2006年高考理科数学试题及答案(北京卷).pdf

绝密 启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 理工农医类 北京卷 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 理工农医类 北京卷 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 9 页 共 150 分 考试时间 120 分钟 考试结束 将本试卷和答题卡一并交回 第 卷 选择题 共 40 分 卷 选择题 共 40 分 注意事项 1 答第 卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目涂写在答题卡 2 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡 皮擦干净后 再选涂其他答案标号 不能答在试卷上 一 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目 要求的一项 1 在复平面内 复数 1 i i 对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 若a 与bc 都是非零向量 则 a ba c 是 abc 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 在1 2 3 4 5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中 各位数字之和为奇数的共有 A 36 个 B 24 个 C 18 个 D 6 个 4 平面 的斜线AB交 于点B 过定点A的动直线l与AB垂直 且交 于点C 则 动点C的轨迹是 A 一条直线 B 一个圆 C 一个椭圆 D 双曲线的一支 5 已知 31 4 1 log 1 a axa x f x x x 是 上的减函数 那么a的取值范围是 A 0 1 B 1 0 3 C 1 1 7 3 D 1 1 7 6 在下列四个函数中 满足性质 对于区间 1 2 上的任意 1212 x xxx 1221 f xf xxx 恒成立 的只有 A 1 f x x B f xx C 2xf x D 2 f xx 7 设 4710310 22222 n f nnN 则 f n等于 A 2 81 7 n B 1 2 81 7 n C 3 2 81 7 n D 4 2 81 7 n 8 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型 在某高峰时段 单位时间进出路口 A B C的 机动车辆数如图所示 图中 123 x x x分别表示该时段单位时间通过路段 AB BC CA 的机动车辆数 假设 单位时间内 在上述路段中 同一路段上驶入与驶出的车辆数 相等 则 20 30 35 30 55 50 A 123 xxx B 132 xxx C 231 xxx D 321 xxx 绝密 启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 理工农医类 北京卷 第 卷 共 110 分 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 理工农医类 北京卷 第 卷 共 110 分 注意事项 1 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2 答卷前将密封线内的项目填写清楚 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 把答案填在题中横线上 9 2 2 1 32 lim 1 x xx x 的值等于 10 在 7 2 x x 的展开式中 2 x的系数中 用数字作答 11 若三点 2 2 0 0 0 AB aCb ab 共线 则 11 ab 的值等于 12 在ABC 中 若sin sin sin5 7 8ABC 则B 的大小是 13 已知点 P x y的坐标满足条件 4 1 xy yx x 点O为坐标原点 那么 PO的最小值 等于 最大值等于 14 已知 A B C三点在球心为O 半径为R的球面上 ACBC 且ABR 那么 A B 两点的球面距离为 球心到平面ABC的距离为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题共 12 分 已知函数 12sin 2 4 cos x f x x 求 f x的定义域 设 是第四象限的角 且 4 tan 3 求 f 的值 16 本小题共 13 分 已知函数 32 f xaxbxcx 在点 0 x处取得极大值5 其导函 数 yfx 的图象经过点 1 0 2 0 如图所示 求 0 x的值 a b c的值 17 本小题共 14 分 如图 在底面为平行四边表的四棱锥PABCD 中 ABAC PA 平面 ABCD 且PAAB 点E是PD的中点 求证 ACPB 求证 PB平面AEC 求二面角EACB 的大小 18 本小题共 13 分 某公司招聘员工 指定三门考试课程 有两种考试方案 方案一 考试三门课程 至少有两门及格为考试通过 方案二 在三门课程中 随机选取两门 这两门都及格为考试通过 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a b c 且三门课程考试是否及格 相互之间没有影响 分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率 试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小 说明理由 19 本小题共 14 分 已知点 2 0 2 0 MN 动点P满足条件 2 2PMPN 记动点P的轨 迹为W 求W的方程 若 A B是W上的不同两点 O是坐标原点 求OA OB 的最小值 20 本小题共 14 分 在数列 n a中 若 12 a a是正整数 且 12 3 4 5 nnn aaan 则称 n a为 绝对差数列 举出一个前五项不为零的 绝对差数列 只要求写出前十项 若 绝对差数列 n a中 2021 3 0aa 数列 n b满足 12nnnn baaa 1 2 3 n 分别判断当n 时 n a与 n b的极限是否存在 如果存在 求 出其极限值 证明 任何 绝对差数列 中总含有无穷多个为零的项 2006 年高考理科数学参考答案 北京卷 2006 年高考理科数学参考答案 北京卷 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 1 D 2 C 3 B 4 A 5 C 6 A 7 D 8 C 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 2 1 10 14 1 2 1 12 3 13 2 10 14 R 3 1 R 2 3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 15 共 12 分 解 由 cosx 0 得 2 Zkkx 故f x 的定义域为 Zkkx 2 因为 3 4 tan a 且 a 是第四象限的角 所以 5 4 sin a 5 3 cos a 故 a a af cos 4 2sin 21 5 14 sin cos2 cos cossin2cos2 cos 2cos2sin1 cos 2cos 2 2 2sin 2 2 21 2 aa a aaa a aa a aa 16 共 13 分 解法一 解法一 由图象可知 在 1 上0 x f 在 1 2 上0 x f 在 2 上0 x f 故 xf在 1 2 上递增 在 1 2 上递减 因此 xf在x 1 处取得极大值 所以1 0 x cbxaxxf 23 2 由 5 1 0 2 0 1 fff 得 5 0412 023 cba cba cba 解得a 2 b 9 c 12 解法二 解法二 同解法一 设mmxmxxxmxf23 2 1 2 又cbxaxxf 23 2 所以 2 2 3 3 mcmb m a mxmxx m xf2 2 3 3 23 由5 1 f 即52 2 3 3 mm m 得 m 6 所以 a 2 b 9 c 12 17 共 14 分 解法一 解法一 PA 平面 ABCD AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影 又 AB AC AC 平面 ABCD AC PB 连接 BD 与 AC 相交于 O 连接 EO ABCD 是平等四边形 O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 EO PB 又 PB 平面 AEC EO 平面 AEC PB 平面 AEC 取 BC 中点 G 连接 OG 则点 G 的坐标为 0 2 00 2 2 b OG ba 又 0 0 2 2 0 0aAC bb E 00 00 ACGACE OE AC OG AC EOG 是二面角 E AC B 的平面角 2 2 00 00 0 0coscos GE GE GEEOG 135EOG 二面角BACE 的大小为 135 18 共 13 分 解 记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A B C 则 cCPbBPaAP 应聘者用方案一考试通过的概率 abccabcab abcbacabccab CBAPCBAPCBAPCBAPp 2 111 1 应聘者用方案二考试通过的概率 cabcab CAPCBPBAPp 3 1 3 1 3 1 3 1 2 因为 1 0 cba所以 21 21 0111 3 2 2 3 2 pp bcaabccab abccabcabpp 故 即采用第一种方案 该应聘者考试通过的概率较大 19 共 14 分 解法一 解法一 由22 PNPM知动点 P 的轨迹是以 M N 为焦点的双曲线的右支 实 半轴长2 a 又半焦距 c 2 故虚半轴长2 22 acb 所以 W 的方程为2 1 22 22 x yx 设 A B 的坐标分别为 11 y x 22 y x 当2 2 1 2 121212121 yxyyxxOBOAyyxxxAB从而轴时 当 AB 与 x 轴不垂直时 设直线 AB 的方程为y kx m 与 W 的方程联立 消去 y 得 0221 222 mkmxxk 故 1 2 1 2 2 2 21 2 21 k m xx k km xx 所以 2121 yyxxOBOA 1 4 2 1 22 1 2 1 21 1 22 2 2 2 22 2 22 2 2121 2 2121 kk k m k mk k mk mxxkmxxk mkxmkxxx 又因为200 01 0 2 21 BAkxx从而所以 综上 当OBOAxAB 轴时取得最小值 2 解法二 解法二 同解法一 设 A B 的坐标分别为 2211 yxyx 则 2 12 22 iyxyxyx iiiiii 令 iiiiii yxtyxs 则 2 10 0 2 itsts iiii 且 所以 2 2 1 2 1 4 1 4 1 21212121 22112211 2121 ttssttss tstststs yyxxOBOA 当且仅当 21 21 2121 yy xx ttss即时 成立 所以OBOA 的最小值是 2 20 共 14 分 解 1 0 1 1 0 1 1 2 1 3 10987654321 aaaaaaaaaa 答案不惟一 解 因为绝对差数列0 3 2120 aaan中 所以自第 20 项开始 该数列是 0 3 3 0 3 3 0 3 2726252423222120 aaaaaaaa 即自第 20 项开始 每三个相邻的项周期地取值 3 0 3 所以当 n时 an的极 限不存在 当6lim 6 20 21 n n nnnn baaabn所以时 证明 根据定义 数列 n a必在有限项后出现零项 证明如下 假设 n a中没有零项 由于 21 nnn aaa 所以对于任意的 n 都有1 n a 从而 当 31 12121 naaaaaa nnnnnn 时 当 31 12121 naaaaaa nnnnnn 时 即 n a的值要么比 1 n