人教A版必修5 应用举例 第1课时　解三角形的实际应用 学案.doc

12应用举例第1课时解三角形的实际应用1能将实际问题转化为解三角形问题(难点)2能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题(重点)基础初探教材整理1基线的概念阅读教材p11p12，完成下列问题1定义在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线2性质在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度一般来说，基线越长，测量的精确度越高判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低()(2)已知三角形的三个角，能够求其三条边()(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得()【解析】(1).因为在测量过程中基线越长，测量的精确度越高(2).因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边(3).两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得【答案】(1)(2)(3)教材整理2测量中有关角的概念阅读教材p13例3p14，完成下列问题1仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图121(1)所示)图121(1)2方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角如南偏西60，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60.(如图121(2)所示)图121(2)判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)东偏北45的方向就是东北方向()(2)仰角与俯角所在的平面是铅垂面()(3)若点p在点q的北偏东44，则点q在点p的东偏北44方向()【解析】(1)，由方向角的定义可知(2)，由仰角与俯角的定义可知(3)，点q在点p的南偏西44.【答案】(1)(2)(3)小组合作型测量距离问题要测量对岸a，b两点之间的距离，选取相距 km的c、d两点，并测得acb75，bcd45，adc30，adb45，求a，b之间的距离【精彩点拨】将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形【自主解答】如图所示，在acd中，acd120，cadadc30，accd km.在bcd中，bcd45，bdc75，cbd60，bc.在abc中，由余弦定理，得ab2()222cos 75325，ab(km)，a，b之间的距离为 km.三角形中与距离有关的问题的求解策略：(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决再练一题1如图122，在河岸边有一点a，河对岸有一点b，要测量a，b两点的距离，先在岸边取基线ac，测得ac120 m，bac45，bca75，求a，b两点间的距离. 图122【解】在abc中，ac120，a45，c75，则b180(ac)60，由正弦定理，得abac20(3)即a，b两点间的距离为20(3)m.测量高度问题(1)如图123，从山顶望地面上c，d两点，测得它们的俯角分别为45和30，已知cd100米，点c位于bd上，则山高ab等于()a100米b50米c50米d50(1)米图123(2)在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60，塔基的俯角为45，那么这座塔吊的高是()a20 mb20(1)mc10()md20()m【精彩点拨】(1)解决本题关键是求ab时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解(2)解决本题关键是画出示意图【自主解答】(1)设山高为h，则由题意知cbh，dbh，所以hh100，即h50(1)(2)如图，由条件知四边形abcd为正方形，abcd20 m，bcad20 m.在dce中，edc60，dce90，cd20 m，eccdtan 6020 m，bebcce(2020)m.选b.【答案】(1)d(2)b解决测量高度问题的一般步骤：(1)画图：根据已知条件画出示意图(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用再练一题2某兴趣小组要测量电视塔ae的高度h(单位：m)如图124所示，竖直放置的标杆bc的高度h4 m，仰角abe，ade.该小组已测得一组，的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，请据此算出h的值. 图124【解】由ab，bd，ad及abbdad，得，解得h124.因此电视塔的高度h是124 m.探究共研型与立体几何有关的测量高度问题探究1已知a，b是海平面上的两个点，相距800 m，在a点测得山顶c的仰角为45，bad120，又在b点测得abd45，其中d是点c到水平面的垂足试画出符合题意的示意图【提示】用线段cd表示山，用dab表示海平面结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示探究2在探究1中若要求山高cd怎样求解？【提示】由探究1知cd平面abd，首先在abd中利用正弦定理求出ad的长，然后在rtacd中求出cd.图125如图125，为了测量河对岸的塔高ab，有不同的方案，其中之一是选取与塔底b在同一水平面内的两个测点c和d，测得cd200米，在c点和d点测得塔顶a的仰角分别是45和30，且cbd30，求塔高ab.【精彩点拨】利用方程的思想，设abh.表示出bch，bdh，然后在bcd中利用余弦定理求解【自主解答】在rtabc中，acb45，若设abh，则bch.在rtabd中，adb30，则bdh.在bcd中，由余弦定理可得cd2bc2bd22bcbdcoscbd，即2002h2(h)22hh，所以h22002，解得h200(h200舍去)，即塔高ab200米测量高度问题的两个关注点(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路再练一题3要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是()a100 mb400 mc200 md500 m【解析】由题意画出示意图，设塔高abh m，在rtabc中，由已知得bch m，在rtabd中，由已知得bdh m，在bcd中，由余弦定理bd2bc2cd22bccdcosbcd，得3h2h25002500h，解得h500(m)【答案】d1甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50，乙观测的仰角为40，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()ad1d2bd120 mdd2tan 40，所以d1d2.【答案】b2如图126，d，c，b三点在地面同一直线上，dc100米，从c，d两点测得a点仰角分别是60，30，则a点离地面的高度ab等于()图126a50米b100米c50米d100米【解析】因为dacacbd603030，所以adc为等腰三角形，所以acdc100米，在rtabc中，abacsin 6050米【答案】a3某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为()a.b2c2或d3【解析】如图，在abc中由余弦定理得39x26xcos 30，即x23x60，解之得x2或.【答案】c4在高出海平面200 m的小岛顶上a处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45与30，此时两船间的距离为_m. 【解析】过点a作ahbc于点h，由图易知bah45，cah60，ah200 m，则bhah200 m，chahtan 60200 m.故两船距离bcbhch200(1)m.【答案】200(1)5如图127所示，有两座建筑物ab和cd都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶a