统计基础第五章.ppt

第五章平均指标及变异指标 本章相关内容 第一节平均指标的概念和作用第二节算术平均数和调和平均数第三节中位数和众数第四节标志变异指标 第一节平均指标 平均指标 是总体内各单位某一数量标志值一般水平或代表水平的指标 采用平均数可以使同质总体中的各个总体单位某一数量标志值之间的差异程度互相抵消 反映社会经济现象的一般水平 平均指标是同一总体的标志总量与单位总量的比值 而强度相对指标则是两个不同总体的总量指标的对比 分子中的每一个指标值在分母中都有相应的个体来承担 注 1 分子 分母都是针对同一总体的指标2 强度指标与平均指标的区别 第一节平均指标的概念和作用 2 平均指标的种类 平均指标 数值平均数 位置平均数 算术平均数 调和平均数 几何平均数 众数 中位数 第一节平均指标的概念和作用 3 平均指标的特点 4 平均指标的作用 概括地说明总体数量集中趋势 便于对比分析 是制定定额计划的重要依据 反映现象数量内在规律性 分析现象之间的依存关系 用来估计 推算和计算其他有关的指标 第二节数值平均数的计算方法 一 算术平均数算术平均数是同一总体内的标志总量除以总体单位总量 基本公式如下 算术平均数 1 只有数量标志才有标志总量 才能计算平均数 2 基本公式中的分子和分母 必须是同一总体的两个总量指标 3 平均数与强度相对数在实质上是不同的 平均指标是在一个同质总体内标志总量和单位总量的对比关系 它要求标志总量和单位总量相适应 运用该公式应注意的问题 二 简单算术平均数 简单算术平均数是指各个标志值加总得到标志总量 然后除以总体单位总量 是计算未分组资料算术平均数的方法 公式形式 例 某生产小组5名工人 其日产量分别为20 22 24 28 30件 则 平均每人日产量为 三 加权算术平均数 加权算术平均法是用来计算分组资料的算术平均数的方法 公式形式 权重以绝对数表示 权重以相对数表示 例 例 二 调和平均数在实际统计工作中 有时由于所取得的资料无法直接用算术平均数计算 需要用调和平均数的形式间接计算出算术平均数 1 调和平均数的含义调和平均数是标志值倒数的算术平均数的倒数 所以又叫倒数平均数2 调和平均数公式形式 1 简单调和平均数公式 例 有某种水果在甲 乙 丙三个农贸市场的价格分别为1 00元 千克 0 90元 千克 0 90元 千克 如果在这三个农贸市场各买1元钱的水果 那么平均每千克水果的价格应为多少 二 加权调和平均数公式形式 加权算术平均数 例 某种水果在甲 乙 丙三个农贸市场上的价格及销售情况如表 平均价格 m为权数 算术平均法与调和平均法的实际运用中如何选择 1 写出算术平均法的具体公式 2 找出所缺的分子资料或分母资料 3 选择公式 4 确定何为变量 何为权数 并进行计算 算术平均数和调和平均数并没有本质上的区别 二者采用的基本计算方法是相同的 都是用标志总量除以单位总量 只不过在实际工作中 由于掌握资料的不同需要进行一定的数学变换 具体应用选择中可按以下步骤 例 某企业本周分四批购进某材料 资料如表 计算这四批材料的平均价格 15400 59000 9600 14000 20000 采购量已知时 采购金额已知时 400500350200 随堂训练 算术平均数与调和平均数的选择运用举例 1 根据各组的相对数计算总体相对数某公司10个企业产值完成情况资料如表 要求计算该公司的产值计划完成程度 190 840 575 200 500 800 1500 1605 190840540 计划总产值已知时计算公式如下 实际总产值已知时计算公式如下 2 根据各组的平均数计算总体平均数例 某村粮食产量情况如表 要求计算该村粮食的平均单产 播种面积绝对数已知时 播种面积相对数已知时 粮食总产量已知时 三 几何平均数1 概念几何平均数是计算平均比率和平均发展速度比较适宜的方法 它是将构成总体的各个变量值连乘积后开该变量值的个数次方而得出的 2 几何平均数的计算 1 简单几何平均数 1994 1998年我国工业品的产量分别是上年的107 6 102 5 100 6 102 7 102 2 计算这5年的平均发展速度 2 加权几何平均数 某投资银行25年的年利率分别是 1年3 4年5 8年8 10年10 2年15 求平均年利率 如果掌握的是分组资料 则必须采用加权几何平均数计算方法计算 计算公式为 举例 例1 某机械厂有4个连续流水线作业的车间 本月份毛坯车间制品合格率为95 粗加工车间合格率为92 精加工车间合格率为90 装配车间合格率为85 求4个车间的平均合格率 例2 某商品从出厂到一级批发站毛利率为8 一级到二级批发站毛利率为10 二级站到零售商毛利率为10 零售店到消费者毛利率为15 求该商品4个环节平均每个环节的毛利率例3 投资银行某笔投资的年利率是按复利计算的 25年的年利率分别是有1年是3 有4年是5 有8年是8 有10年是10 有2年是15 求平均年利率 一 未分组资料确定中位数首先将标志值按大小顺序排列项数为奇数 居于中间的单位的标志值项数为偶数 中位数为居于中间的那两个单位标志值的平均值 一 中位数 概念 中位数是将总体各单位的标志值按大小顺序排列 处于数列中点位置的标志值为中位数 一般用字母Me表示 未分组资料 未分组资料 未分组资料 第三节位置平均数的计算 位置平均数是另一种形式的平均指标 它们不是根据总体的全部标志值或变量值计算的 而是根据其在总体中所处的位置确定的 因此 称为位置平均数 一 未分组资料确定中位数首先将标志值按大小顺序排列项数为奇数 居于中间的单位的标志值项数为偶数 中位数为居于中间的那两个单位标志值的平均值 未分组资料 未分组资料 未分组资料情况下的计算 第三节位置平均数的计算 随堂训练 某班7个学生的数学成绩依次排列为65分 75分 78分 82分 89分 91分 95分 则该数列的中点位次为 Om 7 1 2 4所以 排在第4位的标志值即为中位数 即82分 若有8位学生的成绩 他们依次为65分 68分 75分 78分 82分 89分 91分 95分 则该数列的中点位次为 Om 8 1 2 4 54 5在第4和第5位次中间 则中位数为第4 第5位次对应的标志值的算术平均数 即Me 78 82 2 80分 二 单项式分组资料确定中位数 再根据位次用较小累计次数或较大累计次数的方法将次累计次数刚超过中位数位次的组确定为中位数组 该组的标志值即为中位数 中位数位置 80 2 40中位数值 34 用公式确定中位数的位次 单项式分组资料 31 三 组距分组资料确定中位数 用公式确定中位数的位次 下限公式 上限公式 式中 L表示中位数组的下限 U表示中位数组的上限 fm表示中位数组的次数 Sm 1表示中位数组以前各组的次数之和 Sm 1表示中位数组以后各组的次数之和 d表示中位数组的组距 组距分组资料 中位数位次 中位数所在组 70 80这一组 随堂训练 某校管理专业学生统计成绩如下 求中位数 1 众数的概念众数是总体中出现次数最多的标志值 它能直观地说明客观现象分配中的集中趋势 用字母M0表示 2 众数的计算方法 下限公式 上限公式 式中 M0表示众数 L表示众数组的下限 U表示众数组的上限 1表示众数组次数与前一组次数之差 2表示众数组次数与后一组次数之差 d表示众数组的组距 二 众数 众数的特点众数是位置平均数 不受极端数值的影响 众数只有在总体单位数多 而且具有明显的集中趋势时 才有合理的代表性和现实意义 当总体单位数少 或者总体单位数虽多 但无明显集中趋势时 就不存在众数 随堂训练 某校管理专业学生计算机成绩如下 求众数 1 在对称正态分布时有 Mo Me 2 在非对称正态分布时 三者之间有差异 当变量的次数分布左偏时 有Mo Me 当变量的次数分布右偏时 有Mo Me 英国统计学家卡尔 皮尔逊根据其经验认为 当正态分布适度偏态时 三者之间还存在如下的近似关系 三 各种平均数之间的关系 第四节变异指标 一 变异指标概念变异指标是综合反映总体各单位标志值之间差异程度的指标 体现变量值的离中趋势 2 变异指标和平均指标的区别 一 两者都是一个代表值 但代表的内容不同 二 两者对变量值差异的处理不同 三 平均指标体现变量值的集中趋势 变异指标体现变量值的离中趋势 第四节标志变异指标 3 标志变异指标的作用 1 衡量平均指标代表性的大小的尺度 2 研究现象的稳定性和均衡性 3 测定现象变动的均匀性或稳定性程度 4 标志变异指标的种类 全距也称极差 是测定标志变异程度反映总体标志值的变动范围 离散系数是以相对数形式表示的变异指标 又称变异系数 平均差是各单位标志值对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数 标准差是总体中各单位标志值与算术平均数的离差平方和的算术平均数的平方根 又称均方差 二 常用标志变异指标 1 全距 全距 最大标志值 最小标志值R Xmax Xmin 全距是测定标志变异程度的最简单的指标 它是标志的最大值和最小值之差 反映总体标志值的变动范围 用R表示 例 两组工人的工资数据 单位 元 如下 甲 900100011001200128014802000乙 1200125014001500156017001750工资的全距 甲组为1100元 乙组为550元 说明甲组工人工资水平差别比乙组工人工资水平差别大 某年上证指数全距资料 全距的优缺点优点 计算简单 缺点 但提供的信息不全面 不能全面反映标志值的离散程度 如果极端数值相差较大 而中间数值分布比较均匀时 全距便不能确切反映其离散程度 二 平均差 计算公式 概念 平均差是各单位标志值对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数 反映的是各标志值对其平均数的平均差异程度 用A D 表示 简单式平均差适用未分组资料 加权式平均差适用已分组资料 优点 能全面反映总体各标志值的变动范围缺点 不可导 不便于进行进一步的计算分析 随堂训练 平均差 12 099 平均差的计算 三 标准差 标准差公式 标准差是总体中各单位标志值与算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根 又称为均方差 标准差的平方称为方差 它是描述变量之间差异程度的重要指标 简单式标准差适用未分组资料 加权式标准差适用分组资料 三 标准差 缺点 能全面反映总体分布的差异情况 用平方法消除正负符号 更便于数学上的处理 具有更广泛的数学性质 尤其在数理统计中 标准差的应用更为广泛 优点 计算较麻烦 随堂训练标准差的计算已知某企业工人工资资料如下表 计算其工资的平均差 标准差 工资的平均数为 工资的平均差为 工资的标准差为 四 标志变