第1章 函数极限与连续.ppt

1 1函数1 2极限的概念1 3极限的运算1 4函数的连续性 第1章函数极限与连续 结束 当自变量x取数值时 与对应的因变量y的值称为函数在点处的函数值 记为或 当x取遍d内的各个数值时 对应的变量y取值的全体组成 定义1设x与y是两个变量 若当变量x在非空数集d内任取一个数值时 变量x按照某种对应法则f总有一个确定的数值y与之对应 则称变量y为变量x的函数 记作 称d为该函数的定义域 记为df 称x为自变量 称y为因变量 1 1 1函数的概念 数集称做这个函数的值域 记为zf 1 1函数 1 1 2函数的表示法 例1已知某商品的总成本函数为 例2某工厂全年1 6月原材料进货数量如下表 这里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系 1 公式法用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关系 是函数的公式表示法 如例1是用公式法表示函数 2 表格法自变量x与因变量y的一些对应值用表格列出 3 图示法用函数y f x 的图形给出自变量x与因变量y 之间的关系 例3需求函数与供给函数 如图 p表示商品价格 q表示需求量 供给量 e点为需求和供给平衡点 说明三种表示法各有所长 缺一不可 如三角函数 三角函数表 三角函数图像 都是表示三角函数 可以相互补充 例4求函数的定义域 1 函数的定义域和对应法则是函数的两个主要要素 注 2 如果两个函数具有相同的定义域和对应法则 则它们是相同的函数 4 在研究由公式表达的函数时 我们约定 函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组成的数集 3 在实际问题中 函数的定义域是由实际意义确定的 解当分母时 此函数式都有意义 因此函数的定义域为 例5求函数的定义域 所以函数的定义域为与 解要使函数y有定义 必须使 这两个不等式的公共解为 解当时 函数值 设有函数 问它们是否为同一个函数 例6 由于与的定义域不同 所以它们不是同一个函数 但是的定义域 而在点无定义其定义域为 在实际问题中 有时会遇到一个函数在定义域的不同范围内 用不同的解析式表示的情形 这样的函数称为分段函数 例如符号函数 是一个分段函数 它的定义域为 分段函数是用几个公式合起来表示一个函数 而不是表示几个函数 f x 的定义域是 0 2 例7 当时 当时 定义设y是u的函数 y f u 而u是x的函数 并且的值域包含f u 的定义域 即 则y通过u的联系也是x的函数 称此函数是由y f u 及复合而成的复合函数 记作 1 1 3复合函数 并称x为自变量 称u为中间变量 例8分析函数是由哪几个函数复合而成 解 复合而成 并易知其定义域为 例9求由函数组成的复合函数并求其定义域 解由于的定义域为与u 3x 1的值域有公共部分 由于必须 从而 故复合函数的定义域是 所以由它们可以组成复合函数 例10设 解 1 幂函数 幂函数的定义域随的不同而不同 1 基本初等函数 是常数 当为无理数时 规定的定义域为 指数函数的定义域为 当a 1时 它严格单调增加 当0 a 1时 它严格单调减少 对于任何的a 的值域都是 函数的图形都过 0 1 点 对数函数是指数函数的反函数 它的定义域为 当a 1时 它严格单调增加 当0 a 1时 它严格单调减少 对于任何限定的a 的值域都是 函数的图形都过 1 0 点 2 指数函数是常数 在高等数学中 常用到以e为底的指数函数和以e为底的对数函数 记作lnx lnx称为自然对数 这里e 2 7182818 是一个无理数 4 三角函数 常用的三角函数有 正弦函数y sinx 余弦函数y cosx y sinx与y cosx的定义域均为 它们都是以为周期的函数 都是有界函数 数 并且在开区间内都是无界函数 正切函数y tanx 余切函数y cotx tanx与cotx是以为周期的周期函数 并且在其定义域内是无界函数 sinx tanx及cotx是奇函数 cosx是偶函数 此外还有正割函数y secx 余割函数y cscx 其中 它们都是以为周期的函 5 反三角函数 三角函数y sinx y cosx y tanx和y cotx的反函数都是多值函数 我们按下列区间取其一个单值分支 称为主值分支 分别记作 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 2初等函数 定义由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或经过有限次复合运算所构成 并可用一个式子表示的函数 称为初等函数 初等函数都可以用一个公式表式 大部分分段函数不是初等函数 是非初等函数 定义3设函数y f x 是定义在df上的一个函数 其值域为zf 对任意y zf 如果有唯一确定的满足y f x 的x df与之对应 则得到一个定义在zf上以y为自变量的函数 我们称它为函数y f x 的反函数 记作 1 1 5反函数与隐函数 1反函数 习惯上 常用x来表示自变量 y表示因变量 所以我们可以将反函数改写成 在直角坐标系中的图形与y f x 的图形是 关于直线y x对称的 例11设函数y 2x 3 求它的反函数并画出图形 解 于是得反函数 变量之间的函数关系 是由某个二元方程给出的 这样的函数称为隐函数 例有些隐函数可以改写成显函数的形式 而有些隐函数不能改写成显函数的形式 把隐函数改写成显函数叫做 隐函数的显化 2隐函数 1奇偶性 设函数y f x 的定义域d是关于原点对称的 即当时 有 则称f x 为偶函数 偶函数的图形关于y轴对称 如果对于任意的 均有 则称函数f x 为奇函数 奇函数的图形关于坐标原点对称 如果对任意的 均有 1 1 6函数的基本性质 例12讨论下列函数的奇偶性 解 设函数y f x 如果存在正常数t 使得对于定义域内的任何x均有f x t f x 成立 则称函数y f x 为 显然 若t是周期函数f x 的周期 则kt也是f x 的周期 k 1 2 3 通常我们说的周期函数的周期就是指最小正周期 2周期性 周期函数 t为f x 的周期 例如 函数y sinx及y cosx都是以为周期的周期函数 函数y tanx及y cotx都是以为周期的周期函数 解设所求的周期为t 由于 例13 求函数的周期 其中为常数 并注意到的周期为 只需 使上式成立的最小正数为 所以函数的周期为 3单调性 设函数y f x 在区间i上有定义 即 是函数y f x 的定义域或者是定义域的一部分 如果对于任意的 当时 均有 则称函数y f x 在区间 上单调增加 或单调减少 单调增加 或单调减少 的函数又称为单调递增 单调递减 函数 统称为单调函数 使函数保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单调区间 函数内是单调减少的 在区间上是单调增加的 而在区间内则不是单调函数 单调增加的函数的图形是沿x轴正向上升的 单调减少的函数的图形是沿x轴正向下降的 例如 函数内是单调增加的 4有界性 设函数y f x 的定义域为d 数集 如果存在正数m 使得对于任意的 都有不等式 成立 则称f x 在x上有界 如果这样的m不存在 就称函数f x 在x上无界 如果m为f x 的一个界 易知比m大的任何一个正数都是f x 的界 如果f x 在x上无界 那么对于任意一个给定的正数m x中总有相应的点 使 当函数y f x 在区间 a b 上有界时 函数y f x 的图形恰好位于直线y m和y 之间 这里取 1 函数y sinx的图形位于直线y 1与y 1之间 例如 函数f x sinx在内是有界的 这是因为对于任意的 都有成立 应该注意 函数的有界性 不仅仅要注意函数的特点 还要注意自变量的变化范围 例如 函数在区间 1 2 内是有界的 事实上 若取 1 则对于任何 而在区间 0 1 内是无界的 1 1 7函数关系的建立 例14某运输公司规定货物的吨千米运价为 在千米以内 每千米k元 超过千米 超过部分每千米元 求运价p和运送里程s之间的函数关系 解根据题意可列出函数关系如下 这里运价p和运送里程s之间的函数关系是用分段函数表示的 总成本函数 平均成本函数 1总成本函数某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入 劳力 原料 设备等 的价格或费用总额 它由固定成本与可变成本组成 平均成本是生产一定数量的产品 平均每单位产品的成本 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下 产品的总成本与平均成本都是产量的函数 1 1 8常见的经济函数 2总收益函数总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入 是销售量的函数 设p为商品价格 为q销售量 为总收益 则有 总收益函数 平均收益函数 3总利润函数设某商品的成本函数为c 销售收益函数r为 则销售某商品个单位时的总利润函数为 例15已知某产品的总成本函数为求当生产100个该种产品时的总成本和平均成本 平均成本为 4需求函数与供给函数 解由题意 产量为100时的总成本函数为 1数列的概念 定义1自变量为正整数的函数 将其函数值按自变量n由小到大排成一列数 称为数列 将其简记为 称为数列的通项或一般项 1 2 1数列的极限 1 2极限的概念 1 3 4 2 即 数列 数列 数列 2 数列的极限 数列 1 当n无限增大时 无限趋近于0 即数列 1 以0为它的变化趋向 数列 2 当n无限增大时 un 无限趋近于常数1 即数列 2 以1为它的变化趋向 数列 3 当n无限增大时 其奇数项为1 偶数项为 1 随着n的增大 它的通项在 1 1之间变动 所以当n无限增大时 没有确定的变化趋向 数列 4 当n无限增大时 un也无限增大 定义2如果当n无限地增大时 通项un无限地趋向于某个确定的常数a 则说当n趋于无穷大时 un以a为极限 记成 但是 像数列等 当n越来越大时 它们各自是否有确定的变化趋势 如果有 极限是什么 直观上可以看出 单调增加或单调减少的数列统称为单调数列 成立 则称数列是单调减少的 若有 3 单调数列与有界数列 数列 2 4 是单调增加的 数列 1 单调减少的 对于数列 若有 成立 则称数列是单调增加的 对于数列 若存在正数m 使得对于一切的n都有 成立 则称数列是有界的 否则称是无界的 容易验证数列 1 2 3 是有界的 而数列 4 是无界的 无界数列一定是发散的 注意数列有界是数列收敛的必要条件 但不是充分条件 例如 数列是有界的 而却是发散数列 定理1单调有界数列必有极限 1 当x 时 函数f x 的极限 函数 当x 时 函数f x 无限趋近于常数1 此时我们称1为当x 时函数f x 的极限 定义3如果当自变量x无限增大时 函数f x 无限趋近于某个确定的常数a 则称常数a为函数f x 当x 时的极限 记为 或 1 2 2函数的极限 1 1 当x 时 函数f x 无限趋近于常数1 此时我们称1为当x 时函数f x 的极限 定义4如果当无限增大时 函数f x 无限趋近于某个确定的常数a 则称常数a为函数f x 当x 时的极限 记为 x 或 定理2 的充要条件是 2当x x0时 函数f x 的极限 当x 1时 的值无限趋近于常数2 此时我们称当x趋近于1时 函数 极限为2 定义5设函数f x 在的某邻域内有定义 x0可以除外 如果当自变量x趋近于x0时 函数f x 的函数值无限趋近于某个确定的常数a 则称a为函数f x 当x x0时的极限 或 考查函数 记为 2在定义5中 x是以任意方式趋近于的 但在有些问题中 往往只需要考虑点x从的一侧趋近于时 函数f x 的变化趋向 注 1 在时的极限是否存在 与在点处有无定义以及在点处的函数值无关 如果当从的左侧趋近于 记为 时 以a为极限 则称a为函数当时的左极限 记为 或 如果当从的右侧趋近于 记为 时 以a为极限 则称a为函数当时的右极 或 限 记为 注 定理3常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在 解 因为 所以 定理4 唯一性定理 如果函数在某一变化过程中有极限 则其极限是唯一的 2函数极限的性质 定理5 有界性定理 若函数f x 当x x0时极限存在 则必存在x0的某一邻域 使得函数f x 在该邻域内有界 定理6 两边夹定理 如果对于x0的某邻域内的一切x 可以除外 有 且 则 1 无穷小量定义7若变量y在某过程下以零为极限 则称变量y在此过程下为无穷小量 简称无穷小 1 2 3无穷小量与无穷大量 例3 例4 时的无穷小量 时的无穷小量 因为所以 因为所以 例如函数时的无穷小 但当时不是无穷小 当时 的极限不为零 所以当时 函数不是无穷小 而当时是无穷小量 应该注意无穷小量是在某一过程中 以零为极限的变量 而不是绝对值很小的数 因此应明确指出其变化过程 定理7在自变量的同一变化过程中 1 有限个无穷小的代数和仍为无穷小 4 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小 3 常量与无穷小的乘积仍为无穷小 2 有限个无穷小的乘积仍为无穷小 2 无穷小的性质 例5 解 注意这个极限不能用极限的四则运算法则求得 因为不存在 所以 时的无穷小量 为有界变量 3 无穷大量 定义8在自变量x的某一变化过程中 若函数值的绝对值无限增大 则称f x 为此变化过程中的无穷大量 简称无穷大 记作 4无穷小与无穷大的关系 简言之无穷小与无穷大的关系为 在自变量的同一变化过程中 无穷大的倒数是无穷小 无穷小 不等于0 的倒数是无穷大 定理9在自变量的同一变化过程中 若f x 为无穷大 则为无穷小 反之 若f x 为无穷小且f x 不等于0 则为无穷大 例如 以后 遇到类似例6的题目 可直接写出结果 例6 解 例7考察 定理1设 则 1 3 1极限的运算法则 下面的定理 仅就函数极限的情形给出 所得的结论对数列极限也成立 1 3极限的运算 其中自变量x的趋势可以是等各种情形 定理1中的 1 和 2 可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况 结论 2 还有如下常用的推论 推论1设limf x 存在 则对于常数c 有 推论2设limf x 存在 则对于正整数k 有 例1 解 一般地 设有多项式 有理整函数 则有 即 例2 解 设有理分式函数 式 1 与式 2 说明对于有理函数求关于的极限时 如果有理函数在点有定义 其极限值就是在点处的函数值 以后可以当做公式使用 例3 解 例4 解 例5 解 例6 解 1 3 2两个重要极限 重要极限1 其中的两个等号只在x 0时成立 证 设圆心角过点a作圆的切线与ob的延长线交于点c 又作 则sinx bd tanx ac 当时 首先证明不等式 当时有 即当时 而当时有 从而 即当时有 这就证明了不等式 从而有 由夹逼准则 即得 例7 解 例8 解 例9 解 这是重要极限2常用的另一种形式 重要极限2 例10 解令 则当时 因此 例11 解 例12设有本金1000元 若用连续复利计算 年利率为8 问5年末可得本利和为多少 解设复利一年计算一次 则一年末本利和为 若复利一年计算n次 则x年末本利和为 x 年末本利和为 所以 1 3 3无穷小的比较 两个无穷小的和 差 积都是无穷小 那么 两个无穷小的商是否仍是无穷小呢 请看下面的例子 这些情形表明 同为无穷小 但它们趋于0的速度有快有慢 为了比较不同的无穷小趋于0的速度 我们引入无穷小量阶的概念 此时也称是比低阶的无穷小 3 如果 则称是比阶的无穷小 记作 2 如果 则称与是等价无穷小 记作 1 如果是常数 则称是同阶无穷小 定义设时为无穷小 且 所以当时 与x是等价无穷小 即 所以当时 是比x高阶的无穷小 即 例13 例14因为 同理可知 当时 所以当时 是同阶无穷小 关于等价无穷小在求极限中的应用 有如下定理 证 定理2 根据此定理 在求两个无穷小之比的极限时 若此极限不好求 可用分子 分母各自的等价无穷小来代替 如果选择适当 可简化运算 用定理2求极限 需要预先知道一些等价无穷小 一些常用的等价无穷小如下 当时 例15 解 例16 解 例17 解 注意 相乘 除 的无穷小都可用各自的等价无穷小代换 但是相加 减 的无穷小的项不能作等价代换 例如 是完全错误的 1 4 1函数连续性的概念 相应的函数的改变量 增量 函数的终值与初值之差称为自变量的改变量 记为 1 改变量 增量 1 4函数的连续性 当自变量由初值变化到终值时 终值与初值之差称为自变量的改变量 记为 定义1 设函数在点的某邻域内有定义 当自变量在点处有增量时 相应的函数有增量 如果当自变量的增量趋于零时 函数的增量也趋于零 即则称函数在点处连续 点称为函数的连续点 2 连续 若记 则 且当时 故定义1又可叙述为 注 定义2 设函数y f x 在点的某邻域内有定义 若有 则称函数在点处连续 1 定义1与定义2是等价的 即 由左右极限定义可定义左右连续定义 2 由定义2可知若函数在点处连续 则函数在点处的极限一定存在 反之不一定连续 3 当函数在点处连续时 求时 只需求出即可 定义3 若函数满足 则称函数在点处左连续 同理可以定义右连续 3 左右连续 4 区间连续 定义4 若函数在 a b 内每一点都连续 则称函数在 a b 内连续 由定理3可知 函数在点处连续既左连续又右连续即 证明y sinx在内连续 例1 证 对任意 有 因为 所以 故在内连续 定义5若函数y f x 在 a b 内每一点都连续 且在左端点a处右连续 在右端点b处左连续 则称函数y f x 在 a b 上连续 1 4 2函数的间断点及其分类 则一定满足以下条件 如果f x 在点不能满足以上任何一个条件 则点是函