北京市西城区宣武外国语学校九年级数学上学期期中试题（含解析） 新人教版.doc

北京市西城区宣武外国语学校2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题：（每题3分，共30分）1抛物线y=（x2）2+3的顶点坐标是( )a（2，3）b（2，3）c（2，3）d（2，3）2在efg中，g=90，eg=6，ef=10，tane=( )abcd3已知如图o的直径为10，圆心o到弦ab的距离om的长为3，则弦ab的长是( )a4b6c7d84如图，点a、b、c都在o上，若aob=72，则acb的度数为( )a18b30c36d725把二次函数y=x24x+3化成y=a（xh）2+k的形式是( )ay=（x2）21by=（x+2）21cy=（x2）2+7dy=（x+2）2+76将抛物线y=2x2向下平移1个单位，向右平移1个单位得到的抛物线是( )ay=2（x+1）21by=2（x1）21cy=2x2+1dy=2x217如图，已知直角三角形abc中，斜边ab的长为m，b=40，则直角边bc的长是( )amsin40bmcos40cmtan40d8等腰三角形的底边长10m，周长为36cm，则底角的正弦值为( )abcd9函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a0）的图象可能是( )abcd10如图，ab为半圆的直径，点p为ab上一动点，动点p从点a出发，沿ab匀速运动到点b，运动时间为t，分别以ap与pb为直径做半圆，则图中阴影部分的面积s与时间t之间的函数图象大致为( )abcd二、填空题（每题3分，共6个小题，共18分）11在函数y=中，自变量x的取值范围是_12在半径为1的圆中，120的圆心角所对的弧长是_13请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y=_14某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度比为_15二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的解是_16如图，抛物线y=ax2+bx+c请根据图象写出该图象两条性质：_三、解答题（每题5分，共30分）172cos30+sin45tan6018已知函数y=x2+bx1的图象经过点（3，2）（1）求这个函数的解析式；（2）直接写出它的顶点坐标和对称轴19在rtabc中，c=90，b=17，b=45，求a、c与a20如图，ab是o的直径，点c在o上，ab=6，ac=5，求tana的值21已知：如图，在o中，弦ab、cd交于点e，ad=cb求证：ae=ce22已知抛物线y=x22x3（1）它与y轴的交点的坐标为_；（2）在坐标系中利用描点法画出它的图象；（3）当1x4时，求y的取值范围四、解答题（每题5分，共20分）23已知函数y=（k3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，求k的取值范围24如图，小明同学在东西方向的环海路a处，测得海中灯塔p在它的北偏东60方向上，在a的正东400米的b处，测得海中灯塔p在它的北偏东30方向上问：灯塔p到环海路的距离pc约等于多少米？（取1.732，结果精确到1米）25如图所示，已知：在abc中，a=60，b=45，ab=8求：abc的面积（结果可保留根号）26如图所示，已知ab为o的直径，cd是弦，且abcd于点e连接ac、oc、bc（1）求证：aco=bcd；（2）若eb=8cm，cd=24cm，求o的直径五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27阅读下面的材料小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果，都为锐角，且tan=，tan，求+的度数小敏是这样解决问题的：如图1，把，放在正方形网格中，使得abd=，cbe=，且ba，bc在直线bd的两侧，连接ac，可证得abc是等腰三角形，因此可求得+=abc=_请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果，都为锐角，当tan=4，tan=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角，画出mon=，由此可得=_28已知二次函数y=ax2+bx+c（a为常数，且a0）的图象过点a（0，1），b（1，2）和点c（1，6）（1）求二次函数表达式；（2）若mn2，比较m24m与n24n的大小；（3）将抛物线y=ax2+bx+c平移，平移后图象的顶点为（h，k），若平移后的抛物线与直线y=x1有且只有一个公共点，请用含h的代数式表示k29已知：如图1，抛物线的顶点为m，平行于x轴的直线与该抛物线交于点a，b（点a在点b左侧），根据对称性amb恒为等腰三角形，我们规定：当amb为直角三角形时，就称amb为该抛物线的“完美三角形”（1）如图2，求出抛物线y=x2的“完美三角形”斜边ab的长；抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是_；（2）若抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；（3）若抛物线y=mx2+2x+n5的“完美三角形”斜边长为n，且y=mx2+2x+n5的最大值为1，求m，n的值2015-2016学年北京市西城区宣武外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每题3分，共30分）1抛物线y=（x2）2+3的顶点坐标是( )a（2，3）b（2，3）c（2，3）d（2，3）【考点】二次函数的性质 【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴【解答】解：y=（x2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）故选：c【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（xh）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h2在efg中，g=90，eg=6，ef=10，tane=( )abcd【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据勾股定理得出fg，再利用三角函数的定义即可得出答案【解答】解：g=90，eg=6，ef=10，fg=8，tane=故选b【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握三角函数的计算公式是解题的关键3已知如图o的直径为10，圆心o到弦ab的距离om的长为3，则弦ab的长是( )a4b6c7d8【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】先根据垂径定理求出am=ab，再根据勾股定理求出am的值【解答】解：连接oa，o的直径为10，oa=5，圆心o到弦ab的距离om的长为3，由垂径定理知，点m是ab的中点，am=ab，由勾股定理可得，am=4，所以ab=8故选d【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解4如图，点a、b、c都在o上，若aob=72，则acb的度数为( )a18b30c36d72【考点】圆周角定理 【分析】根据圆周角定理，由aob=72，即可推出结果【解答】解：aob=72，acb=36故选c【点评】本题主要考查圆周角定理，关键在于运用数形结合的思想进行认真分析5把二次函数y=x24x+3化成y=a（xh）2+k的形式是( )ay=（x2）21by=（x+2）21cy=（x2）2+7dy=（x+2）2+7【考点】二次函数的三种形式 【分析】利用配方法将原式配方，即可得出顶点式的形式【解答】解：y=x24x+3=x24x+41，=（x2）21故选：a【点评】此题主要考查了配方法求二次函数顶点时形式，熟练地应用配方法这是中考中考查重点6将抛物线y=2x2向下平移1个单位，向右平移1个单位得到的抛物线是( )ay=2（x+1）21by=2（x1）21cy=2x2+1dy=2x21【考点】二次函数图象与几何变换 【专题】几何变换【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），利用点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（1，1），于是可利用顶点式写出平移后的抛物线解析式【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），而点（0，0）下平移1个单位，向右平移1个单位得到对应点的坐标为（1，1），所以平移后的抛物线解析式为y=2（x1）21故选b【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式7如图，已知直角三角形abc中，斜边ab的长为m，b=40，则直角边bc的长是( )amsin40bmcos40cmtan40d【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可【解答】解：cos40=，bc=abcos40=mcos40故选b【点评】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边8等腰三角形的底边长10m，周长为36cm，则底角的正弦值为( )abcd【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质 【专题】计算题【分析】先画出几何图形，ab=ac，bc=10cm，ab+bc+ac=36cm，则ab=ac=13cm，作adbc于d，根据等腰三角形的性质得bd=bc=5，则利用勾股定理可计算出ad=12，然后根据正弦的定义求解【解答】解：如图，ab=ac，bc=10cm，ab+bc+ac=36cm，则ab=ac=13cm，作adbc于d，ab=ac，bd=cd=bc=5，在rtabd中，ab=13，bd=5，ad=12，tanb=故选d【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形也考查了等腰三角形的性质9函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a0）的图象可能是( )abcd【考点】二次函数的图象；一次函数的图象 【分析】根据a的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于（0，1），逐一排除；【解答】解：当a0时，函数y=ax2+bx+1（a0）的图象开口向上，函数y=ax+1的图象应在一、二、三象限，故可排除d；当a0时，函数y=ax2+bx+1（a0）的图象开口向下，函数y=ax+1的图象应在一二四象限，故可排除b；当x=0时，两个函数的值都为1，故两函数图象应相交于（0，1），可排除a正确的只有c故选c【点评】应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等10如图，ab为半圆的直径，点p为ab上一动点，动点p从点a出发，沿ab匀速运动到点b，运动时间为t，分别以ap与pb为直径做半圆，则图中阴影部分的面积s与时间t之间的函数图象大致为( )abcd【考点】动点问题的函数图象 【专题】几何图形问题；压轴题【分析】按等量关系“阴影面积=以ab为直径的半圆面积以ap为直径的半圆面积以pb为直径的半圆面积”列出函数关系式，然后再判断函数图象【解答】解：设p点运动速度为v（常量），ab=a（常量），则ap=vt，pb=avt；则阴影面积s=+t由函数关系式可以看出，d的函数图象符合题意故选：d【点评】本题考查的是面积随动点匀速运动时变化的关系，关键是列出函数关系式，再与函数图象对照二、填空题（每题3分，共6个小题，共18分）11在函数y=中，自变量x的取值范围是x1【考点】函数自变量的取值范围 【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x10，解不等式可求x的范围【解答】解：根据题意得：x10，解得：x1故答案为：x1【点评】此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数12在半径为1的圆中，120的圆心角所对的弧长是【考点】弧长的计算 【分析】根据弧长公式：l=计算即可【解答】解：圆心角为120，r=1，l=故答案为【点评】此题主要考查了扇形的弧长计算公式，正确的代入数据并进行正确的计算是解题的关键13请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y=x2+1（答案不唯一）【考点】二次函数的性质 【专题】开放型【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可【解答】解：抛物线y=x2+1开口向上，且与y轴的交点为（0，1）故答案为：x2+1（答案不唯一）【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值必须大于014某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度比为1：2【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】利用勾股定理求得水平距离根据坡度定义求解【解答】解：某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米此时他与水平地面的垂直距离为2米，根据勾股定理可以求出他前进的水平距离为4米所以这个坡面的坡度比为2：4=1：2【点评】本题比较容易，考查坡度的定义15二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=3【考点】抛物线与x轴的交点 【专题】数形结合【分析】由二次函数的图象得到抛物线与x轴的交点坐标，而所求的方程其实质上是二次函数解析式中的y=0得出的方程，此时方程的解即为二次函数图象与x轴交点的横坐标，进而得到方程的解【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：抛物线与x轴的交点坐标分别为（1，0），（3，0），则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=3故答案为：x1=1，x2=3【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，利用了数形结合的数学思想，其中抛物线与x轴的交点的横坐标即为抛物线解析式中y=0得到关于x的一元二次方程的解，熟练掌握此性质是解本题的关键16如图，抛物线y=ax2+bx+c请根据图象写出该图象两条性质：开口方向向下；对称轴x=1，当x1时，y随着x的增大而减小，当x1时，y随着x的增大而增大【考点】二次函数的性质；二次函数的图象 【分析】结合图象，根据开口方向、对称轴以及增减性得出答案即可【解答】解：如图，抛物线y=ax2+bx+c的性质：开口方向向下；对称轴x=1，当x1时，y随着x的增大而减小，当x1时，y随着x的增大而增大故答案为：开口方向向下；对称轴x=1，当x1时，y随着x的增大而减小，当x1时，y随着x的增大而增大【点评】此题考查二次函数的图象与性质，结合图象，正确判定开口方向、对称轴以及增减性解决问题三、解答题（每题5分，共30分）172cos30+sin45tan60【考点】特殊角的三角函数值 【分析】将特殊角的三角函数值带入求解【解答】解：原式=2+=1【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值18已知函数y=x2+bx1的图象经过点（3，2）（1）求这个函数的解析式；（2）直接写出它的顶点坐标和对称轴【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质 【分析】（1）因为二次函数y=x2+bx1的图象经过点（3，2），所以将点代入解析式即可求得b的值，从而求得解析式；（2）把一般式化成顶点式，即可求得顶点坐标和对称轴【解答】解：（1）把点（3，2）代入y=x2+bx1得：9+3b1=2b=2，函数的解析式为y=x22x1；（2）此抛物线的解析式为y=x22x1=（x1）22，这个图象的顶点坐标（1，2），对称轴x=1【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键19在rtabc中，c=90，b=17，b=45，求a、c与a【考点】等腰直角三角形 【分析】根据三角形的内角和得到a=90b=45，根据等腰三角形的性质得到a=b=17，由勾股定理即可得到结论【解答】解：c=90，b=45，a=90b=45，a=b，a=b=17，c=17【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，三角形的内角和，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键20如图，ab是o的直径，点c在o上，ab=6，ac=5，求tana的值【考点】圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义 【分析】首先根据直径所对的圆周角是直角求出c=90，再利用勾股定理计算出bc的长，然后根据正切定义可求出tana的值【解答】解：ab是o的直径，acb=90 在rtabc中，acb=90，ab=6，ac=5，bc= tana= 【点评】此题主要考查了圆周角定理的推论，勾股定理以及三角函数的定义，题目比较基础，整合了3个知识点，关键是求出bc的长21已知：如图，在o中，弦ab、cd交于点e，ad=cb求证：ae=ce【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系 【专题】证明题【分析】由圆周角定理可得ade=cbe，从而利用aas可证明adecbe，继而可得出结论【解答】解：由圆周角定理可得：ade=cbe，在ade和cbe中，adecbe（aas），ae=ce【点评】本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是由圆周角定理得出ade=cbe22已知抛物线y=x22x3（1）它与y轴的交点的坐标为（0，3）；（2）在坐标系中利用描点法画出它的图象；（3）当1x4时，求y的取值范围【考点】二次函数的图象；二次函数的性质 【分析】（1）令x=0，求得y，得出与y轴的交点的坐标；（2）列表，描点，画出函数图象即可；（3）求得对称轴，以对称轴为分界线，结合图象得出答案即可【解答】解：（1）当x=0时，y=x22x3=3，所以它与y轴的交点的坐标为（0，3）；（2）列表：x10123y03430图象如图所示：；（3）抛物线y=x22x3的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，4）；当1x1时，4y0；当1x4时，4y5【点评】此题考查二次函数的图象与性质，由函数图象确定坐标，图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想四、解答题（每题5分，共20分）23已知函数y=（k3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，求k的取值范围【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式 【专题】分类讨论【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k3=0和k30两种情况进行讨论，（1）当k3=0即k=3时，此函数是一次函数；（2）当k30，即k3时，此函数是二次函数，根据函数图象与x轴有交点可知b24ac0，求出k的取值范围即可【解答】解：（1）当k=3时，函数y=2x+1是一次函数一次函数y=2x+1与x轴有一个交点，k=3 _ （2）当k3时，y=（k3）x2+2x+1是二次函数二次函数y=（k3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，b24ac0 b24ac=224（k3）=4k+16，4k+160 k4且k3 综合（1）（2）可知，k的取值范围是k4 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根的判别式，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解24如图，小明同学在东西方向的环海路a处，测得海中灯塔p在它的北偏东60方向上，在a的正东400米的b处，测得海中灯塔p在它的北偏东30方向上问：灯塔p到环海路的距离pc约等于多少米？（取1.732，结果精确到1米）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【分析】根据等角对等边得出pb=ab=400米，再利用三角函数求出pc的长即可【解答】解：如图，由题意，可得pac=30，pbc=60，apb=pbcpac=30，pac=apbpb=ab=400米在rtpbc中，pcb=90，pbc=60，pb=400米，pc=pbsinpbc=400=200=346.4346（米）答：灯塔p到环海路的距离pc约等于346米【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想25如图所示，已知：在abc中，a=60，b=45，ab=8求：abc的面积（结果可保留根号）【考点】解直角三角形 【专题】计算题【分析】过c作cdab于d，利用直角三角形的性质求得cd的长已知ab的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积【解答】解：过c作cdab于d，在rtadc中，cda=90，=cotdac=cot60=，即ad=cd在rtbdc中，b=45，bcd=45，cd=bdab=db+da=cd+cd=8，cd=124sabc=abcd=8（124）=4816答：abc的面积为4816【点评】考查直角三角形的性质及三角形的面积公式的掌握情况26如图所示，已知ab为o的直径，cd是弦，且abcd于点e连接ac、oc、bc（1）求证：aco=bcd；（2）若eb=8cm，cd=24cm，求o的直径【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理 【专题】几何综合题【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为aoc是等腰三角形，即可求证（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径【解答】（1）证明：连接oc，ab为o的直径，acb=90，bcd与ace互余；又ace与cae互余bcd=bacoa=oc，oac=ocaaco=bcd（2）解：设o的半径为rcm，则oe=obeb=（r8）cm，ce=cd=24=12cm，在rtceo中，由勾股定理可得oc2=oe2+ce2，即r2=（r8）2+122解得r=13，2r=213=26cm答：o的直径为26cm【点评】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27阅读下面的材料小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果，都为锐角，且tan=，tan，求+的度数小敏是这样解决问题的：如图1，把，放在正方形网格中，使得abd=，cbe=，且ba，bc在直线bd的两侧，连接ac，可证得abc是等腰三角形，因此可求得+=abc=45请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果，都为锐角，当tan=4，tan=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角，画出mon=，由此可得=45【考点】作图应用与设计作图；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形 【专题】计算题【分析】如图1，把，放在正方形网格中，使得abd=，cbe=，且ba，bc在直线bd的两侧，连接ac，可证得abc是等腰三角形，可求得+=abc=45如图2，把，放在正方形网格中，使得mog=，noh=，且on在mog内，连接mn，可证得mon是等腰三角形，可求得=45【解答】解：如图1，把，放在正方形网格中，使得abd=，cbe=，且ba，bc在直线bd的两侧，连接ac，可证得abc是等腰三角形，因此可求得+=abc=45；参考小敏思考问题的方法解决问题：如果，都为锐角，当tan=4，tan=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角，画出mon=，由此可得=45故答案为：45；45【点评】本题考查了作图应用与设计图，等腰三角形的性质，解直角三角形等，根据函数值作出直角三角形是解题的关键28已知二次函数y=ax2+bx+c（a为常数，且a0）的图象过点a（0，1），b（1，2）和点c（1，6）（1）求二次函数表达式；（2）若mn2，比较m24m与n24n的大小；（3）将抛物线y=ax2+bx+c平移，平移后图象的顶点为（h，k），若平移后的抛物线与直线y=x1有且只有一个公共点，请用含h的代数式表示k【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换 【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式；（2）根据抛物线的性质，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，即可判定m24m+1n24n+1，进而求得m24mn24n（3）设平移后的抛物线的表达式为y=（xh）2+k，根据题意列出x1=（xh）2+k，根据直线与抛物线有且只有一个公共点，则=（2h+1）24（h2+k+1）=0，从而求得k=h【解答】解：（1）抛物线过点a（0，1），b（1，2）和点c（1，6），二次函数表达式为y=x24x+1（2）当x2时，y随x的增大而增大，当mn2，时，m24m+1n24n+1，即m24mn24n（3）由（1）知，a=1设平移后的抛物线的表达式为y=（xh）2+k，直线与抛物线有且只有一个公共点，方程x1=（xh）2+k有两个相等的实数根，整理得：x2（2h+1）x+h2+k+1=0，=（2h+1）24（h2+k+1）=0，k=h【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，以及抛物线和直线的交点，熟练掌握抛物线的性质和图象上点的坐标特征是本题的关键29已知：如图1，抛物线的顶点为m，平行于x轴的直线与该抛物线交于点a，b（点a在点b左侧），根据对称性amb恒为等腰三角形，我们规定：当amb为直角三角形时，就称amb为该抛物线的“完美三角形”（1）如图2，求出抛物线y=x2的“完美三角形”斜边ab的长；抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量