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高中数学专题教学研习本资源由专人彭剑平整理,未经允许不得复制影印,资源仅供教师研习,欢迎批评指正说明:Level A为基本(要求熟悉掌握),Level B为高考(常考规律总结),Level C为竞赛(拓展的课外知识)注: 本资源仅提供pdf版本 交流: 博客:/ansontop 邮箱:anson_专题: 三角函数的性质& 基本知识点(Level A)【1】正弦函数、余弦函数的图象正弦函数和余弦函数图象的作图方法:五点法:先取横坐标分别为、的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象【2】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数性质 图象定义域值域最值当时,;当时,当时,;当时,既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上单调递增;在上单调递减在上是单调递增;在上单调递减在上单调递增对称性对称中心对称轴无S 思考:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗?_ 经典案例 有疑问随时mail例:(1)若函数的最大值为,最小值为,则 , 答案:或(2)函数()的值域是 答案:(3)若,则的最大值和最小值分别是 、 答案:,(4)函数的最小值是 ,此时 答案:,(5)己知,求的变化范围答案:(6)若,求的最大、最小值答案:,【3】三角函数变换的通性通法(1)相位变换:的图象的图象;(2)周期变换:的图象的图象;(3)振幅变换:的图象的图象正弦型函数的图象变换切记: 注意图象变换有时用向量表达,注意两者之间的转译& 拓展知识点(Level B)【1】函数的图象与性质(整体思想的集中体现)研究函数性质的方法:类比于研究的性质,只需将中的看成中的,但在求的单调区间时,要特别注意和的符号,通过诱导公式先将化正1函数的简图的作法了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图,并能由图象写出解析式法一:“五点法”设,令、求出相应的值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象法二:图象变换法,这是作函数简图常用方法2函数的基本性质 振幅:; 周期:; 频率:; 相位:; 初相: 最值:函数,当时,取得最小值为 ;当时,取得最大值为,则,3函数解析式的确定 由最值确定; 由周期确定; 初相由图象上的特殊点确定,代(最高、低)点法,公式4函数对称轴、对称中心 对称轴:令,得;对称中心:; 对称轴:令,得;对称中心:; 5函数的周期公式函数及的周期 (、为常数,且);6函数的奇偶性函数为奇函数且 为偶函数特别提醒,别忘了! _ 经典案例 有疑问随时mail例:(1)(周期性)若,则 答案:(2)(周期性)函数的最小正周期为 答案:(3)(周期性)设函数,若对任意都有成立,则的最小值为 答案:(4)(奇偶对称)函数的奇偶性是 答案:偶函数(5)(奇偶对称)已知函数为常数),且,则 答案:(6)(奇偶对称)函数的图象的对称中心和对称轴分别是 、 答案:、(7)(奇偶对称)已知为偶函数,求的值答案:(8)(单调性)函数的递减区间是 答案:(9)(单调性)的递减区间是 答案:(10)(综合)设函数的图象关于直线对称,它的周期是,则 的图像过; 在区间上是减函数; 图像的一个对称中心是; 的最大值是答案:(11)(综合)对于函数给出下列结论: 图象关于原点成中心对称; 图象关于直线成轴对称; 图象可由函数的图像向左平移个单位得到; 图像向左平移个单位,即得到函数的图像其中正确结论是 答案:(12)(周期性)已知函数图象与直线的交点中,距离最近两点间的距离为,那么此函数的周期是 答案:【2】函数的图象与图象间的两种变换形式法一: 函数的图象纵坐标不变,横坐标向左()或向右()平移个单位得的图象; 再将函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象; 再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象; 最后将函数图象的横坐标不变,纵坐标向上()或向下(),得到的图象法二: 函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象; 再将函数的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象; 再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象; 最后将函数图象的横坐标不变,纵坐标向上()或向下(),得到的图象S 注意:若由得到的图象,则向左或向右平移应平移个单位_ 经典案例 有疑问随时mail例:(1)函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象?答案:向上平移个单位得的图象,再向左平移个单位得的图象,横坐标扩大到原来的2倍得的图象,最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象(2)要得到函数的图象,只需把函数的图象向 平移 个单位答案:左;(3)将函数图像,按向量平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否唯一?若唯一,求出;若不唯一,求出模最小的向量 答案:存在但不唯一,模最小的向量(4)若函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点,则的取值范围是答案:【3】三角函数最值题型及解题捷径(1)(或)型:用(或)求解但要注意的正负(事实上是划归到一次函数求值域问题)(2),运用重要等式求解(3)(或)型:设(或),则,化为二次函数的最问题(4),化归到同一个角的同一个三角函数(5)(或)型:解出(或),用(或)求解或用分离常数法(6):用均值不等式(7)(或)型:整理后运用重要等式求解(8)含有或,考虑用换元法,设,则,化为二次函数的最值问题理由:& 深化知识点(Level C)【1】绝对值或平方对三角函数周期性的影响一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定如:,的周期都是,但的周期

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