D xxxdcos2 2 xxxdcos2 2 xxxdsin2 2 xxxdsin2 2 12 已知一个质点作变速直线运动的位移函数为时间 则在时刻处的速度和加速 度分别为 A ttS t e3 22 2 t A B 44 e46 e212 44 e212 e212 C D 44 e46 e46 44 e6 e12 13 设 则为在区间52 24 xxxf 0 f xf 22 上的 C A 极小值 B 最小值 C 极大值 D 最大值 14 设 则 D xxyln 3 y A B xlnx C 2 1 x D 2 1 x 15 下列求极限问题中能够使用洛必达法则的是 D 2 A x x x x sin 1 sin lim 2 0 B x x x sin1 1 lim 1 C xx xx x sin sin lim D arctan 2 limxx x 16 设函数 f x的一个原函数是 1 x 则 fx C A 1 x B ln x C 3 2 x D 2 1 x 17 当x 充分小时 0 xf时 函数 xfy 的改变量y 与微分的关系是 D yd A yyd B yyd C yyd D yyd 18 x x cosd 1 cos 1 2 B A tanxxC B Cx x cos cos 1 C Cx x cos 1 D tancosxxC 19 函数在点处取极大值 则必有 D xfy 0 x A B 0 0 xf0 xf C 0 0 00 xfxf D 不存在或 0 0 xfxf 20 x x d 1 1 2 B A 2 1 1 x B C x 2 1 1 C xarctan D Cx arctan 21 C xxf xxfd A B Cxf Cxf C D Cxxf Cxf 2 22 若 则 C 1 0 2 d2xax a A B 0 C 1 D 21 23 曲线与 2 4y xy轴所围部分的面积为 B A 0 B 3 32 C 3 16 D 24 设 f x在 上连续 则下列各式中不成立的是 D a b A d dt bb aa f xxf t B d dt ba ab f xxf t C D 若 d0 a a f xx d0 b a f xx 则 0f x 25 设均为连续函数 下列命题中正确的是 C xgxf 在上若则 ba xgxf xxgxxf b a b a d d b a b a ttfxxfd d 若则 xgxf xxgxxfd d b a xxfxxfd d d 26 xxd42 5 0 C A 11 B 12 C 13 D 14 3 27 x x xd 4 sin2 1 12 B A 3 B 3 2 C 3 4 D 3 5 28 1 0arccos d x x C A x x d 1 0 2 B x x x d sin 0 2 C x x x d sin 2 0 D x x d 1 2 0 三 填空题 三 填空题 1 函数 2 sinlog2 xy是由简单函数uy 2 log 和2sin xu复合而成 2 设 1 1 x xf 32 2 x x 则 1 xf的定义域为 2 3 3 函数 3ln xxxf 的连续区间是 3 0 4 3sin1 sin lim 2 2 0 x x x x x 3 5 设在处可导 则 xf 0 x x xfxxf x lim 00 0 0 x f 6 曲线在处的切线方程是 x xyeln 1 x1 e1 xy 7 当物体的温度高于周围介质的温度时 物体就不断冷却 若物体的温度T与时间t的函数关系为 则该物体在时刻 的冷却速度为 tTT t t T d d 8 设 则 xy x lne ydx x x x d 1 lne 9 设方程确定隐函数1 22 xyyx xyy 则 y xy xy 2 2 10 3 2 2 3 xxy 的单调递减区间为 1 0 11 函数在区间 1 1 上的最大值为 32 21f xxx 1 12 曲线的拐点是1ln2 2 xxy 0 1 13 2 1 1 lim ln x x x 2 14 设 则 x y cos e 2 2 d d x y x xx cos2 e cos sin 15 已知 则Cxxxf 2 sind xfxxcossin2 4 16 设为的一个原函数 则 3 x xf dxfxxd6 17 xxdsin 3 Cxx coscos 3 1 3 18 若曲线的切线斜率为且经过点 则该曲线方程为 xfy x2 2 1 1 2 xy 19 函数上满足拉格朗日中值定理的 10 1ln 在 xy 1 2ln 1 20 xxxxd 25cos 3 3 3 12 21 设 则 x ttxF 1 dtan x Fxtan 22 x x x d 1 1 0 2 2 4 1 23 计算曲线与直线xysin 2 x及0 y所围成的平面图形的面积可用定积分表示并求值 A1dsin xx 2 0 24 由曲线与直线及 2 xy 1 xx轴所围成的平面图形 绕x轴旋转所得的旋转体的体积可用定积分 表示并求值 x V 5 d 1 0 4 xx 四 解答题 必须按题目要求写出必要的步骤 否则不给分 四 解答题 必须按题目要求写出必要的步骤 否则不给分 1 求下列极限 1 13 12 lim 2 n n n 2 123 132 lim 2 2 1 xx xx x 3 x x x 11 lim 0 4 x xx 3 1 lim 5 x x x x 2 13 3 lim 1 2 3 4 5 24 12 1 3 e 3 2 e 2 求下列函数的导数 1 2 1 1 xx y 2 x 25sin lnxyearctan 3 y 4 3 22 4 23 1 x xx y 1 1 1 2 x x 2 2 e 2 1e x x x 3 25cot 2x 5 4 4 4 23 3 1 1 4 23 1 3 1 2 3 22 x x xxx xx 3 求下列函数的微分 1 2 xy x 2sine xxxyarcsin1 2 1 xxxy x d 2sin2cos2 ed 2 xxxyyd12dd 2 4 设确定是13 23 xyxyyx的函数 求y 及 0 x y 3 61 22 yx xy y 3 1 1 0 0 y x x yy 5 求曲线在点处的切线方程 1 22 yyxx 1 1 043 yx 6 验证函数 xx y ee 满足方程0 4 1 2 1 yyyx 7 求函数 3 2 52 xxy 的极值 极大值 极小值 0 0 f3 1 f 8 求函数的单调区间与极值 xxxxf1862 23 9 求曲线的凹 凸区间及拐点 43 34yxx 1 曲线凹的区间是 和 0 2 3 凸的区间是 2 3 点和 1 0 11 27 2 3 是曲线的拐点 10 要做一个底面为长方形带盖的箱子 其体积为72 其底边成的关系 问各边的长怎样 才 能使表面积为最小 3 cm2 1 当宽为3 长为 高为时能使面积最小 cm6 cm4cm 11 欲做一个容积为 300 2 m的无盖圆柱形蓄水池 已知池底单位造价为周围造价的两倍 问蓄水池的尺 寸应怎样设计才能使总造价最低 底半径 3 150 高 3 150 2 12 铁路线上段的距离为100km 工厂C距A处为 20km 垂直 于 如图所示 为了运输需要 要在线上选定一点 向 工厂修筑一条公路 己知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货 运的运费之比为 3 5 为了使货物从供应站 AC DABAB B运到工厂的运费 最省 问点应选在何处 C D AB C D km20 km100 6 15 ADkm 13 求下列不定积分 1 x xx x d 1 21 22 2 2 x x x d 32 2 3 x x x d 1 4 xxdarctan 1 Cx x arctan 1 2 Cx 2 32 3 1 3 Cxx 1arctan1 2 4 Cxxx 1ln 2 1 arctan 2 14 计算下列定积分 1 0 2 d 2 cosx x 2 4 0 d 1 x x 3 2 1 2 52 d x x 4 5 2 1 d 1 xx 0 sin dxxx 1 2 2 3 3ln24 24 1 4 2 5 5 15 已知曲线和 求 这两条曲线围成的平面图形的面积 2 xy xy8 2 3 8 16 求由抛物线与直线所围成平面图形的面积 xy2 2 4 xy 18 17 试分别用极限思想方法及定积分思想方法证明半径为R的圆的面积公式 2 RS 18 试推导半径为R的球体的体积公式 一 一 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 二 二 1 D 2 A 3 D 4 B 5 C 6 C 7 B 8 D 9 B 10 D 11 C 12 A 13 C 14 D 15 D 16 D 17 D 18 B 19 D 20 B 21 C 22 C 23 B 24 D 25 C 26 C 27 B 28 C 三 三 1 2 uy 2 log 2sin xu 3 2 3 4 5 3 0 3 0 xf 6 7 1 e1 xy t T d d 8 x x x x d 1 lne 9 xy xy 2 2 10 11 1 12 13 2 14 15 16 17 1 0 0 1 x x 2 x cos e cos sinxxcossin2xxd6Cx cosxcos3 3 1 18 19 1 2 xy1 2ln 1 20 12 21 xtan 22 4 1 23 1dsin xx 2 0 24 5 d 1 0 4 xx 7 四 解答题 四 解答题 1 1 2 3 4 5 24 12 1 3 e 3 2 e 2 1 1 1 2 x x 2 2 e 2 1e x x x 3 25cot 2x 4 4 4 23 3 1 1 4 23 1 3 1 2 3 22 x x xxx xx 3 1 2 xxxy x d 2sin2cos2 ed xxxyyd12dd 2 4 3