数学北师大版八年级下册利用完全平方公式因式分解.doc

青白江区2017年“一师一优课，一课一名师” 公式法（二）的教学设计课题名称： 公式法（二） 学 校： 青白江区 川化中学 姓 名： 肖 鹃 学 科： 初 中 数 学 2017.4.10公式法（二）的教学设计课题名称公式法（二）完全平方公式因式分解科目数 学教学对象八年级（下）学生课时第一课时教师肖 鹃一、教材分析本节是北师大版八年级数学下册第101页至102页的内容，即运用完全平方公式因式分解，它是进行代数恒等变形的重要手段之一。因式分解是在学习整式四则运算的基础上进行的，它不仅在多项式的了除法、简便运算中有着直接的应用，也为以后学习好分式的约分、通分、解方程（组）及三角函数的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。另外，本节课的学习是通过乘法公式(a+b) 2=a2 +2ab+b2，(a-b) =2a2 -2ab+b2的逆向变形展开的，可以进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。二、学情分析学生在七年级下册已经学习了整式的运算及乘法公式，对乘法公式的特征有了一定的认识。在本节课之前又学习了用提取公因式法和运用平方差公式分解因式，对因式分解的概念及意义有了初步的理解，这些都为本节课的学习奠定了必要的基础。再者，经过初中一年多的学习，八年级学生对中学数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力。同时，在上节课学习用平方差公式分解因式时，又经历的逆向思维的训练，这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备。当然，由于学生对完全平方公式的认识还不深刻，在判断完全平方式的时候可能会遇到一些困难，在教学中一定要引起高度的重视，既要注意“整体动作”，又要注意“分解动作”。帮助学生度过这一难关，对顺利学习因式分解是非常有必要的。三、教学目标1、经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出用完全平方公式因式分解的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力，进一步体会整式乘法与分解因式之间的联系。2、了解完全平方公式的结构特征，掌握判断完全平方式的方法，会用完全平方公式因式分解。理解由字母产生式a22ab+b2 = (ab)2向图形符号产生式的转化：3、使学生经过完全平方公式的图形符号建构过程，形成图形公式的结构模型，能较熟练地掌握完全平方公式法在因式分解中的技巧。4、理解完全平方公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性。四、教学重难点教学重点：完全平方公式的本质的理解与运用公式进行因式分解。教学难点：1、准确判断一个多项式是否为完全平方式；2、完全平方公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性；3、能准确运用完全平方公式进行因式分解；4、用完全平方公式进行因式分解的技巧，比如整体法、平方项系数为负的情况等。五、教学方法启发式教学、探究式教学、讲练相结合的方法六、教具准备白板、PPT、计算机七、教学过程教 师 活 动学 生 活 动设 计 意 图（一）、复习导入问1: 什么叫作因式分解? 我们学习了哪些因式分解方法呢？（要求学生独立思考，积极回答）问2: 大家能谈谈因式分解中的平方差公式是怎样得来的呢?1、 复习因式分解的两种方法，即提公因式法和平方差法。2、提出平方差公式的由来，学生积极动脑思考，争先恐后回答问题。 复习与本节课有关的知识，为本节课的探究做好铺垫。（二）、新知探究通过平方差公式因式分解的由来，激励学生用类比思想去思考完全平方公式是不是也能因式分解呢？1、完全平方公式（因式分解）因为整式乘法和因式分解是互逆的一个过程，因此，将上式左右两边交换顺序就得到了完全平方公式因式分解的公式： a22ab+b2 = (ab)2问3：请同学们以小组为单位分析下完全平方公式有什么样的结构特征？结论：左边多项式的结构特征： （1）有 项。 （2）有两项可以写成 形式，且符号相同。称为平方项。 （3）另一项是两平方项底数乘积的 倍，符号可“+”可“-”。称为2倍项。 右边的结构特征： 右边是平方项两底数 或 的平方。 因为a，b可以是单项式，也可以是多项式。为方便起见，有时也用代替a，用 代替b，便可以用图形符号表示公式：总结：完全平方公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性。2、完全平方式形如 的多项式称为完全平方式。【测试】 判断下列各式是不是完全平方式？请说明理由。 x2-x+ （ ） 9a2b2-3ab+1 （ ） m2+3mn+9n2 （ ） x6-10x3-25 （ ）（三）、例题解析【例1】 因式分解(1) x214x49 (2) 9a2b2-6ab+1 解：原式= x 214x7 2 = ( x + 7 )21 (3) x2 + y2 -xy (4) -x2+6x-9注：教师引导学生独立完成因式分解过程，并展示学生书写过程。规范因式分解的书写格式。公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式，那么下面这些多项式又该怎样分解呢?【例2】 因式分解(1) (x-y)214(x-y)49 (2) 9(a+b)2-6(a+b)+1 (3) a2-2a(b+c)+(b+c)2教师引导学生思考下列这些多项式能不能用同样的方法分解呢？【例3】 因式分解(1) 3ax2+6axy+3ay2 (2) 2a2-a-a3学生思考平方差公式的由来，判断完全平方公式是不是也能因式分解呢？通过互相讨论，派代表阐述观点：多项式是三项，其中有两项是平方项，还有一项是平方项底数乘积的2倍，符号可“+”可“-”。凡具备这些特点的三项式，就是一个完全平方式，便能将它写成平方形式，实现了因式分解。学生探讨字母a和b的具体含义，总结出完全平方公式的本质：结构的不变性，字母的可变性。学生思考如何判断一个多项式是完全平方式。口诀： 一找（平方项） 二验（2倍项）学生独立的完成练习。学生独立的完成，并展示。认真规范因式分解的书写格式。学生独立的完成练习，并请学生讲解做题思路,并归纳出该类题型的一般方法。学生独立的完成练习，并请学生讲解做题思路。遇到问题，老师适当提点。记住口诀：一提（公因式）二验(完全平方式)三套（公式）抛出问题，让学生思考，发挥学生的主观能动性。利用类比思想引出完全平方公式。结合整式乘法和因式分解的互逆性得出因式分解的公式。让学生再次经历从整式乘法到因式分解的转换过程，学会观察多项式的特点，用数学语言有条理地总结，培养学生的归纳和推理能力。熟记完全平方公式的特征，为后面例题和练习做铺垫。和 只是一种表示形式，具体说明完全平方公式的本质：结构的不变性，字母的可变性。给出完全平方式的概念。学生用完全平方式的特征进行判断，总结出：一找（平方项），二找（二倍项），确定完全平方式。当a，b是单项式时，直接套用公式。注意规范书写格式！总结出口诀：一验（完全平方式）二套（公式）探讨当a，b是多项式时，应采用整体思想的方法进行因式分解。根据变式理论，设计了不同形式类型的典型例题，强化完全平方公式的本质。它主要是要考察学生有没有掌握完全平方公式的结构，并灵活运用公式因式分解。【小试牛刀】 因式分解(1) x2 -12xy+36y2 (2) -x2 - 2xy - y2 (3) x2 +xy+y2 (4) (m+n)2 + 6(m +n)+9(5) 4 -12(x-y)+9(x-y)2 (6) 4xy2 4x2y y3 学生独立思考，部分题请学生口答。教师巡视，观察学生完成情况。练习巩固（四）、小结让学生分组讨论总结本节课的主要收获。在组内先各抒己见，然后每组派出一名学生总结并回答出本组的结论，最后由一名学生作全面概括总结。锻炼学生及时总结的良好习惯及归纳能力。（五）、作业 1、教材P103习题4.5第1题，第2题2、自我测评(1) 判断正误： 4x2-y2=(2x+y)(2x-y) （ ） x2+y2=(x+y)2 （ ） 9x2-6xy+y2=(3x-y)2 （ ） -x2+2xy-y2=-(x-y)2 （ ）(2) 口答，把下列多项式分解因式：9a2+6ab+b2 (3) -3x2+6xy-3y2 因式分解正确的是（ ） A. -3（x-y）2 B. -（3x+y）2 C. -3（x+y）2 D. -（3x-y）2 (4)、分解因式：4x2+20x(1-x)+25(1-x)23、能力提升因式分解：(1) (x+y)2-2x-2y+1 (2) (x+y)2-4(x+y+4) 已知 x+y=1,求 的值。根据桑代克的练习律与斯金纳的强化原理设计该练习，以巩固所学。可以让学生接触不同形式的问题，建立起以数的眼光看式子的整体观念，进一步强化完全平方公式的因式分解的方法，巩固所学知识。八、板书设计一、 复习引入二、 新课探究1、 完全平方公式特征左边特征：右边特征：2、 完全平方式三、 例题例1 （1） （2）解：原式=.例2 例3【小试牛刀】四、 小结五、 作业学生练习区域九、教学自我评价探索分解因式的方法实际上是对整式乘法的再认识，而本节课正是对完全平方公式的再认识：1、本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程并能用符号合理的表示出分解因式的关系式，同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。2、有意识的培养学生逆向思考问题的习惯，并且保证基本的运算技能的训练，避免复杂的题型训练，这是遵照课标和教材的要求。十、 教后反思与心得根据新课程标准要求和学生的起点能力，本节课的具体目标有两个，一个是准确判断完全平方式，另一个是会用完全平方公式因式分解，同时综合运用提取公因式法、公式法分解因式。我以类比的方法给出“问题情境建立数学模型解释、应用与拓展”的模式组织课堂教学。整堂课教下来我觉得自己做的比较好的几点是：1、突显特点。这节课的重点是运用完全平方公式分解因式，而完全平方式的判定是关键。所以我比较重视完全平方式特点分析，应用。尤其强调完全平方式标准模式的书写，这也是学生思维过程的暴露，有利于中等及中等以下学生对新知识的掌握，提高学生解题的准确率，对提高数学尖子生的表达能力也有好处。对以后灵活掌握用配方法解一元二次方程，求代数式最值等知识有正向迁移作用。有利于学生思维能力的发展。2、自主训练。我以先引导学生分析多项式特点，再让学生尝试分解因式的方式完成例题教学。对课本上的练习题放手让学生自己完成，体现了以教师为主导，以学生为主体，及时反馈，及时巩固教学方式。3、及时归纳。根据初二学生认知特点，教学中我给予学生及时的多归纳，总结，使学生掌握一定的条理性和规律性，有利于学生的创新和发展。如完全平方式特点形象概括（口诀记忆法，结构的对称美），因式分解步骤概括（一提二验三套），以及换元思想，整体法的提出。4、重视动态生成。教学中我发现北大附中初二3班学生思维很活跃，接受能力比较强，