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文档简介
平面向量的基本概念及线性运算主讲教师:苏怀堂【知识概述】1.向量的基本概念 (1)既有大小又有方向的量叫向量,向量可以用有向线段表示.(2)向量的大小,也就是向量的长度(又称模),记作;长度为0的向量叫零向量,记作;长度为1个单位的向量叫单位向量;方向相同或相反的非零向量叫平行向量,规定 ,平行向量又叫共线向量;长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2.向量加法运算及其几何意义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.设A,B,C是平面上的任意三点,则 .(1)向量加法的三角形法则:如图,已知非零向量,在平面内任取一点A,作,则.(2)向量加法的平行四边形法则:如图,已知向量,以为邻边作,则.3.向量减法运算及其几何意义 求两个向量差的运算叫向量的减法, .向量减法的几何意义:两个向量共起点,两终点连线指向被减向量的向量就是这两个向量的差: .4.向量数乘运算及其几何意义 ,规定: ;.5.平面向量的基本运算律 ;.6.平面向量的坐标运算 ,;.7.两个向量平行的充要条件 【学前诊断】1. 难度 易 下列结论正确的是( ) A.2008m长的线段不可能表示单位向量 B.若O是直线e上的一点,单位长度已选定,则e上有且只有两个点A,B,使 是单位向量 C.若是单位向量,也是单位向量,则,或 D.一个人从点A向东走500米到达B点,则向量不能表示这个人从A点到B点的位移2. 难度 易 向量. 3. 难度 易 已知,求向量的坐标.【经典例题】例1. 判断下列说法是否正确,并说明理由(1)任何两个单位向量都是平行向量;(2)零向量是没有方向的;(3)在ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,则向量是平行向量;(4);(5)若非零向量是平行向量,则直线AB与直线CD平行;(6)非零向量是模相等的平行向量.例2. 一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点,然后又改变方向向西偏北50行 驶了200km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100km到达D点.(1)作出向量; (2)求.例3. 如图,菱形ABCD,对角线AC与BD交于点O,且DAB=60(1)写出图中相等向量; (2)写出图中平行向量;(3)写出图中模相等向量.例4. O是ABC内一点,且,判断O是ABC的什么心?例5. 化简下列各式(1);(2).例6. 已知非零向量不共线(1) 如果,求证A,B,D三点共线;(2) 欲使共线,试确定实数k的值.例7. 已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若点P在第三象限,且, 求实数的取值范围.例8. 如图所示,ABC的顶点A,B,C坐标分别为,其重心为G, 坐标为.求证:.【本课总结】1.(1)准确画出向量,方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点; (2)要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型,“数学建模”能力是今后培养的主要方向,需要在日常学习中不断积累经验.2.(1)向量是可以自由移动的,因此共线向量和平行向量实质是一致的; (2)向量是不可以进行大小比较的,但有相等向量,只有当两个向量同向且相等时,才称为相等; (3)注意向量与实数0的区别: 向量表示长度为0的向量,即,它的方向是任意的,可以认为向量与任意一个向量都平行,而0是一个没有方向的实数.3.(1)向量共线的充要条件:(2)要证明A,B,C三点共线,只需证明存在实数,使得 【活学活用】1. 难度 中设是两个不共线向量, ,则A,B,C三点共线的充要条件是( ) 2. 难度 中已知向量集合,则3. 难度 难已知为平面的基底,对于非零向量如果存在
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