力学(漆安慎)习题解答.pdf

第1章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 1 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 力学力学 1 求下列函数的导数 1043 2 xxy 100cos8sin7 1 xxxy bxabaxy 2 1sinxy x ey sin xey x 100 xx x eey xey xxx xxxy bxabay xxxxy xy 100100 1 cos 1 1cos 2 1 1cos sin8cos7 2 1 46 sin 22 2 12 2 1 2 12 222 解 2 已知某地段地形的海拔高度h因水平坐标x而变 h 100 0 0001x2 1 0 005x2 度量x和h的单位为 米 问何处的高度将取极大值和极小值 在这些地方的高度为多少 解 先求出h x 对x的一阶导数和二阶导数 426436 43647242 102106 102102 102102 1051010 2 2 xxx xxxx dx d dx hd dx d dx dh 令 dh dx 0 解得在 x 0 10 10 处可能有极值 d2h dx2 x 00 x 10是极小值点 h 10 99 0005米 显然 x 10亦是极小值点 h 10 h 10 3 求下列不定积分 dxxdxxx x 2 13 23 dxxdx dxxexdxx dxe dxbaxdx dxxxdxe x x x bax dx x x x xx x x ln 2 2 2 1 13 12 cos 11 cossin sin cos sin 2 2 2 2 解 第1章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 2 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 cxxxddx cxxdxxxdx cexdedxxe cxxxdxdxx cbaxbaxdbax cexdedxe cbaxbaxdbaxdxbax carctgxxdxdxdx cxxxdxxdxdxxx cex dxxdxedxe cxdxxdxdxx cxxxdxxdxdxxdxxx x x xxx aa bax dx xxx aa x dx x x x x x x x x dx xx x x x x 2 2 1ln 4 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 3 3 1 22 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 11 11 11 1 2 2 3 13 3 3 1 2ln 2 2x2 2 2 3 4 4 1 33 ln lnln 12 2sin 2cos1 cos 11 sin sinsincossin 2 cos sin sin sincoscossin cos sin 2ln3 23 2 2 2 3 13 222 22 2 2 2 4 求下列定积分 4 1 2 8 3 2 0 2 0 2 1 2 0 2 1 0 1 0 1 1 4 3 2 1 4 6 4 6 2 1 2 1 4 6 22 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 ln1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 0 5 5 1 1 0 5 5 1 4 1 0 4 3 5 3 242 1 2 13 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 0 1 1 4 6 2 1 1 1 ln1 2 1 2 1 1 1 0 4 2 1 2cos1 3 sin3 454 2sin 2 2cos2cos 2ln ln 5 1 ln1 ln1 ln1 60 arcsin 1 1 1 1 1 1 sin3 2cos 1 1 2 2 2 3 2 2 dxxxdxdxxx arctgxdx xxxdxdx eexedxe xxdxdx x eeededxee xxdxdxxdxx dxxxdxxdxdxe dxdxeedxx x x x x e e e x x x dx xxxxx x x x e x x x dx xx 解 第1章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 3 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 示这些定积分 的函数图形上用面积表 并在以及 计算 xxf xdxxdxxdx sin sinsinsin 5 2 2 0 2 2 0 解 1 cossin 2 0 2 0 xxdx 2 2 0 2 0sin1sin xdxxdx 6 计算由y 3x和y x2所围成的平面图形的面积 解 如图所示 令3x x2 得两 条曲线交点的x坐标 x 0 3 面积 5 4 3 3 0 3 3 12 2 3 3 0 3 0 2 xx dxxxdxA 7 求曲线y x2 2 y 2x x 0和x 2诸线所包围的面积 解 面积A 3 8 2 0 23 3 1 2 0 2 0 2 2 2 2 xxx xdxdxx 8 一物体沿直线运动的速度为v v0 at v0和a为常量 求物体在t1至t2时间内的位移 解 位移S 2 1 0 t t dtatv 2 1 2 22 1 120 2 2 1 0 2 1 ttattvattv t t y 2 0 2 x y 0 3 x y A 0 2 x v v0 t t1 t2 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 4 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 1 2 3 4 5 6 7 略 8 二矢量如图所示 A 4 B 5 25 36 87 直接根据矢量标积定义和正交分解法求 BA 解 直接用矢量标积定义 4 90cos ABBA 用正交分解法 Ax 4cos 3 6 Ay 4sin 1 7 Bx 5cos 90 5sin 3 By 5sin 90 5cos 4 447 1 3 6 3 yyxx BABABA 9 的夹角 与求已知B 2 2 AkjiBjiA 解 由标积定义 AB BA BABAABBA cos cos 而 135 cos 3 32 2 1 21 1 2 2 23 3 22222 BABA BABA 两矢量夹角 10 已BAkjiBAkjiBA 与求 知 4 4 5 3 的夹角 解 将已知两式相加 可求得jiA 5 0 5 3 再将已知两式相减 可求得 5 35 05 3 5 4 5 0 22 AkjiB 5 0 5 3 64 4 1 5 4 5 0 222 BAB 0 5 4 5 0 5 24 88 0308 0 cos BABA AB BA 夹角 11 已知 0ACCBBACBA 求证 证明 用已知等式分别叉乘 ACABAACBA 有 0 0 0 CCCBCABCBBBA 其中 ACCBBACCBBAA 均为零 y B A 0 x 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 5 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 12 计算以 P 3 0 8 Q 5 10 7 R 0 2 1 为顶点的三角形的面积 解 据矢积定义 PRQ 的面积 OPORPRPQPRA 2 1 OPOQPQkji 9 2 3 kji 10 2 kji kji PQPR 34 21 88 1102 923 3 48 6 96342188 2 6 96 222 APRQPQPR面积 13 化简下面诸式 解 BCBAABACCCBA 0 BCBAABACCBCA kjikkijkji ikijikjk 2 2 2 BACBACBA CA BCACABABCBCA BACBABACBACA 2 2 14 计算下面诸式 解 ikjjikkji 3 jjkkii 0 AABABA 15 求证 CBABCABA 证明 BCABA y R 0 2 1 Q 5 10 7 o x z P 3 0 8 j i k j i k 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 6 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 CBABCA BBCBBABCAAAB BCBBABBCABAA BCBABBCBAA 16 21 2 2 2 dt Ad dt Ad t kjeitA 求已知 解 jei tkjeit tt dt d dt Ad 4 21 2 jeijei t tt dt d dt Ad 4 4 2 2 17 已知j titBk tjttieA t 3 4 4 3 23 BA dt d 求 解 zzyyxx BABABABA 242 32 31212 4 343 ttet tttte t t 31212 242 ttetBA t dt d dt d ttett t 648 2 12 32 第二章基本知识小结 基本概念 2 2 dt rd dt vd a dt rd vtrr tatvtr 向右 箭头 表示求 导运 算 向左 箭头表 示积 分运 算 积分运 算需 初始 条件 000 vvrrtt 直角坐标系 222 zyxrkzj yi xr r 与 x y z 轴夹角的余弦分别为 rzryrx vvvvvkvjvivv zyxzyx 222 与 x y z 轴 夹 角 的 余 弦 分 别 为 vvvvvv zyx 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 7 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 aaaaakajaiaa zyxzyx 222 与 x y z 轴 夹 角 的 余 弦 分 别 为 aaaaaa zyx 2 2 2 2 2 2 dt zd dt dv a dt yd dt dv a dt xd dt dv a dt dz v dt dy v dt dx v z z y y x x zyx zyxzyx aaavvvzyx 自然坐标系 vv dt ds vvvsrr 2 2 2 22 v a dt sd dt dv aaaanaaa nnn tatvts 极坐标系 22 vvvvrvvr rr rr dt d rv dt dr vr 相对运动 对于两个相对平动的参考系 0 ttrrr 时空变换 0 vvv 速度变换 0 aaa 加速度变换 若两个参考系相对做匀速直线运动 则为伽利略变换 在图示情况下 则有 zzyyxx zzyyxx aaaaaa vvvvVvv ttzzyyVtxx 2 1 1 质点运动学方程为 jitr 5 23 y y V o x o x z z 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 8 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 jtitr 14 32 求质点轨迹并用图表示 解 5 23 ytx轨迹方程为5 y的直线 14 32 tytx 消去参数 t 得轨迹方程0534 yx 2 1 2 质点运动学方程为kjeier tt 2 22 求质点轨迹 求自 t 1 到 t 1 质点 的位移 解 由运动学方程可知 1 2 22 xyzeyex tt 所以 质点是在 z 2 平面 内的第一像限的一条双曲线上运动 jeeieerrr 1 1 2222 ji 2537 7 2537 7 所以 位移大小 900arccos arccosz 45 2 2 arccos arccosy 135 2 2 arccos arccosx 22537 72537 7 2537 7 2222 r z r y r x yxr 轴夹角与 轴夹角与 轴夹角与 2 1 3 质点运动学方程为jtitr 32 4 2 求质点轨迹 求质点自 t 0 至 t 1 的 位移 解 32 4 2 tytx 消去参数 t 得 2 3 yx jijjirrr 2 4 3 5 4 0 1 2 2 1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为 7 33 4100 11 mR 0 75s 后测得 3 29 4240 22 mR R1 R2均在铅直面内 求飞机瞬 时速率的近似值和飞行方向 角 x y 5 x y 5 5 R 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 9 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 解 t R t RR vv 12 在图示的矢量三角形中 应用余弦 定理 可求得 m RRRRR 58 349 4 4cos42004100242404100 cos 2 22 2121 2 2 2 1 smtRvv 8 46575 0 58 349 据正弦定理 180sin sin 1221 RR 89 34 41 111180 931 0 58 349 4 4sin4240 sin 180sin 1 2121 RR 2 2 2 一圆柱体沿抛物线轨道运动 抛物线轨道为 y x2 200 长度 毫 米 第一次观察到圆柱体在 x 249mm 处 经过时间 2ms 后 圆柱体移 到 x 234mm 处 求圆柱体瞬时速度的近似值 解 由于 t 很小 所以 t r vv 其中 15249234 2 12 xxxj yi xrmst 2 36200 249234 200 22 2 1 2 212 xxyyy jijtyitxv 1 18 5 7 其大小 msmmv 6 19 1 18 5 7 22 与 x 轴夹角 5 112 38265 0arccos 6 19 5 7 arccosarccos v vx 2 2 3 一人在北京音乐厅内听音乐 离演奏者 17m 另一人在广州听同一演奏的转播 广州离北京 2320km 收听者离收音机 2m 问谁先听到声音 声速为 340m s 电磁波传播 的速率为 3 0 108m s 解 声音传播情况如图所示 北京人听到演奏声音所需时间 st05 0340 17 1 y x 0 x 1 x2 1 R1 R2 R 1 2 17m 340m s 2320km 3 108m s 340m s 2m 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 10 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 广州人听到演奏声音所需时间 st0136 0 340 2 100 3 102320 8 3 2 2 2 5 火车进入弯道时减速 最初列车向正北以 90km h 速率行驶 3min 后以 70km h 速 率向北偏西 30 方向行驶 求列车的平均加速度 解 t v t vv a 12 对矢量三角形应用余弦定理 smhkm vvvvv 69 12 69 45 37090709030cos2 22 21 2 2 2 1 2 07 0 603 69 12 sm t v a 由正弦定理 30sinsin 2 vv 50 766 069 45 5 070 30sinsin 2 vv 2 2 6 k tj tRi tRr 2 sin cos R 为正常数 求 t 0 2 时的速度和加速度 ktjti tr 6 5 4 3 32 求 t 0 1 时的速度和加速度 写出正交分解式 解 kj tRi tRdtrdv 2 cos sin jRakiRv iRakjRvj tRi tRdtvda tt tt 2 2 sin cos 2 2 00 k tjdtvdaktj tidtrdv 36 9 18 9 3 2 kjakjivjaiv tttt 36 9 18 9 3 9 3 1100 2 3 1 图中 a b 和 c 表示质点沿直线运动三种不 同情况下的 x t 图像 试说明每种运动的特点 即速度 计时起点时质点的位置坐标 质点位于坐标原点的 时刻 解 质点直线运动的速度 dtdxv 在 x t 图像中为曲线斜率 由于三种图像 都是直线 因此三种运动都是匀速直线运动 设直线 v2 30 v1 90km h v2 70km h v 西 北 10 20 30 10 20 30 45 120 10 20 0 x m t s a b c 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 11 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 与 x 轴正向夹角为 则速度txtgv 对于 a 种运动 stgtmxsmtgv xt 55 113020 20 3120 00 对于 b 种运动 stgtmxmstgv xt 32 1730 10 10 3 330 00 1 对于 c 种运动 mtgxstmstgv tx 254525 25 145 00 1 2 3 2 质点直线运动的运动学方程为 x acost a 为正常数 求质点速度和加速度 并讨论 运动特点 有无周期性 运动范围 速度变化情况等 解 tadtdvatadtdxvtax xxx cos sin cos 显然 质点随时间按余弦规律作周期性运动 运动范围 aaaavaaxa xx 2 3 3 跳伞运动员的速度为 qt qt e e v 1 1 v 铅直向下 q 为正常量 求其加速度 讨论时间足够长时 即 t 速度 加速度的变化趋势 解 22 1 2 1 1 1 1 1 qt qt qt qtqttqtqt qt qt e qe e qeeqee e e dt d dt dv a 因为 v 0 a 0 所以 跳伞员做加速直线运动 但当 t 时 v a 0 说明经 过较长时间后 跳伞员将做匀速直线运动 2 3 4 直线运行的高速列车在电子计算机控制下减 速 进 站 列 车 原 运 行 速 率 为v0 180km h 其速 率变化规律如图所示 求列车行至x 1 5km 时的加速 度 解 sin 5 cos 5050 xvdxdvxvv dx dv dt dx dx dv va xv 5 2 2 010 1 sin 将 v0 180km h x 1 5km 代入 222 10 1 75 0 9676108sin18014 3smhkma v km h v v0cos x 5 x km 1 5 v0 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 12 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 2 3 5 在水平桌面上放置 A B 两物体 用一根不可伸 长的绳索按图示的装置把它们连接起来 C 点与桌面固定 已知物体 A 的加速度 aA 0 5g 求物体B 的加速度 解 设整个绳长为 L 取图示坐标 o x 则 3xA 4xB L 对时间求两次导数 3aA 4aB 所以 aB 3aA 4 3 0 5g 4 3g 8 2 3 6 质点沿直线的运动学方程为 x 10t 3t2 将坐标原点沿 o x 正方向移动 2m 运动 学方程如何 初速度有无变化 将计时起点前移 1s 运动学方程如何 初始坐标和初速 度发生怎样的变化 加速度变不变 解 x 10t 3t2 v dx dt 10 6t a dv dt 6 t 0 时 x 0 v 10 将坐标原点向 x 轴正向移动 2m 即令 x x 2 x x 2 则运动学方程为 x 10t 3t2 2 v dx dt 10 6t v v 将计时起点前移 1s 即令 t t 1 t t 1 则运动学方程变为 x 10 t 1 3 t 1 2 10t 10 3t 2 6t 3 4t 3t 2 7 v dx dt 4 6t t 0 时 x 7 v 4 加速度 a 不变 2 4 1 质点从坐标原点出发时开始计时 沿 x 轴运动 其加速度 ax 2t cms 2 求在下列 两种情况下质点的运动学方程 出发后 6s 时质点的位置 在此期间所走过的位移及路程 初速度 v0 0 初速度 v0的大小为 9cm s 方向与加速度方向相反 解 2 0 0 2 2 0 tvvtdtdvtdtdtadv x t v v xxx x 3 3 1 0 0 2 0 0 0 2 0 ttvxdttdtvdxdttvdtvdx ttx x cmxtxtvv x 726 6 0 2 3 1 3 3 1 2 0 时 cmxSmxxx7272 0 6 路程 ttxtvv x 9 99 3 3 1 2 0 时 cmxxx18 0 6 令 vx 0 由速度表达式可求出对应时刻 t 3 由于 3 秒前质点沿 x 轴反向运动 3 秒后 质点沿 x 轴正向运动 所以路程 cm xxxxxxS 543618 393 218 3 2 6 3 6 0 3 3 3 1 2 4 2 质点直线运动瞬时速度的变化规律为 vx 3 sint 求 t1 3 至 t2 5 时间内的位移 解 5 3 sin3 sin3 5 3 tdtdxtdtdtvdx x x x A B aA 0 5g 0 x 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 13 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 mxxx82 3 3cos5 cos3 35 2 4 3 一质点作直线运动 其瞬时加速度的变化规律为 ax A 2cos t 在 t 0 时 vx 0 x A 其中 A 均为正常数 求此质点的运动学方程 解 tdtAdvtAdtdva xxx cos cos 22 tvt x ttdAtdtAdv x 000 2 coscos tAxtAtAAx ttdAtdtAdx tdtAdxdtdxtAv t ttx A x cos 1 cos cos sinsin sin sin 0 00 2 4 4 飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动 刚着陆时 t 0 时速度为 v0 且坐标 x 0 假设其加速度为 ax bvx2 b 常量 求飞机速度和坐标随时间的变化规律 解 btvdtbdvvdtbvdtadv x x v vx t v v xxxxx 0 0 1 0 22 btv v v v btv bt v bt vv x xxv0 0 0 0 00 1 1 11 11 1ln 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 btv b x btv btvd bbtv dtv dx btv dtv dtvdx ttx x 2 4 5 在 195m 长的坡道上 一人骑自行车以 18km h 的速度和 20cm s2的加速度上坡 另一自行车同时以 5 4km h 的初速度和 0 2m s2的加速度下坡 问 经多长时间两人相遇 两人相遇时各走过多长的路程 解 以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标 o x 用脚标 1 表示上坡者 用脚标 2 表示下坡者 两人的加速度实际上是相同的 2 21 2 0smaa smhkmvvsmhkmvv xxxxt 5 1 4 5 5 18 195 00 202101 202101 时 初始条件 根据匀变速直线运动公式 x 0 195 a1 a2 v10 v20 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 14 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 22 22 1 202 22 12 1 101 1 05 1195195 1 05 tttatvx tttatvx 令 x1 x2 可求得相遇时间 5t 195 1 5t t 195 6 5 30s 对于上坡者 在相遇期间做的不一定是单方向直线运动 据上坡者的速度表达式 v1 5 0 2t 令 v1 0 求得对应时刻 t 25s 所以 上坡者在 25s 前是在上坡 但 25s 后却再下 坡 因此 上坡者在 30s 内走过的路程 m xxxxxxS 65 301 0305 251 0255 2 30 25 2 25 30 0 25 22 1111111 对于下坡者 因为做单方向直线运动 所以 30s 内走过的路程 mxxxxS13560195 30 0 0 30 22222 2 4 6 站台上送行的人 在火车开动时站在第一节车厢的最前面 火车开动后经过 t 24s 火车第一节车厢的末尾从此人的前面通过 问第七节车厢驶过他面前需要多长时间 火车做 匀加速运动 解 设每节车厢长为 L 以地为参考系 以人 所在点为原点建立图示坐标o x 以第一节车厢的 前端点为研究对象 t 0 时 前端点的坐标 x 0 速 度 v 0 据匀加速运动公式 2 2 1 atx 令 x L 求得 22 24 2 2L t L a 22 24 Ltx 令 x 6L 可求得第 6 节车厢尾端通过人时所需时间 t6 624 246 24 6 6 2222 tttLtL 令 x 7L 可求得第 7 节车厢尾端通过人时所需时间 t7 724 247 24 7 7 2222 tttLtL 因此 第 7 节车厢通过人所需时间 sttt71 4 67 24 67 2 4 7 在同一铅直线上相隔 h 的两点以同样速率 v0上抛二石子 但在高处的 石子早 t0秒被抛出 求此二石子何时何处相遇 解 以地为参考系 建立图示坐标 o y 据题意 设 t 0 时 上面石子坐标 y1 h 速度 v1 v0 t t0时 下面石子坐标 y2 0 v2 v0 解法 1 根据匀变速直线运动的规律 可知 2 1 0 x y h 0 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 15 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 4 1 2 1 2 2 0 2 0 2 2 0 00 0 2 02 1 00 2 2 1 021 2 02 1 002 2 2 1 01 gt gt h g v hy t g v gt h t ttgttvgttvhyy ttgttvygttvhy 相遇时石子坐标 得 代入 或 中 可求求得相遇时间 有令 解法 2 可根据速度 加速度的导数定义和初始条件 通过积分得到 然后求解 2 4 8 电梯以 1 0m s 的匀速率下降 小孩在电梯中跳离地板 0 50m 高 问当小孩再次落 到地板上时 电梯下降了多长距离 解 以电梯为参考系 小孩相对电梯做竖直上抛运动 他从起跳到再次落到地板所需 时间 是他从最高处自由下落到地板所需时间的 2 倍 由自由落体运动公式 2 2 1 gth 可求得从最高出落到地板所需时间 shgt32 05 0 8 92 2 所以小孩做竖 直上抛所需时间为 0 64s 在此时间内电梯对地下落距离 L 1 0 0 64 0 64 m 2 5 1 质点在 o xy 平面内运动 其加速度为jti ta sin cos 位置和速度的初始条 件为 t 0 时 irjv 求质点的运动学方程并画出轨迹 解 j ti tj titir tdtjtdtirddtj ti tdtvrd j ti tjti tjv tdtjtdtivddtj ti tdtavd ttr i ttv j sin cos sin 1 cos cos sin cos sin cos sin 1 cos sin sin cos sin cos 00 00 1 sin cos 22 yx tytx 2 5 2 在同一竖直面内的同一水平线上 A B 两点分别以 30 60 为发射角同时抛出两 球 欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点 求 A B 两点间的距离 已知小球在 A 点 的发射速度 vA 9 8 米 秒 解 以 A 点为原点建立图示坐标系 取发射时刻为计时起点 两点间距离为 S 初始条 件如图所示 据斜抛规律有 gtvvgtvv Stvxtvx BOByAOAy BOBAOA 60sin30sin 60cos30cos Y vAO vBO 30 60 A S B x x y 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 16 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 满足题中条件 在最高点相遇 必有 vAy vBy 0 xA xB mctg g v S tvvS vvgvt AO BOAO AOBOAO 83 2 605 030 cos 2 60cos30cos 60sin 30sin 30sin 0 2 代入 中得 把 得令 令 2 5 3 迫击炮的发射角为 60 发射速率 150m s 炮弹击中倾角为 30 的山坡上的目标 发射点正在山脚 求弹着点到发射点的距离 OA 解 以发射点为原点 建立图示坐标o x 斜抛物体的轨迹方程 为 见教材 2 2 2 0 cos2 x v g xtgy 本题 60 v0 150m s A 点坐标 xA yA应满足轨迹方程 所 以 2 2 0 2 2 2 0 2 3 60cos2 60 AAAAA x v g xx v g tgxy 另外 根据图中几何关系 可知 OAOAxA 2 3 30cos OAOAyA 2 1 30sin 代入 中 有 m g v OAOA v g OAOA1531 8 93 1502 3 2 2 3 2 2 0 2 2 0 2 3 2 1 2 5 4 轰炸机沿与铅直方向成 53 俯冲时 在 763m 的高度投放炸弹 炸弹在离开飞机 5 0s 时击中目标 不计空气阻力 轰炸机的速率是多少 炸弹在飞行中通过的水平距离 是多少 炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少 解 以投放点为原点 建立图示坐标 o xy 设炸弹初速度 即轰 速度j ga 所以炸炸机速度 为 v0 由于炸弹在飞行过程中的加 弹在 x 方向做匀速直线运动 在 y 方向做竖直下抛运动 有 2 2 1 00 00 53cos53sin 53cos53sin gttvytvx gtvvvv yx 令 t 5 0s y 763m 由 可求得轰炸机的速率 sm t gty v 86 212 56081 0 58 95 0763 53cos 5 0 22 0 将 v0代入 中 可求得炸弹击中目标时速度的水平分量 x y A 60 30 v0 x y 0 v0 53 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 17 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 smvx 17053sin86 212 令 t 5 由 可求得炸弹击中目标时速度的竖直分量 smvy 1 17758 953cos86 212 2 5 5 雷达监测员正在监视一越来越近的抛射体 在某一时刻 他给出这样的信息 抛射体达到最大高度且正以速率 v 沿水平方向运动 观测员到抛射体的直线距离是 l 观测员观测抛体的视线与水平方向成 角 问 抛射体命中点到观测者的距离 D 等于多 少 何种情况下抛体飞越观察员的头顶以后才命中目标 何种情况下抛体在未达到观察 员以前就命中目标 解 以抛体所达最大高度处为计时起点和坐标原点 建 立图示坐标 o xy 抛体以速度 v 做平抛运动 设命中时间为 t1 由自由落体公式 gltgtl sin2 sin 1 2 12 1 命 中 点x坐 标 为 glvvtx sin2 11 由图中几何关系 观测者的 x 坐标 cos 2 lx 所以 观测 者与命中点间的距离 sin2cos 12 glvlxxD 当 x1x2 即 sin2 cos l g lv 时 则抛体在飞越观察员后才命中目标 2 6 1 列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶 在我们所讨论的时间范围内 其运动学方 程为 S 80t t2 m s t 0 时 列车在图中 O 点 此圆弧形轨道的半径 r 1500m 求列车驶 过 O 点以后前进至 1200m 处的速率及加速度 解 S 80t t2 v dS dt 80 2t 令 S 1200 由 可求得对应时间 ssttt20 60 0120080 2 求得 将 t 60 代入 中 v 40 不合题意 舍去 将 t 20 代入 中 v 40m s 此即列车前 进到 1200m 处的速率 x y o v l 命 中 点 观 测 者 x1 x2 东 北 O S a an a v 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 18 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 152 2 067 1 267 2067 1 2 067 11500 40 2 222 22 2222 arctg a a arctgva smaaa smrvasmdtdva n n n 所成夹角 与 2 6 2 火车以 200 米 小时的速度驶入圆形轨道 其半径为 300 米 司机一进入圆弧形轨 道立即减速 减速度为 2g 求火车在何处的加速度最大 最大加速度是多少 解 沿火车运动的圆形轨道建立弧坐标 o s t 0 时 s 0 v v0 200km h 55 56m s 据题 意 a 2g v v0 a t v0 2g t an v2 R v0 2gt 2 R a a 2 an2 1 2 4g2 v0 2gt 4 R2 1 2 显 然 t 0 时 a 最大 22 4 0 2 max 1 22 4smRvga 2 6 3 斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道上运动 当斗车达到图中所示位置时 轨 道曲率半径为 150m 斗车速率为 50km h 切向加速度 a 0 4g 求 斗车的加速度 解 2 92 38 94 04 0smga 22 3600 1050 2 286 1150 3 msvan nnaaa n 286 1 92 3 222 22 126 4286 192 3smaaa n 加速度a 与切向单位矢量 夹角 16 18 92 3 286 1 arctgarctg a an 2 8 1 飞机在某高度的水平面上飞行 机身的方向是自东北向西南 与正西夹 15 角 风以 100km h 的速率自西南向东北方向吹来 与正南夹 45 角 结果飞机向正西方向运动 求飞机相对于风的速度及相对于地面的速度 解 风地机风机地 vvv 由矢量图可知 15sin135sin30sin 风地机风机地 vvv 其中 v风 地 100km h 27 78m s 可求得 smvvsmvv 67 53 15sin 30sin 89 75 15sin 135sin 风地机地风地机风 2 8 3 一卡车在平直路面上以恒速度 30 米 秒行驶 在此车上射出一个抛体 要求在车 前进 60 米时 抛体仍落回到车上原抛出点 问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方 向 空气阻力不计 解 以卡车为参考系 设抛体初速为 v0 由于要落回原抛出点 故方向只能竖直向上 即抛体相对车只能作竖直上抛运动 取向上方向为正 抛体相对车任意时刻速度 v v0 g t B 120m C B v u L v 1 u 2 A A 第一次渡河矢量图 第二次渡河矢量图 n a 30 北 东 45 15 v风地 v机地 v机风 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 19 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 由题意 抛体落回原地所需时间 t 60 30 2 s 落到车上时的速度 v v0 把数值代入 中 可求得 v0 9 8 m s 2 8 4 河的两岸互相平行 一船由 A 点朝与岸垂直的方向匀速驶去 经 10min 到达对岸 C 点 若船从 A 点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直地到达彼岸的 B 点 需要 12 5min 已知 BC 120m 求 河宽 L 第二次渡河时船的速度u 水流速度 v 解 以船为运动质点 水为动系 岸为静系 由相对运动公式 vu vuvvvvvv 则上式可改写为 令 在这里 船岸船水水岸水岸船水船岸 由第一次渡河矢量图可知 v BC t1 120 600 0 2m s u L t1 L u t1 由第二次渡河矢量图可知 2 L t2 cos 2 u v u sin 把 代入 求得 cos t1 t2 600 750 4 5 sin 1 cos2 1 2 3 5 把 代入 求得 u 0 2 5 3 1 3 m s 再把 u 的数值代入 求得 L 600 3 200 m 答 河宽 200 米 水流速度 0 2 米 秒 第二次渡河时 船对水的速度是 1 3 米 与河 岸垂直方向所成角度 arccos 4 5 36 52 2 8 5 圆形公路与沿半径方向的东西向公路相交如图 某瞬时汽车甲向东以 20km h 的速率行驶 汽车乙在 30 的位置向东北方向以速率 20km h 行驶 求此瞬时甲车相对 乙车的速度 解 由相对运动公式 2121 vvv 2112 vvv 显然矢量三角形为等边三角形 所以 v12 20km h 方向向东偏南 60 第三章基本知识小结第三章基本知识小结 牛顿运动定律适用于惯性系 质点 牛顿第二定律是核心 矢量式 2 2 dt rd m dt vd mamF 分量式 弧坐标 直角坐标 2 v mmaF dt dv mmaF maFmaFmaF nn zzyyxx 动量定理适用于惯性系 质点 质点系 导数形式 dt pd F 微分形式 pddtF v1 v2 v12 v1 30 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 20 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 积分形式 pdtFI 注意分量式的运用 动量守恒定律适用于惯性系 质点 质点系 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零 则质点或质点系的动量保持不变 即 恒矢量 则 若 外 pF 0 注意分量式的运用 在非惯性系中 考虑相应的惯性力 也可应用以上规律解题 在直线加速参考系中 0 amf 在转动参考系中 2 2 mvfrmf kc 质心和质心运动定理 iiciiciic amamvmvmrmrm c amF 注意分量式的运用 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 21 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 3 5 1 质量为 2kg 的质点的运动学方程为 jttitr 133 16 22 单位 米 秒 求证质点受恒力而运动 并求力的方向 大小 解 jidtrda 6 12 22 jiamF 12 24 为一与时间无关的恒矢量 质点受恒力而运动 F 242 122 1 2 125N 力与 x 轴之间夹角为 34265 0 arctgFarctgF xy 3 5 2 质 量 为 m 的 质 点 在 o xy 平 面 内 运 动 质 点 的 运 动 学 方 程 为 jtbitar sin cos a b 为正常数 证明作用于质点的合力总指向原点 证明 rj tbi tadtrda 2222 sin cos rmamF 2 作用于质点的合力总指向原点 3 5 3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛 一方面由筛孔漏出谷粒 一方面逐出秸杆 筛 面微微倾斜 是为了从较低的一边将秸杆逐出 因角度很小 可近似看作水平 筛面与谷粒 发生相对运动才可能将谷粒筛出 若谷粒与筛面静摩擦系数为 0 4 问筛沿水平方向的加速 度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动 解 以地为参考系 设谷物的质量为 m 所受到的最大静摩擦力为 mgf o 谷 物能获得的最大加速度为 2 92 38 94 0 smgmfa o 筛面水平方向的加速度至少等于 3 92 米 秒 2 才能使谷物与筛面发生相对运动 1 2 3 5 3 题图 3 5 4 题图 3 5 4 桌面上叠放着两块木板 质量各为 m1 m2 如图所示 m2和桌面间的摩擦系数为 2 m1和 m2间的摩擦系数为 1 问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来 解 以地为参考系 隔离 m1 m2 其受力与运动情况如图所示 m2 m1 F m1g f1 N1 a1 a2 N2 N1 m2g F f1 f2 x y 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 22 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 其中 N1 N1 f1 f1 1N1 f2 2N2 选图示坐标系 o xy 对 m1 m2分别应用牛顿二定律 有 0 0 212222211 111111 gmNNamNNF gmNamN 解方程组 得 2221211211 mgmgmgmFaga 要把木板从下面抽出来 必须满足 12 aa 即 gmgmgmgmF 12221211 gmmF 2121 3 5 5 质量为 m2的斜面可在光滑的水平面上滑动 斜面倾角为 质 量为 m1的运动员与斜面之间亦无摩擦 求运动员相对于斜面的加速度及其 对斜面的压力 解 以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参考系 非惯性系 设斜面相对地的加速度 为 a2 取 m1为研究对象 其受力及运动情况如左图所示 其中 N1为斜面对人的支撑力 f 为惯性力 a 即人对斜面的加速度 方向显然沿斜面向下 选如图所示的坐标系 o x y 应 用牛顿第二定律建立方程 2 cossin 1 0sincos 1211 2111 amamgm amgmN 再以地为参考系 取 m2为研究对象 其受力及运动情况如右图所示 选图示坐标 o xy 应用牛顿第二定律建立方程 4 0cos 3 sin 122 221 NgmN amN 1 2 3 联 立 即 可 求 得 g mm mm ag mm mm N 2 12 21 2 12 21 1 sin sin sin cos 3 5 6 在图示的装置中两物体的质量各为 m1 m2 物体之间及 物体与桌面间的摩擦系数都为 求在力 F的作用下两物体的加速 度及绳内张力 不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦 绳不可伸长 解 以地为参考系 隔离 m1 m2 受力及运 动情况如图示 其中 f1 N1 m1g f2 N2 N1 m2g m1 m2 g 在水平方向对两个质 点应用牛二定律 m1 m2 m1 m2 F f1 N1 m1g T a F N2 m2g T a N1 f1 f2 y N2 a2 x N1 N1 m2g x N1 a f m1a2 y m1g 第 1 章 物 理 学 力 学 数 学 微 积 分 初 步 习 题 解 答 23 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 amTgmmgmFamgmT 221111 可求得 g mm gmF a 21 1 2 将 a 代入 中 可求得 21 11 2 mm gmFm T 3 5 7 在图示的装置中 物体 A B C的质量各为 m1 m2 m3 且两两不相等 若物体 A B 与桌面间的摩擦系数为 求三个 物体的加速度及绳内的张力 不计绳和滑轮质量 不计轴承摩 擦 绳不可伸长 解 以地为参考系 隔离 A B C 受力及运动情况如图 示 其中 f1 N1 m1g f2 N2 m2g T 2T 由于A的位移加B的位移除2等于C 的 位 移 所 以 a1 a2 2 a3 对 A B C 分别在其加速度方向上应用牛顿第二定 律 2 2 2133 222111 aamTgm amgmTamgmT 联立 可求得 g mmmmm mmm a g mmmmm mm a g mmmmm mm a 21321 321 3 21321 31 2 21321 32 1 4 1 4 1 2 4 1 2 3 5 8 天平左端挂一定滑轮 一轻绳跨过定滑轮 绳的两端分别系上质量为 m1 m2的物 体 m1 m2 天平右端的托盘上放有砝码 问天平托盘和砝码共重若干 天平才能保持平 衡 不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦 绳不伸长 解 隔离 m1 m2及定滑轮 受力及运动情况如图示 应用牛顿 第二定律 2 2211 TTamTgmamgmT 由 可求得 C A B T f1 N1 m1g a1 T f2 N2 m2g a2 T m3g a3 m1 m2 T m1g