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圆锥曲线定义标准方程【知识图解】椭圆几何性质标准方程定义几何性质圆锥曲线圆锥曲线应用双曲线标准方程定义抛物线几何性质 【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程 第1课椭圆【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.【基础练习】1已知ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 2.椭圆的离心率为3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 4. 已知椭圆的离心率，则的值为5椭圆的焦点 ，P为椭圆上的一点，已知，则的面积为 9_【范例导析】例1.（1）求经过点，且与椭圆有共同焦点的椭圆方程。（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P（3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;写出方程.解：（1）椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），由椭圆的定义知，又，所以，椭圆的标准方程为。（2）方法一：若焦点在x轴上，设方程为，点P（3,0）在该椭圆上即又，椭圆的方程为.若焦点在y轴上，设方程为，点P（3,0）在该椭圆上即又，椭圆的方程为方法二：设椭圆方程为.点P（3,0）在该椭圆上9A=1，即,又，椭圆的方程为或.【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x轴上，设方程为，若焦点在y轴上，设方程为，有时为了运算方便，也可设为，其中.例2.设椭圆的左焦点、右焦点分别为、，点P在椭圆上，,求证：的面积.【分析】有关椭圆的焦半径问题用定义解决比较方便.解：设，则，又，由余弦定理得=，于是=，所以，从而有=【点拨】解与P F1F2（P为椭圆上的点）有关的问题,常用正弦定理或余弦定理，并且结合PF1+PF2=2a来求解。注意解题过程中的整体消元方法.例3.点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。【分析】列方程组求得P坐标；解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围. 解：（1）由已知可得点A(6,0),F(0,4) 设点P(,),则=（+6, ）,=（4, ）,由已知可得 则2+918=0, =或=6. 由于0,只能=,于是=. 点P的坐标是(,) (2) 直线AP的方程是+6=0. 设点M(,0),则M到直线AP的距离是. 于是=,又66,解得=2. 椭圆上的点(,)到点M的距离有 ,由于66, 当=时,d取得最小值点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.例4. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱 宽l是多少？ （2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设例4图 计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最最小？ （半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）解:（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得.因此隧道的拱宽约为33.3米.（2）解法一：由椭圆方程，得故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.解法二：由椭圆方程，得 于是得以下同解一.反馈练习：1.如果表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（0，1）2.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是3.椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的7倍4.若椭圆的离心率,则的值为 5.椭圆的右焦点到直线的距离为6.与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是或7.已知数列的两顶点A、C是椭圆的二个焦点，顶点B在椭圆上，则8.椭圆上的点到直线的最大距离是9.若动点(x,y)在曲线(b0)上变化，则x2+2y的最大值为10. 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出和（或和）的值从而求得椭圆方程解：设两焦点为、，且，从椭圆定义知即从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，可求出，从而所求椭圆方程为或11.设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。解析：依题意可设P(0,1)，Q(x,y),则 |PQ|=，又因为Q在椭圆上，所以，x2=a2(1y2)， |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2， =(1a2)(y)2+1+a2 。因为|y|1,a1, 若a, 则1, 当y=时, |PQ|取最大值，若1ab0）的二个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且。 （1）求离心率e的取值范围；（2）当离心率e最小时，点N(0，3)到椭圆上一点的最远距离为，求此椭圆的方程。分析:离心率与椭圆的基本量a、b、c有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围.解：（1）设点M的坐标为(x，y)，则，。由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。 又由点M在椭圆上，得y2=b2，代入，得x2-c2，即。0，0，即01，01，解得1。又01，1。（2）当离心率取最小值时，椭圆方程可表示为。设点H(x，y)是椭圆上的一点，则|HN|2=x2+(y-3)2=(2b2-2y2)+(y-3)2=- (y+3)2+2b2+18(-byb)。若0b3，则0-b-3，当y=-b时，|HN|2有最大值b2+6b+9。由题意知：b2+6b+9=50，b=或b=-，这与0b3矛盾。若b3，则-b-3，当y=-3时，|HN|2有最大值2b2+18。由题意知：2b2+18=50，b2=16，所求椭圆方程为。点拨：解几中求基本量a、b、c、e等取值范围的解题思路一般可以做如下考虑建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；建立目标变量的不等式，解不等式求解.例3.如图，已知某椭圆的焦点是F1(4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.例3分析：第一问直接可有第一定义得出基本量a，从而写出方程；第二问涉及到焦半径问题，可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式，结合等差数列的定义解决；第三问建立m的函数表达式，转化为求函数值域.解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3.故椭圆方程为=1.(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得(x1)+(x2)=2,由此得出：x1+x2=8.设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=4.(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.得得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9=0(x1x2)将 (k0)代入上式，得94+25y0()=0(k0)即k=y0(当k=0时也成立).由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0y0=y0.由点P(4，y0)在线段BB(B与B关于x轴对称)的内部，得y0,所以m.解法二：因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为yy0=(x4)(k0)将代入椭圆方程=1,得(9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4)2259k2=0所以x1+x2=8,解得k=y0.(当k=0时也成立)(以下同解法一).点拨:本题涉及到弦的中点问题，既可以用点差法，也可以考虑将弦所在直线方程与曲线的方程联立方程组结合韦达定理解决.反馈练习：1.从集合1,2,3，11中任选两个元素作为椭圆方程中的m和n,则能组成落在矩形区域B=(x,y)| |x|11且|y|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.例3.双曲线的焦距为2c，直线过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围. 解：直线的方程为，即 由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离，同理得到点（1，0）到直线的距离由 即 于是得 解不等式，得 由于所以的取值范围是点拨：本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.反馈练习：1.双曲线的渐近线方程为2.已知双曲线的离心率为，焦点是，则双曲线方程为3.已知双曲线的两个焦点为，P是此双曲线上的一点，且，则该双曲线的方程是4. 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线左右焦点，若=3,则=75.若表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是6.与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程7.已知双曲线的焦点为、，点M在双曲线上，且轴，则到直线F2M的距离为8.已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形，若双曲线恰好平分正三角形的另两边，则双曲线的离心率是 9.P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x5）2y24和（x5）2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为910. （1）求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点且离心率为的双曲线标准方程（2）求以曲线和的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程解：（1）设所求双曲线方程为：，则，所求双曲线方程为（2），或，渐近线方程为当焦点在轴上时，由且，得所求双曲线方程为当焦点在轴上时，由，且，得所求双曲线方程为11.设双曲线的半焦距为，直线过、两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率分析：由两点式得直线的方程，再由双曲线中、的关系及原点到直线的距离建立等式，从而解出的值解：由过两点，得的方程为由点到的距离为，得将代入，平方后整理，得令，则解得或而，有故或因，故，所以应舍去故所求离心率说明：此题易得出错误答案：或其原因是未注意到题设条件，从而离心率而，故应舍去12.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点（1）求双曲线方程；（2）若点在双曲线上，求证：；（3）对于（2）中的点，求的面积解：（1）由题意，可设双曲线方程为，又双曲线过点，解得 双曲线方程为； （2）由（1）可知， ， ， ，又点在双曲线上， ， ， 即； （3）的面积为6 13.已知双曲线的左右两个焦点分别为、，P为双曲线左支上一点，它到左准线的距离为，且使、成等比数列，求离心率的取值范围。第13题解：由双曲线的两个定义可得：， 又因为， 0 第4课抛物线【考点导读】1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质.2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题.【基础练习】1.焦点在直线x2y4=0上的抛物线的标准方程是2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为 3.抛物线的焦点坐标是_(a,0)_4.抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是5点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值【范例导析】例1. 给定抛物线y2=2x，设A（a，0），a0，P是抛物线上的一点，且PA=d，试求d的最小值解：设P（x0，y0）（x00），则y02=2x0，d=PA=a0，x00，（1）当0a1时，1a0，此时有x0=0时，dmin=a（2）当a1时，1a0，此时有x0=a1时，dmin=例2.如图所示，直线和相交于点M，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若AMN为锐角三角形，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程例2解：以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点设曲线段C满足的抛物线方程为：其中、为A、B的横坐标令则，由两点间的距离公式，得方程组：解得或AMN为锐角三角形，则，又B在曲线段C上，则曲线段C的方程为例3.设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线（）当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；()当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围解：（）两点到抛物线的准线的距离相等抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0，上述条件等价于， 上述条件等价于 即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F另解：（）抛物线，即，焦点为 （1）直线的斜率不存在时，显然有 （2）直线的斜率存在时，设为k，截距为b即直线：y=kx+b 由已知得： 即的斜率存在时，不可能经过焦点 所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F （II）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为；过点A、B的直线方程可写为，所以满足方程得；A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式即设AB的中点N的坐标为，则由即得l在y轴上截距的取值范围为（）法二:y1=2x12, y2=2x22, 相减得,中点在抛物线内必例4.已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足设圆的方程为（1）证明线段是圆的直径;（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求P的值。（1）证法一：，即，整理得设点是以线段为直径得圆上得任意一点，则即展开上式并将带入得故线段是圆的直径证法二：同法一得： 以 AB 为直径的圆的方程是，展开，并将代入得所以线段 AB 是圆 C 的直径 （2）解法一：设圆的圆心为则 又0 ，, ，所以圆心的轨迹方程为：= 设圆心到直线 的距离为，则当时，有最小值，由题设得， 解法二：同法一得：圆心的轨迹方程为： 设直线与的距离为，则当与仅有一个公共点时，该点到的距离最小，最小值为，由 消x得，由 得（）解法三：设圆的圆心为，则若圆心到直线的距离为，那又，当时，有最小值，由题设得，反馈练习：1.抛物线的准线方程是2.抛物线的焦点到其准线的距离是3.设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，若，则点A的坐标为4.抛物线上的点到直线距离的最小值是5.若直线l过抛物线(a0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a= 6.正OAB的三个顶点均在抛物线上,O为原点,则OAB的面积等于7.已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0, y0），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N则点N的坐标是N(x0+4, 0)_（用x0表示）；8.对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|a|，则a的取值范围是（，2AxOy67第9题9.下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），其轨迹方程是y=ax2+c（a0），D=（6，7）为x轴上的给定区间为使物体落在D内，a的取值范围是10.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(10，4）、(10，4）设抛物线方程为x2=2py,将A点坐标代入，得100=2p(4),解得p=12.5,于是抛物线方程为x2=25y.第10题由题意知E点坐标为(2，4)，E点横坐标也为2，将2代入得y=0.16,从而|EE|=(0.16)(4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.11.定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标分析：线段中点到轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值这是中点坐标问题，因此只要研究、两点的横坐标之和取什么最小值即可解：如图，设是的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，又到准线的垂线为，、和是垂足，则第11题设点的横坐标为，纵坐标为，则等式成立的条件是过点当时，故，所以，此时到轴的距离的最小值为说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简12.已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴，且过点P（2,2），过F的直线交抛物线于A，B两点.（1）求抛物线的方程；（2）设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与直线l相切分析：可设抛物线方程为用待定系数法求得方程，对于第二问的证明只须证明，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.解：（1）设抛物线的方程，将（2，2）代入得所求抛物线方程为（2）证明：作于于M为AB中点，作于，则由抛物线的定义可知：在直角梯形中：，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切点拨：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交 13.已知点A（2，8），在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图） （1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标； （2）求线段BC中点M的坐标； （3）求BC所在直线的方程解：（1）由点A（2，8）在抛物线上，有 解得 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）（2）如图，由F（8，0）是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且 设点M的坐标为，则 解得 所以点M的坐标为（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴 设BC所成直线的方程为 由消x得 所以 由（II）的结论得 解得 因此BC所在直线的方程为 即点拨：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力第5课圆锥曲线的统一定义【考点导读】1. 了解圆锥曲线的第二定义.2. 能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题.【基础练习】1.抛物线的焦点的坐标是, 准线方程是2.如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是2 3.若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则= 4.点M与点F的距离比它到直线:的距离小1,则点的轨迹方程是5.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则第5题【范例导析】例1.（1）已知双曲线的渐近线方程为，两条准线间的距离为，求双曲线标准方程（2）点是椭圆的短轴端点，椭圆的右焦点为F，为等边三角形，点F到椭圆右准线l的距离为1,求椭圆方程.分析：（1）可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程（2）利用几何图形与椭圆性质求基本量.解：（1）双曲线渐近线方程为，设双曲线方程为若，则，准线方程为：，若，则，准线方程为：，OFxylB1B2所求双曲线方程为：或（2）， . 例1准线l的方程：，所以 解之得于是. 故椭圆方程为. 点拨：求圆锥曲线方程时，一般先由条件设出所求方程，然后再根据条件列出基本的方程组解方程组得出结果.例2. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求弦的长分析：此类题目是求弦长问题，这种题目方法很多，可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为，所以又因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为由直线方程与椭圆方程联立得设，为方程两根，所以，从而(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为，设，则，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，它们分别是，的横坐标再根据焦半径，从而求出点拨：对于直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离，判断直线与椭圆的位置关系，可以利用直线方程与椭圆方程联立，看联立后方程解的个数：，无解则相离；，一解则相切；，两解则相交，在解决过焦点的弦长问题，则可从以上三种思路考虑.【例3】已知双曲线的离心率，左，右焦点分别的为，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得是P到的距离与的等比中项。【解】：设在左半支上存在点P，使，由双曲线的第二定义知，即 再由双曲线的第一定义，得 由，解得： 由在中有 ， 利用，从式得 解得，与已知矛盾。符合条件的点P不存在。 点拨：利用定义及假设求出离心率的取值是关键。反馈练习：1.若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则2.设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为3.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 4.已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为5.已知点P是抛物线y2=4x上一点，设P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为 6双曲线右支点上的一点P到右焦点的距离为2，则P点到左准线的距离为 8 7过抛物线(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p q，则等于8设椭圆上有一点到左准线的距离为，是该椭圆的左焦点，若点满足则 2 9.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是 10.已知点，在双曲线上求一点，使的值最小解：，设点到与焦点相应准线的距离为则，至此，将问题转化成在双曲线上求一点，使到定点的距离与到准线距离和最小即到定点的距离与准线距离和最小为直线垂直于准线时，解之得，点点拨：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力11.已知椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其中一个焦点的坐标为。椭圆与y轴交于A、B两点，其中点A的坐标为(1)、求此椭圆的方程； (2)、若点C在该椭圆上，且|CF1|4，请求此时ABC的面积。第11题解：(1)由已知，可设椭圆方程为， 则可知，,得 该椭圆方程为：；（2）由（1），椭圆的左准线为，离心率 如图，设点C到左准线的距离为|CE|、到y轴的距离为|CD|，则 又|CF1|4，得 |CE|= 又|DE|，得 |CD| 12.已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证的面积与椭圆短轴长有关分析：不失一般性，可以设椭圆方程为（），（）思路一：利用焦半径公式，在中运用余弦定理，求，再利用，可以确定离心率的取值范围，将代入椭圆方程中求，便可求出的面积思路二：利用正弦定理、余弦定理，结合求解解：(法1)设椭圆方程为（），则，在中，由余弦定理得，解得(1)，即故椭圆离心率的取范围是(2)将代入得，即即的面积只与椭圆的短轴长有关(法2)设，则(1)在中，由正弦定理得，当且仅当时等号成立故椭圆离心率的取值范围是(2)在中，由余弦定理得：，即即的面积与椭圆短轴长有关点拨：椭圆上的一点与两个焦点，构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理解题中通过变形，使之出现的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关，的关系式，使问题找到解决思路第6课圆锥曲线综合【考点导读】1. 在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识内在联系,灵活地运用解析几何的常用方法解决问题.2. 通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想.3.能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问题的转化,并运用圆锥曲线知识解决实际问题.【基础练习】1. 给出下列四个结论：当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是；已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是；抛物线；已知双曲线，其离心率，则m的取值范围是（12，0）。其中所有正确结论的个数是42.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点如果延长F1P到Q，使得|PQ|PF2|，那么动点Q的轨迹是圆3.设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为4.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是5.过抛物线（p0）的焦点F作一直线l与抛物线交于P Q两点，作PP1 QQ1垂直于抛物线的准线，垂足分别是P1 Q1，已知线段PF QF的长度分别是a b，那么|P1Q1|=【范例导析】例1. 已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（I）证明为定值；（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。解：（1）F点的坐标为(0,1)设A点的坐标为 B点的坐标为由可得因此过A点的切线方程为 (1)过B点的切线方程为 (2)解(1)( 2)构成的方程组可得点M的坐标,从而得到=0 即为定值（2）=0可得三角形面积 所以当且仅当时取等号点拨：本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大例2.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；例2（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？解：（1）设曲线方程为，由题意可知，. . 曲线方程为. （2）设变轨点为，根据题意可知 得 ， 或（不合题意，舍去）. 得或（不合题意，舍去）， 点的坐标为， .答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令. 例3.已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （1）设为点P的横坐标，证明； （2）求点T的轨迹C的方程； （3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，例3 使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由.（1）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以 3分证法二：设点P的坐标为记则由证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即由，所以3分（2）解法一：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是7分解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则因此 由得 将代入，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是7