高中数学4.3平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换知识导航学案.docx

4.3.1 平面直角坐标系中的平移变换自主整理1.在平面内，图形的变换是指_，它包括_、_、_等答案:图形在平面内的运动 平移 旋转 伸缩2在平面内,将图形F上所有点按照同一个方向,移动同样长度,称为图形F的_我们可以用一个向量a表示移动的方向和长度,所以也可以称图形F按_平移.答案:平移 向量a3点A(x,y)按向量a=(h,k)平移所得A的坐标为_，而函数y=f(x)的图象按向量a=(h,k)平移所得图象的解析式为_答案:A(x+h,y+k) y-k=f(x-h)高手笔记1.平移变换仅仅改变图形的位置，而不改变它的形状和大小2点的平移公式的推导：设点P的坐标为(x,y),平移向量a=(h,k)，平移后P点的对应点为P(x,y)，因为=a，则有（x-x,y-y）(h,k)，或表示为3对于函数图象或平面曲线在平面直角坐标系中的平移也可以按照“正减负加”的规律来记忆所谓“正减负加”，是指对曲线f(x,y)0来说，若向x轴或y轴的正方向平移1个单位，则把方程式中的x或y变为x-1或y-1；若向x轴或y轴的负方向平移1个单位长度，则把方程式中的x或y变为x+1或y+1（如下图所示） 使用平移公式时，要注意： 点的平移时，给定平移向量由旧标求新标用公式由新标求旧标用公式图形平移时，给定平移向量，由旧解析式求新解析式，用式子代入旧解析式中整理得到由新解析式求旧解析式，用公式代入新解析式中整理得到名师解惑 “点的平移”与“图形的平移”有什么关系？剖析：“点的平移”与“图形的平移”这两个问题既有区别又有联系，图形的平移实质上是图形上每一个点作同一方向和同样长度的平行移动，用每一点的平移即能得到整个图形的平移点的平移公式有“以旧代新”及“以新代旧”两种形式，它们的作用是一致的，都反映了图形上每一点在平移前后新、旧坐标的关系，其本质是一一对应的解题时要把握好平移的先后顺序与平移公式中字母坐标的对应关系，公式中的x、y与原图形解析式中的字母坐标相对应，而公式中x、y与平移后图形解析式中的字母坐标相对应，当已知平移后图象的解析式为y=f(x)时，这里y=f(x)中的x、y应认为是公式中的x、y,而不是x、y平移图形可以达到简化图形对应的函数解析式的目的，使得在图形的几何性质不被改变的条件下，对应的函数解析式变得更简单些，以便于研究图形的几何性质同时，在解析式的化简过程中，除运用待定系数法外，还可以采用配凑法，有时配凑法显得更简捷讲练互动【例题1】将抛物线y=x2+4x7按向量a平移，使其顶点与原点重合(1)求向量a；(2)求平移后的抛物线的函数解析式思路分析：先用公式法或配方法求得抛物线的顶点坐标，把抛物线的平移转化为其顶点的平移，从而求出平移向量，再利用平移公式求得平移后的抛物线的函数解析式解：（）设抛物线y=x2+4x7的顶点O(h,k)，则h=2，k=3，即抛物线的顶点O的坐标为（2，3）设向量a的坐标为（h,k），依题意，由平移公式得 (2)设P(x,y)是抛物线上任意一点，平移后的对应点为P(x,y)，由平移公式得即将其代入y=x2+4x，得 y+3=(x-2)2+4(x-2)，整理,得y=x2 故平移后抛物线的函数解析式为y=x2绿色通道 图象平移实质上是点的平移，故用平移公式时要注意区分平移前、后点的坐标及平移向量的坐标本例中的函数图象经过平移后在新的位置下函数解析式变得简单了，这就是平移公式的重要用途:将复杂的函数解析式化为较简单的函数解析式，其基本方法有待定系数法和换元法变式训练1.把函数y=x的图象F按a（，）平移到F，则F的函数式为( )A.y=x By=x2 C.y=x D.y=x解析：y=x的图象向上平移4个单位长度,得y=x+4.答案：2平移曲线y=f(x)，使曲线上的点（，）变为（2，3），这时曲线方程为( )A.y=f(x-1)+2 By=f(x+1)+2 C.y=f(x-1)-2 D.y=f(x-2)+1解析：由题意知，平移向量a（，）（，）（1，2），于是所以代入y=f(x)中得到y=f(x-1)2故选A答案：A3把一个函数的图象按向量a=(,2)平移后，解析式变为y=sin(x+)2，则原来函数的解析式为解析：思路一：设点P(x,y)为原来的函数图象上任一点，按向量a平移后的对应点为P(x,y)，则P(x,y)满足关系式y=sin(x+)2，平移公式为代入到y=sin(x+)2中，得y+2=sin(x+)+2，即y=sin(x+)，也就是y=cosx思路二：可以将y=sin(x+)2按-a（，2）平移,得y=sin(x+)，即y=cosx答案：y=cosx【例题2】已知函数f(x)=，运用平移思想化简该函数，判断f(x)的图象是否为中心对称图形，并在此基础上求出该函数的值域和单调区间思路分析：应用平移知识，将函数解析式化简为f(x)=的形式解法一：设平移公式为代入y=中，得即令得所以a（2，）,即将函数按向量a（2，）平移，化简为函数f(x)=反之，由y=的图象按向量-a（2，）平移，可得到的图象因为y=的图象是以O(0,0)为中心的中心对称图形，所以f(x)的图象也是中心对称图形，其对称中心为（2，）由于y=的值域为（，）（，），单调减区间为（，）和（，）把y=按-a（2，）平移回去后，值域变为（，）（，），单调减区间变为（，2）和（2，）解法二：令，化简得，即.又令得.由平移公式知，由的图象按向量a（2，）平移，可得到下面同解法一.绿色通道 通过平移可以化简二次函数y=ax2+bx+c(a0)与形如(a0)的函数解析式，可以用配方与变形的方法寻找平移向量，也可以用待定系数法求出平移向量 利用平移可将函数化简为一些基本函数，便于研究函数的性质变式训练4.抛物线(y-1)2=4(x+1)的焦点坐标是_解析：抛物线(y-1)2=4(x+1)是抛物线y2=4x按a（，）平移得到的.y2=4x的焦点坐标为（，），将（，）按向量(-1,1)平移后得到平移后的焦点坐标为（，）答案：（，）【例题3】要得到函数y=3cos(2x-)的图象，可以将函数y=3sin2x的图象( )A沿x轴向左平移个单位长度 B沿x轴向右平移个单位长度C沿x轴向左平移个单位长度 D沿x轴向右平移个单位长度解析：本题中y=3cos(2x-)与y=3sin2x的对应法则不同，应当把它们变为“y=f(x)与y=f(x+a)”的形式后，再讨论平移关系由于本题是对函数y=3sin2x的图象的平移，所以要把y=3cos(2x-)变形，变为y=3sin(2x+)的形式3cos(2x-)=3cos(2x+)-=3sin(2x+)设3sin2x=f(x)，那么3sin(2x+)=3sin2(x+)=f(x+)可见，把函数y=3sin2x的图象向左移个单位后，可得到函数y=3sin(2x+)的图象，即得到函数y=3cos(2x-)的图象答案：A绿色通道当a时，把函数y=f(x)的图象沿x轴向右平移a个单位长度，便得到函数y=f(x-a)的图象，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移a个单位长度，便得到函数y=f(x+a)的图象但值得注意的是，变换前后的对应关系应该相同，本题利用了正弦曲线和余弦曲线的关系，不难看出，把余弦曲线沿x轴向右平移，就得到正弦曲线，即cos(x-)=sinx（这与诱导公式的结论是一致的）变式训练5已知函数y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是直线( )Ax1 Bx1 Cx=- Dx=解析：因为函数y=f(2x+1)是偶函数，其对称轴为y轴，即直线x0而函数y=f(2x)的图象是由y=f(2x+1)的图象向右平移个单位长度得到的，故y=f(2x)的图象的对称轴也是由直线x0向右平移个单位长度得到的，即得直线x=答案：D6.要得到函数y=sin(2x+)的图象可以将函数y=sin2x的图象( )A.向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度解析：y=sin