人教A版选修45 3.3排序不等式 课时作业 .doc

3.3排序不等式同步检测一、选择题1. 已知两组数a1a2a3a4a5，b1b2b3b4b5，其中a1=2，a2=7，a3=8，a4=9，a5=12，b1=3，b2=4，b3=6，b4=10，b5=11，将bii=1，2，3，4，5重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5则a1c1+a2c2+a5c5的最大值和最小值分别是( )a.132，6 b.304，212 c.22，6 d.21，36答案：b解析：解答：因为，所以a1c1+a2c2+a5c5的最大值为，最小值为，故选b分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是根据排序不等式分析计算即可.2. 若a=x12+x22+xn2，b=x1x2+x2x3+xn-1xn+xnx1，其中x1，x2，xn，都是正数，则a与b的大小关系为( )a.ab b.ab c.ab d.ab 答案：c解析：解答：依序列xn的各项都是正数，不妨设00，所以a3b3c3，根据排序不等式，得a3a+b3b+c3ca3b+b3c+c3a.又知abacbc，a2b2c2，所以a3b+b3c+c3aa2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4a2bc+b2ca+c2ab，即a2a2-bc+b2b2-ac+c2c2-ab0.分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是根据排序不等式分析计算即可.4. 设a1，a2，a3为正数，e=a1a2a3+a2a3a1+a3a1a2，f=a1+a2+a3，则e，f的大小关系是( )a.ef b.ef c.ef d.ef 答案：b解析：解答：不妨设a1a2a30，于是1a11a21a3，a2a3a3a1a1a2.由排序不等式：顺序和乱序和，得a1a2a3+a3a1a2+a2a3a11a2a2a3+1a3a3a1+1a1a1a2=a3+a1+a2，即a1a2a3+a2a3a1+a3a1a2a1+a2+a3.ef.分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是，不妨设a1a2a30，于是1a11a21a3，a2a3a3a1a1a2根据排序不等式分析计算即可.5. 设a，b，c都是正数，则式子m=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab与0的大小关系是（ ）a.m0b.m0c.m与0的大小关系与a，b，c的大小有关d不能确定答案：a解析：解答：不妨设abc0，则a3b3c3，且a4b4c4，则a5+b5+c5=aa4+bb4+cc4ac4+ba4+cb4.又a3b3c3，且abacbc，a4b+b4c+c4a,=a3ab+b3bc+c3caa3bc+b3ac+c3ab.a5+b5+c5a3bc+b3ac+c3ab.m0.分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是不妨设abc0，则a3b3c3，且a4b4c4然后根据排序不等式计算即可二、填空题6. 已知a，b，c都是正数，则ab+c+bc+a+ca+b_.答案：解析：解答：设，所以1b+c1c+a1a+b.由排序不等式，知ab+c+bc+a+ca+bbb+c+cc+a+aa+b， ab+c+bc+a+ca+bcb+c+ac+a+ba+b. ，得ab+c+bc+a+ca+b32.分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是设，所以1b+c1c+a1a+b.然后根据排序不等式的性质计算即可.7. 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和3件，现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元和礼品，则至少要花_元，最多要花_元.答案：19|25解析：解答：因为，所以不妨设，易知其最大值为25，最小值为19.分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是不妨设，易知其最大值为25，最小值为198. n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为_答案：n解析：解答：设0a1a2a3an，则0an-1an-1-1a1-1，则由排序不等式得：反序和乱序和顺序和.最小值为反序和a1a1-1+a2a2-1+anan-1=n.分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是0a1a2a3an，则01c21cn-1且b11，b22，bn-1n-1，c12，c23，cn-1n.利用排序不等式，有a1a2a2a3an-1an1223n-1n.原不等式成立.解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系.12. 设a，b，c都是正实数，求证：1a+1b+1ca8+b8+c8a3b3c3答案：证明：设abc0，则1c1b1a，而1b3c31c3a31a3b3.由不等式的性质，知a5b5c5.根据排序不等式，知a5b3c3+b5c3a3+c5a3b3a5c3a3+b5a3b3+c5b3c3=a2c3+b2a3+c2b3.又由不等式的性质，知a2b2c2，1c31b31a3.由排序不等式，得a2c3+b2a3+c2b3a2a3+b2b3+c2c3=1a+1b+1c.由不等式的传递性，知1a+1b+1ca5b3c3+b5c3a3+c5a3b3=a8+b8+c8a3b3c3.原不等式成立.解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是设abc0，得到1c1b1a，所以1b3c31c3a31a3b3，然后由不等式的性质，知a5b5c5.结合排序不等式的性质计算证明即可.13. 设a1，a2，a3为正数，求证：a1a2a3a2a3a1a3a1a2a1a2a3.答案：证明：不妨设a1a2a30，于是1a11a21a3，a3a2a3a1a1a2，由排序不等式：顺序和乱序和得a1a2a3a2a3a1a3a1a21a2a2a31a3a3a11a1a1a2a3a1a2.即a1a2a3a2a3a1a3a1a2a1a2a3.解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是不妨设a1a2a30，于是1a11a21a3，a3a2a3a1a1a2，然后根据排序不等式性质计算即可.14. 设x0，求证：1xx2xn(2n1)xn答案：证明：一：当x1时1xx2xn，由排序原理：顺序和反序和，得11xxx2x2xnxn1xnxxn-1xn1xxn1，即1x2x4x2n(n1)xn.又因为x，x2，xn，1为序列1，x，x2，xn的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和反序和，得1xxx2xn-1xnxn11xnxxn-1xn-1xxn1，得xx3x2n-1xn(n1)xn.将和相加得1xx2xn(2n1)xn.二：当0x1时，1xx2xn，但仍然成立，于是也成立.综合一、二，证毕.解析：分析：考查排序不等式的应用.解答本题需要注意：题目中只给出了x0，但对于x1，x1没有明确，因此需要进行分类讨论.15. 设a，b，c都是正数，求证：bca+cab+abca+b+c.答案：证明：由题意不妨设abc0，由不等式的单调性，知abacbc，1c1b1a.由排序不等式，知ab1c+ac1b+bc1aab1b+ac1a+bc1c，即所证不等式bca+cab+abca+b+c成立.解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是不等式的左边，可以分为数组ab，ac，bc和，排出顺序后，可利用排序不等式证明.16. 设a，b，c都是正实数，求证：aabbccabca+b+c3答案：证明：不妨设abc0，则，据排序不等式，有，且，以上三式相加整理，得3alga+blgb+clgca+b+clga+lgb+lgc，即lgaabbcca+b+c3lgabc.故aabbccabca+b+c3.解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是不妨设abc0，则，据排序不等式分组计算，然后相加即可证明17. 已知，求证：sincossincossincos12(sin2sin2sin2).答案：证明：02，且ysin x在(0，2)为增函数，ycos x在(0，2)为减函数，0sin sin sin ，cos cos cos 0.根据排序不等式得：乱序和反序和.sin cos sin cos sin cos 12(sin 2sin 2sin 2)解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是根据00.则a2b2，1b1a.所以a2bb2a.根据排序不等式，知a2b1b+b2a1aa2b1a+b2a1b，即ab2+ba2ab+ba.解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是由题意不妨设ab0.则a2b2，1b1a.所以a2bb2a，然后根据排序不等式性质计算即可19. 已知a，b，c为正数，abc，求证：1bc1ca1ab.1b3c31c3a31a3b31a1b1c.答案：证明：ab0，于是1a1b，又c0，1c0，从而1bc1ca.同理，bc0，于是1b1c，a0，1a0，于是得1ca1ab.从而1bc1ca1ab.由 1bc1ca1ab，于是由顺序和乱序和得，a5b3c3b5c3a3c5a3b3b5b3c3c5c3a3a5a3b3b2c3c2a3a2b3(a2b2c2，1c31b31a3)c2c3a2a3b2b31c1a1b1c1a1b1c.解析：分析：本题考查排序不等式的直接应用，解答本题需要分析式子结构，然后通过对比、联想公式，构造数组，利用公式求解.20. 设a，b，c为正数，求证：a2+b22c+b2+c22a+c2+a22ba3bc+b3ca+c3ab.答案：证明：不妨设0abc，则a3b3c3.01bc1ca1ab，由排序不等式：乱序和顺序和，得a31ca+b31ab+c31bca31bc+b31ca+c31ab a31ab+b31bc+c31caa31bc+b31ca+c31ab 将两式相加，得a2+b2c+b2+c2a+c2+a2b2a3bc+b3ca+c3ab，将不等式两边除以2，得a2+b22c+b2+c22a+c2+a22ba3bc+b3ca+c3ab.解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是不妨先设定0abc，再利用排序不等式加以证明21. 在abc中，试证：3aa+bb+cca+b+c2.答案：解：不妨设abc，于是abc，由排序不等式，得：aa+bb+cc=aa+bb+cc，aa+bb+ccba+cb+ac，aa+bb+ccca+ab+bc.相加，得3aa+bb+cca+b+ca+b+c=a+b+c，得aa+bb+cca+b+c3， 又由0b+c-a，0a+b-c，0a+c-b，有0ab+c-a+ca+b-c+ba+c-b=ab+c-a+ba+c-b+ca+b-c=a-2a+b-2b+c-2c=a+b+c-2aa+bb+cc，得aa+bb+cca+b+c2. 综合得证.解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是可构造abc的边和角的序列，应用排序不等式 证明22. 设a，b，c为正数，求证：a12bc+b12ca+c12aba10+b10+c10.答案：解：设abc，则a12b12c12，1bc1ca1ab，由顺序和乱序和，得a12bc+b12ca+c12aba12ab+b12bc+c12ca=a11b+b11c+c11a. 而1a1b1c.由乱序和反序和，得a11b+b11c+c11aa11a+b11b+c11c=a10+b10+c10. 综合，可得原不等式成立.解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是设abc，则a12b12c12，1bc1ca1ab，由顺序和乱序和和反序和证明即可23. 设a,b,c为正实数,且满足abc=1,试证明:1a3(b+c)+1b3(a+c)+1c3(a+b).答案：解：由abc=1,得1a3(b+c)=b2c2ab+ac,1b3(a+c)=c2a2bc+ba,1c3(a+b)=a2b2ca+cb,则原不等式等价于b2c2ab+ac+c2a2bc+ba+a2b2ca+cb.证法一：运用柯西不等式,有(ab+bc+ca)2=(abca+cbca+cb+bcab+acab+ac+caab+bcab+bc)2(a2b2ca+cb+b2c2ab+ac+c2a2ab+cb)(ca+cb+ab+ac+ab+bc),于是,b2c2ab+ac+c2a2bc+ba+a2b2ca+cb(ab+bc+ca)33(ab)(ac)(bc)=.证法二：由基本不等式得b2c2ab+ac+ab+ac42b2c2ab+acab+ac4=bc.c2a2ab+bc+ab+bc4ac,a2b2bc+ac+bc+ac4ab,相加得c2b2ab+ac+c2a2ba+bc+a2b2cb+ca(ab+ca+bc)33(ab)(ac)(bc)=.证法三：设s=bca(b+c)bc+acb(c+a)ac+abc(a+b)ab.设abc,则abacbc,ab+acab+bcac+bc.于是bca(b+c)acb(a+c)abc(a+b),由此推知s为顺序和,由排序不等式得sbca(b+c)ac+acb(a+c)ab+abc(a+b)bc=ca(b+c)+ab(a+c)+bc(a+b),sbca(b+c)ab+acb(a+c)bc+abc(a+b)ac=ba(b+c)+cb(a+c)+ac(a+b),相加得2s+331abc=3,所以s.解析：分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是设abc,则abacbc,ab+ac