平面向量复习教师用.doc

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算1向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0( a)()a；()aaa；(ab)ab3共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.1作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2在向量共线的重要条件中易忽视“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个；3要注意向量共线与三点共线的区别与联系试一试1.(2013苏锡常镇二调)如图，在OAC中，B为AC的中点，若xy(x，yR)，则xy_.解析：法一：(直接法)根据图形有所以2()，所以2，而xy，所以故xy3.法二：(间接法)由B为AC的中点得2，所以2，而xy，所以故xy3.答案：32若菱形ABCD的边长为2，则|_.解析：|2.答案：21向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则()2三点共线等价关系A，P，B三点共线 (0) (1t)t (O为平面内异于A，P，B的任一点，tR)xy (O为平面内异于A，P，B的任一点，xR，yR，xy1)练一练1D是ABC的边AB上的中点，若xy，则xy_.解析：，则x，y1xy.答案：2已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.解析：由题意知abk(b3a)，所以解得答案：考点一向量的有关概念1.给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab；若ab，bc，则ac.其中正确命题的序号是_解析：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，.正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件不正确考虑b0这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是.答案：.2设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是_解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.答案：3备课札记 类题通法平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈(3)是与a同向的单位向量，是与a反向的单位向量考点二向量的线性运算典例(2013江苏高考)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_解析由题意()，所以1，2，即12.答案备课札记 若条件变为：若2，则_.解析：，2.又2，2().，即.答案：类题通法在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解针对训练若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：；.其中正确的有_个解析：式的等价式是，左边，右边，不一定相等；式的等价式是，成立；式的等价式是，成立答案：2考点三共线向量定理的应用典例设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线(2)试确定实数k，使kab和akb共线解(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个非零向量，kk10，k210.k1.备课札记 类题通法1共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值(2)若a，b不共线，则ab0的充要条件是0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛2证明三点共线的方法若，则A、B、C三点共线针对训练已知a，b不共线，a，b，c，d，e，设tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由解：由题设知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因为a，b不共线，所以有，解之得t.故存在实数t使C，D，E三点在一条直线上课堂练通考点1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小a0(为实数)，则必为零，为实数，若ab，则a与b共线其中错误的命题的有_个解析：错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误，当a0时，不论为何值，a0.错误，当0时，ab0，此时，a与b可以是任意向量答案：32.如图，已知a，b，3，用a，b表示，则_.解析：ab，又3，(ab)，b(ab)ab.答案：ab3(2013苏锡常镇二调)已知点P在ABC 所在的平面内，若2343，则PAB与PBC的面积的比值为_解析：因为2343，所以23433，即540，所以PAB与PBC的面积的比为PAPC45.答案：4.(2014“江南十校”联考)如图，在ABC中，A60，A的平分线交BC于D，若AB4，且 (R)，则AD的长为_解析：因为B，D，C三点共线，所以有1，解得，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则，经计算得ANAM3，AD3.答案：35在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a，b表示)解析：由3得433(ab)，ab，所以(ab)ab.答案：ab6设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216，|，则|_.解析：由|可知，则AM为RtABC斜边BC上的中线，因此，|2.答案：2课下提升考能第组：全员必做题1设a、b是两个非零向量，下列结论正确的有_(填写序号)若|ab|a|b|，则ab若ab，则|ab|a|b|若|ab|a|b|，则存在实数，使得ba若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|解析：对于，可得cosa，b1，因此ab不成立；对于，满足ab时|ab|a|b|不成立；对于，可得cosa，b1，因此成立，而显然不一定成立答案：2(2013徐州期中)设O是ABC内部一点，且2，则AOB与AOC的面积之比为_解析：设M为边AC的中点因为2，所以点O是ABC的中线BM的中点，从而所求面积之比为12.答案：123在ABC中，N是AC边上一点，且，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_解析：如图，因为，所以，mm，因为B、P、N三点共线，所以m1，所以m.答案：4(2013南通期中)设D，P为ABC内的两点，且满足()，则_.解析：设E为边BC的中点由()可知，点D在ABC的中线AE上，且ADAE，由，得，利用平面几何知识知.答案：5(2014南通期末)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且3a4b5c0，则abc_.解析：在ABC中有0，又3a4b5c0，消去得(3a5c) (4b5c) 0，从而3a5c0,4b5c0，故abc201512.答案：2015126(2014淮阴模拟)已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m_.解析：由题目条件可知，M为ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则，因为AD为中线，则23，所以m3.答案：37(2014苏北四市质检)已知a，b是非零向量，且a，b的夹角为，若向量p，则|p|_.解析：和分别表示与a，b同向的单位向量，所以长度均为1.又二者的夹角为，故|p| .答案：8已知D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且a，b，给出下列命题：ab；ab；ab；0.其中正确命题的个数为_解析：a，b，ab，故错；ab，故错；()(ab)ab，故正确；baabba0.正确命题为.答案：39.(2013苏北四市三调)如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若m，n，其中m，n(0,1)设EF的中点为M，BC的中点为N.(1)若A，M，N三点共线，求证：mn；(2)若mn1，求|的最小值解：(1)证明：由A，M，N三点共线，得.设 (R)，即()()，所以mn()因为与不共线，所以mn.(2)因为()()(1m)(1n) ，又mn1，所以(1m) m，所以|2(1m)2m2(1m)m(1m)2m2(1m)m2，故当m时，|min.10.如图所示，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线解：(1)延长AD到G，使，连接BG，CG，得到ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)证明：由(1)可知，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线第组：重点选做题1A，B，O是平面内不共线的三个定点，且a，b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，用a、b表示，则_.解析：()()222(ba)答案：2(ba)2已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，满足等式，则四边形ABCD的形状为_解析：由得，.所以四边形ABCD为平行四边形答案：平行四边形第二节平面向量的基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.1若a、b为非零向量，当ab时，a，b的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2x2y10.试一试1(2014南京、盐城一模)若向量a(2,3)，b(x，6)，且ab，则实数x_.解析：由ab得2(6)3x，解得x4.答案：42已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值是_解析：u(12x,4)，v(2x,3)，uv，84x36x，x.答案：用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用练一练设e1、e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1e2_a_b.解析：由题意，设e1e2manb.因为ae12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以答案：考点一平面向量的坐标运算1.(2014苏中三市、宿迁调研(一)在平面直角坐标系中，已知向量(2,1)，(3,5)，则向量的坐标为_解析：(1,4)答案：(1,4)2(2013北京高考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab(，R)，则_.解析：设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，根据平面向量基本定理得2，所以4.答案：43已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n.解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得备课札记 类题通法1向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算2两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同此时注意方程(组)思想的应用考点二平面向量基本定理及其应用典例如图，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F分别为线段AD与BC的中点设a，b，试用a，b为基底表示向量，.解析 babba，bba，bab.备课札记 类题通法用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理针对训练(2014济南调研)如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_解析：因为kk()k(1k)，且m，所以1km，解得k，m.答案：考点三平面向量共线的坐标表示典例平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；解(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0.k.备课札记 在本例条件下，若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.解：设d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由题意得得或d(3，1)或(5,3)类题通法1向量共线的两种表示形式设a(x1，y1)，b(x2，y2)，abab(b0)；abx1y2x2y10，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用.2两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值针对训练已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若2，求点C的坐标解：(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三点共线，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得点C的坐标为(5，3)课堂练通考点1(2013南京二模)若平面向量a，b满足|ab|1，ab平行于y轴，a(2，1)，则b_.解析：设b(x，y)，则ab(2x，y1)，由条件知2x0，|y1|1，解得x2，y0或x2，y2，故b(2,0)或(2,2)答案：(2,2)或(2,0)2已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，则等于_解析：由题意得manb(2mn,3m2n)a2b(4，1)，由于(manb)(a2b)，可得(2mn)4(3m2n)0，可得.答案：3(2014苏北四市质检)已知向量a(sin ，cos )，b(3，4)，若ab，则tan 2_.解析：由题意，得4sin 3cos 0，所以tan ，所以tan 2.答案：4已知点A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：直线OC与直线BA平行；2.其中正确结论的个数是_解析：由题意得kOC，kBA，OCBA，正确；，错误；(0,2)，正确；2(4,0)，(4,0)，正确答案：35已知两点A(1,0)，B(1,1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且AOC135，设(R)，则的值为_解析：由AOC135知，点C在射线yx(x0)上，设点C的坐标为(a，a)，a0，若(a2b)(2ab)，则x的值为_解析：a2b，2ab(16x，x1)，由已知(a2b)(2ab)，显然2ab0，故有(16x，x1)，R，x4(x0)答案：44.若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)，则a在另一组基底m(1,1)，n(1,2)下的坐标为_解析：a在基底p，q下的坐标为(2,2)，即a2p2q(2,4)，令axmyn(xy，x2y)，即a在基底m，n下的坐标为(0,2)答案：(0,2)5.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是_(填写序号)解析：由向量减法的三角形法则知，排除；由向量加法的平行四边形法则知，排除、.答案：6在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则_.解析：(3,2)，2(6,4)(2,7)，3(6,21)答案：(6,21)7Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是两个向量集合，则PQ等于_解析：P中，a(1m,12m)，Q中，b(12n，23n)则得此时ab(13，23)答案：8已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是_解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.答案：k19已知a(1,0)，b(2,1)求：(1)|a3b|；(2)当k为何实数时，kab与a3b平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a(1,0)，b(2,1)，所以a3b(7,3)，故|a3b|.(2)kab(k2，1)，a3b(7,3)，因为kab与a3b平行，所以3(k2)70，即k.此时kab(k2，1)，a3b(7,3)，则a3b3(kab)，即此时向量a3b与kab方向相反10已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线解：(1) t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t20，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有ab0，反之不成立(因为夹角为时不成立)2利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧练一练1已知向量a，b均为非零向量，(a2b)a，(b2a)b，则a，b的夹角为_解析：(a2b)a|a|22ab0，(b2a)b|b|22ab0，所以|a|2|b|2，即|a|b|，故|a|22ab|a|22|a|2cosa，b0，可得cosa，b，又因为0a，b，所以a，b.答案：2(2013南通三模)已知向量a与b的夹角为60，且|a|1，|b|2，那么(ab)2的值为_解析：(ab)214212cos 607.答案：7考点一平面向量的数量积的运算1.(2014南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a(1,2)，ab(3,1)，则ab_.解析：法一：由a5，得a2ab5，即5ab5，所以ab0.法二：由a(1,2)，ab(3,1)，得b(4,2)，所以ab0答案：02已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6.则的值为_解析：由已知得，向量a(x1，y1)与b(x2，y2)反向，3a2b0，即3(x1，y1)2(x2，y2)(0,0)，得x1x2，y1y2，故.答案：3.(2012江苏高考)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_解析：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则(，0)，(，1)，(0,2)设(x,2)，x0，则x，解得x1.所以F(1,2)，(1，2)，于是.答案：4在ABC中，若A120，1，则|BC|的最小值是_解析：1，|cos 1201，即|2，|2|22222|26，|min.答案：备课札记 类题通法向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.考点二平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质是高考的重点，归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直角度一平面向量的模1(2014南京一模)已知平面向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为_解析：设a，b，如图所示，|214212cos3，所以BD.答案：角度二平面向量的夹角2(1)(2013盐城二模)已知向量a的模为2，向量e为单位向量，e(ae)，则向量a与e的夹角大小为_解析：由条件得e(ae)0，从而ea1.所以cosa，e，故a，e.答案：(2)(2014苏北四市一调)设a，b，c是单位向量，且abc，则向量a，b的夹角等于_解析：a，b，c是单位向量，模都为1，由abc得abc，所以(ab)2c2，即a2b22abc2，得ab，所以|a|b|cos ，即cos ，故.答案：角度三平面向量的垂直3(1)(2013盐城二模)已知向量a(3,2)，b(1,0)，且向量ab与a2b垂直，则实数的值为_解析：由条件知|a|，|b|1，ab3，又ab与a2b垂直，所以(ab)(a2b)0，即a22b2(12)ab0，于是132(12)30，解得.答案：(2)在直角三角形ABC中，已知(2,3)，(1，k)，则k的值为_解析：当A90时，0.213k0，解得k.当B90时，又(1，k)(2,3)(1，k3)，2(1)3(k3)0，解得k.当C90时，1(1)k(k3)0，即k23k10.k.答案：或或.备课札记 类题通法1求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角2利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a2aa|a|2或|a|.(2)|ab|.(3)若a(x，y)，则|a|.考点三平面向量与三角函数的综合典例(2013江苏高考)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值解(1)证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.