高中数学导数的概念3课件苏教版选修11.ppt

一 引例 二 导数的定义 三 导数的几何意义 四 函数的可导性与连续性的关系 导数概念 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一 引例 设动点于时刻在直线上所处的位置为s 于是s f t 称此函数为位置函数 该如何定义动点在某一时刻的瞬时速度呢 1 直线运动的速度 下页 求曲线y f x 在点m x0 y0 处的切线的斜率 在曲线上另取一点n x0 x y0 y 作割线mn 设其倾角为j 观察切线的形成 2 切线问题 当 x 0时 动点n将沿曲线趋向于定点m 从而割线mn也将随之变动而趋向于切线mt 此时割线mn的斜率趋向于切线mt的斜率 动画演示 首页 二 导数的定义 存在 则称函数f x 在点x0处可导 并称此极限值为函数f x 在点x0处的导数 记为f x0 即 下页 设函数y f x 在点x0的某个邻域内有定义 如果极限 导数的定义 1 函数在一点处的导数与导函数 如果上述极限不存在 则称函数f x 在点x0处不可导 导数的其它符号 下页 导数的其它定义式 导数的定义式 例1求函数y x2在点x 2处的导数 解 或 下页 导数的定义式 导数的定义式 导函数的定义 如果函数y f x 在区间i内每一点x都对应一个导数值 则这一对应关系所确定的函数称为函数y f x 的导函数 简称导数 记作 提问 导函数的定义式如何写 f x0 与f x 是什么关系 下页 例2求函数f x c的导数 c为常数 解 即 c 0 下页 2 求导数举例 解 例3 解 例4 下页 2 求导数举例 2 求导数举例 例5求函数f x xn n为正整数 在x a处的导数 更一般地 有 xm mxm 1 其中m为常数 把以上结果中的a换成x得f x nxn 1 即 xn nxn 1 解 nan 1 xn 1 axn 2 an 1 下页 2 求导数举例 例6求函数f x sinx的导数 解 下页 sinx cosx 同理可得 cosx sinx 2 求导数举例 例7求函数f x ax a 0 a 1 的导数 解 下页 sinx cosx cosx sinx ax axlna 特别地有 ex ex 2 求导数举例 例8求对数函数y logax的导数 解 下页 sinx cosx cosx sinx ax axlna 2 求导数举例 以上得到的是部分基本初等函数的导数公式 下页 特别地有 特别地有 ex ex 3 单侧导数 导数与单侧导数的关系 函数f x 在开区间 a b 内可导是指函数在区间内每一点可导 函数f x 在闭区间 a b 上可导是指函数f x 在开区间 a b 内可导 且在a点有右导数 在b点有左导数 函数在区间上的可导性 下页 例9求函数f x x 在x 0处的导数 导数与单侧导数的关系 因为f 0 f 0 解 所以函数f x x 在x 0处不可导 3 单侧导数 首页 三 导数的几何意义 导数f x0 在几何上表示曲线y f x 在点m x0 f x0 处的切线的斜率 即f x0 tana 其中a是切线的倾角 切线方程为 y y0 f x0 x x0 法线方程为 下页 解 所求法线方程为 所求切线及法线的斜率分别为 所求切线方程为 即4x y 4 0 即2x 8y 15 0 下页 首页 例11 设切点的横坐标为x0 解 于是所求切线的方程可设为 已知点 0 4 在切线上 所以 解之得x0 4 于是所求切线的方程为 则切线的斜率为 四 函数的可导性与连续性的关系 结论如果函数y f x 在点x0处可导 则它在点x0处连续 这是因为 应注意的问题 这个结论的逆命题不成立 即函数y f x 在点x0