高中数学函数的极值2课件旧人教高中选修本（理）.ppt

函数的极值 一 复习与引入 上节课 我们讲了利用函数的导数来研究函数的单调性这个问题 其基本的步骤为 求函数的定义域 求函数的导数 解不等式 0得f x 的单调递增区间 解不等式 0得f x 的单调递减区间 0 y 右下图为函数y 2x3 6x2 7的图象 从图象我们可以看出下面的结论 函数在x 0的函数值比它附近所有各点的函数值都大我们说f 0 是函数的一个极大值 函数在x 2的函数值比它附近所有各点的函数值都小 我们说f 2 是函数的一个极小值 二 新课 函数的极值 一般地 设函数y f x 在x0及其附近有定义 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都大 我们说f x0 是函数y f x 的一个极大值 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都小 我们说f x0 是函数y f x 的一个极小值 极大值与极小值统称极值 在定义中 取得极值的点称为极值点 极值点是自变量的值 极值指的是对应的函数值 请注意以下几点 1 极值是一个局部概念 由定义 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 也就是说极值与最值是两个不同的概念 2 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 3 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值 如下图所示 x1是极大值点 x4是极小值点 而f x4 f x1 4 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值 最小值的点可能在区间的内部 也可能在区间的端点 在上节课中 我们是利用函数的导数来研究函数的单调性的 下面我们利用函数的导数来研究函数的极值问题 由上图可以看出 在函数取得极值处 如果曲线有切线的话 则切线是水平的 从而有 但反过来不一定 如函数y x3 在x 0处 曲线的切线是水平的 但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大 也不比它附近的点的函数值小 假设x0使 那么在什么情况下x0是f x 的极值点呢 如上左图所示 若x0是f x 的极大值点 则x0两侧附近点的函数值必须小于f x0 因此 x0的左侧附近f x 只能是增函数 即 x0的右侧附近f x 只能是减函数 即 同理 如上右图所示 若x0是f x 极小值点 则在x0的左侧附近f x 只能是减函数 即 在x0的右侧附近只能是增函数 即 从而我们得出结论 若x0满足 且在x0的两侧的导数异号 则x0是f x 的极值点 f x0 是极值 并且如果在x0两侧满足 左正右负 则x0是f x 的极大值点 f x0 是极大值 如果在x0两侧满足 左负右正 则x0是f x 的极小值点 f x0 是极小值 从曲线的切线角度看 曲线在极值点处切线的斜率为0 并且 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正 右侧为负 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 一般地 当函数f x 在x0处连续时 判别f x0 是极大 小 值的方法是 1 如果在x0附近的左侧右侧那么 f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧右侧那么 f x0 是极小值 要注意以下两点 1 不可导函数也可能有极值点 例如函数y x 它在点x 0处不可导 但x 0是函数的极小值点 故函数f x 在极值点处不一定存在导数 2 可导函数的极值点一定是它导数为零的点 反之函数的导数为零的点 不一定是该函数的极值点 例如 函数y x3 在点x 0处的导数为零 但它不是极值点 原因是函数在点x 0处左右两侧的导数都大于零 因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件 其充分条件是在这点两侧的导数异号 因此 利用求导的方法 求函数的极值时 在函数的定义域内寻求可能取到极值的 可疑点 除了确定其导数为零的点外 还必须确定函数定义域内所有不可导的点 这两类点构成了函数定义域内所有的可能取到极值的 可疑点 三 例题选讲 例1 求y x3 3 4x 4的极值 解 令 解得x1 2 x2 2 当x变化时 y的变化情况如下表 因此 当x 2时有极大值 并且 y极大值 28 3 而 当x 2时有极小值 并且 y极小值 4 3 总结 求可导函数f x 的极值的步骤如下 1 求导数 2 求方程的根 3 检查在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 例2 求函数的极值 解 函数的定义域为 令 解得x1 a x2 a a 0 当x变化时 f x 的变化情况如下表 故当x a时 f x 有极大值f a 2a 当x a时 f x 有极小值f a 2a 说明 本题中的极大值是小于极小值的 这充分表明极值与最值是完全不同的两个概念 练习1 求函数的极值 解 令 0 解得x1 1 x2 1 当x变化时 y的变化情况如下表 因此 当x 1时有极大值 并且 y极大值 3 而 当x 1时有极小值 并且 y极小值 3 例3 已知函数f x x3 ax2 b 1 若函数f x 在x 0 x 4处取得极值 且极小值为 1 求a b的值 2 若 函数f x 图象上的任意一点的切线斜率为k 试讨论k 1成立的充要条件 解 1 由得x 0或x 4a 3 故4a 3 4 a 6 由于当x0时 故当x 0时 f x 达到极小值f 0 b 所以b 1 2 等价于当时 3x2 2ax 1恒成立 即g x 3x2 2ax 1 0对一切恒成立 由于g 0 1 0 故只需g 1 2 2a 0 即a 1 反之 当a 1时 g x 0对一切恒成立 所以 a 1是k 1成立的充要条件 例4 已知函数f x 满足条件 当x 2时 当x 2时 求证 函数y f x2 在处有极小值 证 设g x f x2 则 故当时 x2 2 由条件 可知 即 当时 x2 2 由条件 可知 即 又当时 所以当时 函数y f x2 取得极小值 为什么要加上这一步 例5 已知f x ax5 bx3 c在x 1处有极值 且极大值为4 极小值为0 试确定a b c的值 解 由题意 应有根 故5a 3b 于是 1 设a 0 列表如下 由表可得 即 又5a 3b 解得a 3 b 5 c 2 2 设a 0 列表如下 由表可得 即 又5a 3b 解得a 3 b 5 c 2 练习1 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值为10 求a b的值 解 3x2 2ax b 0有一个根x 1 故3 2a b 0 又f 1 10 故1 a b a2 10 由 解得或 当a 3 b 3时 此时f x 在x 1处无极值 不合题意 当a 4 b 11时 3 111时 此时x 1是极值点 从而所求的解为a 4 b 11 例6 已知 1 证明 f x 恰有一个极大值点和一个极小值点 2 当f x 的极大值为1 极小值为 1时 求a b的值 解 1 令 得 ax2 2bx a 0 4b2 4a2 0 故有不相等的两实根 设 又设g x ax2 2