随机过程课后习题.pdf

V k0 D 1 X tD0 h tln 1 C t lnkt i D ln 1 1 X tD0 tC 1 X tD0 t h1 t 1 ln C tlnk0 i D 1 lnk0C ln 1 1 C ln 1 X tD0 t 1 t 1 D 1 lnk0C ln 1 1 C 1 1 ln 左边 D V k D 1 lnk C ln 1 1 C 1 1 ln 4 D 1 lnk C A 右边 D max n u f k y C V y o 利用 FOC 和包络条件求解得到 y D k 代入 求右边 右边 D max n u f k y C V y o D u f k g k C h 1 lng k C A i D ln k k C h 1 ln k C A i D ln 1 C lnk C h 1 ln C lnk C k i D lnk C 1 lnk C ln 1 C 1 ln C A D 1 lnk C ln 1 C 1 ln C A D 1 lnk C 1 A C A D 1 lnk C A 所以 左边 D 右边 证毕 e Key To Stochastic Process 随机过程课后习题 You will to be the one you want to be 整理 吴晓民 整理时间 April 8 2014 Email xmwu Version 1 00 第 1 章 概率空间与随机变量 第 2 章 数字特征与极限理论 设 f g 是 F 上非负实简单函数 证明 L S 积分满足下述性质 1 若 f g 则 Afd Agd 2 若 R 则 A f g d Afd Agd 3 若 Ai F i 1 2 n Ai Aj i j A n i 1Ai 则 Afd n i 1 Ai fd 问题 1 1 令 A 的一个分割为 A n i 1Ai Ai Aj i j 则 A fd n i 1 ciIAi A gd n i 1 diIAi 由 0 f g 可得 0 0 y 0 0 其他 2 f x y 2exp x 0 y x 0 其他 试分别求 E y E 和 E 问题 2 1 f y 0 1 y exp y x y exp y E y x f y dx 0 x f f y dx 0 x 1 y exp x y dx y E E E E E 0 y f y dy 0 exp ydy 1 2 0 y x 时 f y y 2exp xdx exp y E y y x f f y dx y 1 E 1 E E E E 1 0 y exp ydy 1 1 1 2 解答 设二维随机变量 的联合密度函数为 f x y exp x yexp y y 0 x y 0 E 3 6 3 解答 设 是两个相互独立同分布的随机变量 1 服从 0 1 上的均匀分布 2 服从参数为 的指数分布 试分别求出这两种情况下的 E y 和 D y 问题 4 1 相互独立 则 E y E 1 0 xdx 1 2 E 2 1 0 x2dx 1 3 D y D E 2 E 2 1 12 2 同理 E y E 0 x exp xdx 1 E 2 0 x2 exp xdx 2 2 D y D E 2 E 2 1 2 解答 设随机变量 相互独立 N 1 2 1 N 2 2 2 试求出 的矩母函数 问题 5 6 10 第 2 章 数字特征与极限理论 由题可知 g exp x 1 2 1 exp x 1 2 2 2 1 dx exp 1 2 1 2 2 同理 有 g exp 2 2 2 2 2 可得 g exp 1 2 2 1 22 2 2 解答 某人设计了一个迷宫 设任一时刻都可以等可能的选择三条通道之一 从第一条 通道出去平均需要 3 分钟 从第二条通道平均花费 5 分钟后又回到原地 从第三 条通道走 平均花费 7 分钟后也回到原地 试求出游人到达出口平均要花费多长 时间 问题 6 7 10 假设游客足够聪明 不再选择失败的道路 一次选择出去 P 1 P 1 1 3 t 1 3 两次选择出去 P 2 P 2 1 P 3 1 1 3 1 2 1 3 1 2 t 2 1 8 t 3 1 10 三次选择出去 P 3 P 2 3 1 P 3 2 1 1 3 t 2 3 1 t 3 2 1 15 平均花费时间 T 5 i 1piti 9 min 若游客无脑 事实上也常常如此 只要有一次选择道路 1 就可以了 假设出来前选择道路 2 的次数为 n1 选择道路 3 的次数为 n2 总时间为 t 3 5n1 7n2 概率为 P t 3 5n1 7n2 1 3 Cn1 n1 n2 1 3 n1 n2 平均时间 n1 0 n2 0 3 5n1 7n2 Cn1 n1 n2 1 3 n1 n2 1 15 min 更简单的解法 E t 1 3 3 1 3 5 E t 1 3 7 Et E t 15 min 解答 周 日 进 入 某 餐 馆 的 顾 客 是 随 机 变 量 N Xi是 第 i 个 顾 客 所 花 的 钱 数 X1 X2 XN是服从 0 100 的均匀分布的独立同分布的随机变量序列 N 是服从参数为 50 的泊松分布 且 Xi与 N 相互独立 试求出该餐馆一天的营 业额的均值 问题 7 人均消费为 E Xi 50 总营业额 k 0 50k p N k k 0 50k 50k k exp 50 2500exp 50 k 1 50k 1 k 1 2500 解答 8 10 第 2 章 数字特征与极限理论 身高为 x cm 的男子 其成年儿子的身高服从以均值为 x 3 方差为 10 的正态 分布 问身高为 175 cm 的男子 其成年儿子的身高的最佳预测值是多少 问题 8 h N 178 10 故最佳预测为 E h 178 解答 设 Xn n 0 1 2 是一随机变量序列 且 Xn n0n 1 nk 1 2 nk 1 nk 其中 k 是正常数 试证明 1 当 k 1 时 Xn a s 0 2 当 k 2 时 l i m n Xn 0 3 当 k 2 时 Xn不均方收敛于 0 问题 9 1 k 0 时 P limn Xn 0 limn 1 2 nk 1 故 Xn a s 0 2 k 2 时 lim n E Xn 0 2 lim n 2 nk n2 1 2 nk 02 lim n 2 nk 2 0 故 l i m n Xn 0 3 k 2 时 lim n E Xn 0 2 lim n 2 nk 2 2 k 2 k 2 故此时 Xn不均方收敛于 0 解答 9 10 假设 n 和 n 分别均方收敛于 证明 1 E n 收敛于 E E 2 n 收敛于 E 2 2 n n 均方收敛于 3 E n n 收敛于 E 问题 10 已知条件 limn E n 2 0 limn E n 2 0 由 不等式即可证明 1 Lyapunov 不等式 Holder 不等式 2 Minkowski 不等式 3 1 2 的结果或者 Holder 不等式 解答 某商店售出的手表中 60 是数字显示的 40 是模拟显示的 记 X 是未来 8 位要购买手表的顾客中购买数字显示的顾客数 请对 X 的每一个可能取值 x 0 1 8 计算 p x P X x 并作出其概率直方图 在图上描出 X 的数 学期望的位置 问题 11 由题意可知 顾客买数字式手表的概率 p1 0 6 买模拟式手表的概率为 p2 0 4 故有 p x P X x Cx 80 6 x0 48 x x 0 1 2 8 E X 4 8 解答 10 10 第 2 章 数字特征与极限理论 若 1 2 是独立同分布随机变量序列 分别以下列分布给出大偏差原 理的速度函数 1 i N 2 2 i 服从参数为 的指数分布 3 i 服从参数为 的泊松分布 问题 12 矩母函数 g E exp i l a sup a l