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对一道课本习题的深入探索 喻青山 湖北省十堰市竹山县第二中学 普通高中课程标准实验教科书数学必修 习 题 组第 题 第 页 分别以一个直角三 角形的斜边 两直角边所在直线为轴 其余各边旋 转一周形成的曲面围成三个几何体 画出它们的 三视图与直观图 并探讨它们体积之间的关系 对这道题 体积的计算并没有多大问题 学生 大多做得比较顺利 但到了要探讨体积之间的关 系时却犯了难 一时不知道该怎么前进 一是因为 题中所说的体积之间的关系含义不太明确 是指 等量关系呢还是大小关系呢 学生更多的理解是 讨论体积之间的大小关系 或先讨论体积之间的 大小关系 在看看体积之间有没有特别的等量关 系 二是学生不善于变换 使得到的各种结果相互 协调统一 教师用书上给出的参考答案 学生看懂证明是不难的 三个几何体的体积之间到底有哪些关系 如 何更自然 更合理地探讨体积之间的关系呢 这 些关系又能否推广到任意三角形呢 另外 三个 几何体的表面积是否也有类似的关系呢 带着这 些疑问 笔者对这道习题展开了探究 没想到却收 获了一个又一个意想不到的精彩 不断感悟和欣 赏数学那一道道美丽的风景 体验数学独特的 魅力 图 为了表示得简便和直观 约定 中 角 的对边分别为 边 上的高分 别为 的面积为 分别以边 所在直线为轴 其余各边旋转一周形成的曲 面围成三个几何体的体积分别为 表面 积分别为 图 图 旋转体的体积 直角三角形 三角形是直角三角形时的体积公式 如图 是直角三角形时 它以边 或 所在直线为轴 其余各边旋转一周形成的曲面 围成的几何体是圆锥 以斜边 所在直线为轴 其 余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是对顶 圆锥 两圆锥的底面在内部叠合 两锥顶相对 即 在底面的两侧 可得 因为 所以 年 第 卷 第 期 数学通报 则 这样就得到了 的表达式 虽然这 些式子不算太复杂 结构上也比较接近 但要根据 得出 的关系却并不容易 注 意到 的表达式结构上比较接近 看能 否变换一下 使它们在结构和成分上更加协调 统 一 注意到 用边表示的式子最复杂 是分式 且 分母为 于是想到 这样 就得到了一个优美的结论 三个几何体的体积公式是如此和谐 若再注意到 又可得 若令 则由 可得 由此知旋转体的体积与作为轴的三角形的边长成 反比 三角形是直角三角形时的体积关系 由 或 或 可知 若 则 若 则 这样 就得到结 论 在直角三角形中 以越大的边为轴生成的旋转 体的体积越小 没想到直角三角形有如此和谐的 关系 对这个发现 笔者一边是喜悦 一边是惊讶 由于直角三角形 中 利用 或 或 又可得 这又是一个十分优美的结论 其结构很像勾股定 理 它可看成是将 中的 分别换 成了 而得到的 当然 能得到的等量关系并不只有 同样利 用 或 或 还可得 等 事实上 由 可知对于直角三角形成立的 任何一个边角关系中 将 分别换成 后也都是成立的 受到对直角三角形的情形的 研究的启发 接着继续研究斜三角形的情形 锐角三角形 锐角三角形以任意一边所在直线为轴 其余 各边旋转一周形成的曲面围成的几何体都是对顶 圆锥 两圆锥的底面在内部叠合 两锥顶相对 即 在底面的两侧 由图 可知 同理 因为 所以 代入上面的式子 则有 这与直角三角形中的结果 是完全一样的 钝角三角形 钝角三角形以最大边所在直线为轴 其余各 边旋转一周形成的曲面围成的几何体是对顶圆锥 两圆锥的底面在内部叠合 两锥顶相对 即在底 面的两侧 以另外两边中的任意一边所在直线为 轴 其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体 是两个圆锥的组合体 一种凹几何体 一个大圆锥 挖去一个小圆锥 两个圆锥同底 两锥顶在底面的 同侧 由图 可知 同理 又 因为 所以 数学通报 年 第 卷 第 期 代入上面的式子 则有 这也与直角三角形中的结果 是完全一样的 至此 笔者发现了对任意三角形都成立的一 个结论 分别以边 所在直线为轴 其余 各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体的体积 分别为 的面积为 则 由 可以得出对任意三角形都成立的一些体积 关系 若 则 即在任意 三角形中 以越大的边为轴生成的旋转体的体积 越小 若 中有两个相等 则相应的体积也相 等 如当 时 必有 等 等对三角形成立的任 何一个边角关系中 将 分别换成了 后 也 都 是 成 立 的 如 等都是 对的 旋转体的表面积 经过一番探索发现 已经收获了很多 不仅得 到了三个旋转体的体积统一的计算公式 它们是 那么漂亮 还得到了很多关于三个旋转体的体积 之间的和谐的关系 既有等量关系 也有大小关 系 它们是那样的美妙 不过不要因此太满足而停 下了探索的脚步 既然体积有如此美妙的关系 那 表面积呢 由图 与图 可知 无论 是锐角三角 形还是钝角三角形 都有 当 是直角三角形时 这样 笔者又得到了一个对任意三角形都成立的 结论 分别以边 所在直线为轴 其余 各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体的表面 积分别为 的面积为 则 当 时 有 则 当 时 时 当 时 这样 由 与 就得到了一个更加统一 更加和谐更加优美的结论 即在三角形中 以越大 的边为轴生成的旋转体的体积越小 表面积也 越小 同样可得 分别以一个矩形的一边所在直线 为轴 其余各边旋转一周形成的曲面围成的两个 圆柱 其中以越大的边为轴生成的圆柱的体积越 小 表面积也越小 证明就不在这里赘述了 结语 这样 笔者经历了一个充满乐趣的数学发现 的过程 从中可以体会如何提出数学问题 并如何 解决问题的过程与方法 体验数学知识发生 发展 的