北京市高三数学一轮复习 试题选编21 椭圆 理 新人教A版.doc

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编21 椭圆 一 选择题 北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 椭圆的左右焦点分别为 若椭圆上恰好有6个不同的点 使得为等腰三角形 则椭圆的离心率的取值范围是 a b c d 答案 d 解 当点p位于椭圆的两个短轴端点时 为等腰三角形 此时有2个 若点不在短轴的端点时 要使为等腰三角形 则有或 此时 所以有 即 所以 即 又当点p不在短轴上 所以 即 所以 所以椭圆的离心率满足且 即 所以选 d 二 填空题 北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题 已知椭圆 的两个焦点是 点在该椭圆上 若 则 的面积是 答案 解 由椭圆的方程可知 且 所以解得 又 所以有 即三角形为直角三角形 所以 的面积 北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学 椭圆的焦点为 点在椭圆上 若 的小大为 答案 解析 椭圆的 所以 因为 所以 所以 所以 所以 三 解答题 北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学 本小题满分分 已知椭圆的离心率为 椭圆短轴的一个端点与两个焦 点构成的三角形的面积为 求椭圆的方程 已知动直线与椭圆相交于 两点 若线段中点的横坐标为 求斜率的值 若点 求证 为定值 答案 本题满分分 解 因为满足 解得 则椭圆方程为 1 将代入中得 因为中点的横坐标为 所以 解得 2 由 1 知 所以 北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 已知点是椭圆的左顶点 直线与椭圆相交于两点 与轴相交于点 且当时 的面积为 求椭圆的方程 设直线 与直线分别交于 两点 试判断以为直径的圆是否经过点 并请说明理由 答案 解 当时 直线的方程为 设点在轴上方 由解得 所以 因为 的面积为 解得 所以椭圆的方程为 4分 由得 显然 5分 设 则 6分 又直线的方程为 由解得 同理得 所以 9分 又因为 13分 所以 所以以为直径的圆过点 14分 2013北京海淀二模数学理科试题及答案 已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2 一内角为的菱形的四个顶点 i 求椭圆的方程 ii 直线与椭圆交于 两点 且线段的垂直平分线经过点 求 为原点 面积的最大值 答案 解 i 因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2 一内角为 的菱形的四个顶点 所以 椭圆的方程为 ii 设因为的垂直平分线通过点 显然直线有斜率 当直线的斜率为时 则的垂直平分线为轴 则 所以 因为 所以 当且仅当时 取得最大值为 当直线的斜率不为时 则设的方程为 所以 代入得到 当 即 方程有两个不同的解 又 所以 又 化简得到 代入 得到 又原点到直线的距离为 所以 化简得到 因为 所以当时 即时 取得最大值 综上 面积的最大值为 2013北京房山二模数学理科试题及答案 已知椭圆 的离心率为 且过点 直线 交椭圆于 不与点重合 两点 求椭圆的方程 abd的面积是否存在最大值 若存在 求出这个最大值 若不存在 请说明理由 答案 设 由 设为点到直线bd 的距离 当且仅当时等号成立 当时 的面积最大 最大值为 2013北京昌平二模数学理科试题及答案 本小题满分13分 如图 已知椭圆的长轴为 过点的直线与轴垂直 椭圆的离心率 为椭圆的左焦点 且 i 求此椭圆的方程 ii 设是此椭圆上异于的任意一点 轴 为垂足 延长到点使得 连接并延长交直线于点为的中点 判定直线与以为直径的圆的位置关系 答案 解 由题意可知 又 解得 所求椭圆方程为 设 则 由 所以直线方程由得直线 由 又点的坐标满足椭圆方程得到 所以 直线的方程 化简整理得到 即 所以点到直线的距离 直线与为直径的圆相切 北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 曲线都是以原点o为对称中心 离心率相等的椭圆 点m的坐标是 0 1 线段mn是的短轴 是的长轴 直线与交于a d两点 a在d的左侧 与交于b c两点 b在c的左侧 当m 时 求椭圆的方程 若ob an 求离心率e的取值范围 答案 解 设c1的方程为 c2的方程为 其中 2分 c1 c2的离心率相同 所以 所以 3分 c2的方程为 当m 时 a c 5分 又 所以 解得a 2或a 舍 6分 c1 c2的方程分别为 7分 a m b m 9分 ob an 11分 12分 13分 2013北京西城高三二模数学理科 如图 椭圆的左顶点为 是椭圆上异于点的任意一点 点与点关于点对称 若点的坐标为 求的值 若椭圆上存在点 使得 求的取值范围 答案 解 依题意 是线段的中点 因为 所以 点的坐标为 由点在椭圆上 所以 解得 解 设 则 且 因为 是线段的中点 所以 因为 所以 由 消去 整理得 所以 当且仅当 时 上式等号成立 所以 的取值范围是 2013北京丰台二模数学理科试题及答案 已知椭圆c 的短轴的端点分别为a b 直线am bm分别与椭圆c交于e f两点 其中点m m 满足 且 求椭圆c的离心率e 用m表示点e f的坐标 若 bme面积是 amf面积的5倍 求m的值 答案 解 依题意知 m m 且 直线am的斜率为k1 直线bm斜率为k2 直线am的方程为y 直线bm的方程为y 由得 由得 整理方程得 即 又 为所求 2013北京顺义二模数学理科试题及答案 已知椭圆的两个焦点分别为 且 点在椭圆上 且的周长为6 i 求椭圆的方程 ii 若点的坐标为 不过原点的直线与椭圆相交于两点 设线段的中点为 点到直线的距离为 且三点共线 求的最大值 答案 解 i 由已知得且 解得 又 所以椭圆的方程为 ii 设 当直线与轴垂直时 由椭圆的对称性可知 点在轴上 且与点不重合 显然三点不共线 不符合题设条件 故可设直线的方程为 由消去整理得 则 所以点的坐标为 因为三点共线 所以 因为 所以 此时方程 为 则 所以 又 所以 故当时 的最大值为 2013北京东城高三二模数学理科 已知椭圆 的离心率 原点到过点 的直线的距离是 求椭圆的方程 若椭圆上一动点关于直线的对称点为 求的取值范围 如果直线交椭圆于不同的两点 且 都在以为圆心的圆上 求的值 答案 共13分 解 因为 所以 因为原点到直线 的距离 解得 故所求椭圆的方程为 因为点关于直线的对称点为 所以 解得 所以 因为点在椭圆 上 所以 因为 所以 所以的取值范围为 由题意消去 整理得 可知 设 的中点是 则 所以 所以 即 又因为 所以 所以 北京市石景山区2013届高三一模数学理试题 设椭圆c 1 a b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 上顶点为a 在x轴负半轴上有一点b 满足 且ab af2 i 求椭圆c的离心率 ii 若过a b f2三点的圆与直线l x 0相切 求椭圆c的方程 在 ii 的条件下 过右焦点f2作斜率为k的直线l与椭圆c交于m n两点 线段mn的中垂线与x轴相交于点p m o 求实数m的取值范围 答案 北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷 解析 已知椭圆的上顶点为 左焦点为 直线与圆相切 过点的直线与椭圆交于两点 i 求椭圆的方程 ii 当的面积达到最大时 求直线的方程 答案 解 i 将圆的一般方程化为标准方程 则圆的圆心 半径 由得直线的方程为 由直线与圆相切 得 所以或 舍去 当时 故椭圆的方程为 ii 由题意可知 直线的斜率存在 设直线的斜率为 则直线的方程为 因为点在椭圆内 所以对任意 直线都与椭圆交于不同的两点 由得 设点的坐标分别为 则 所以 又因为点到直线的距离 所以的面积为 设 则且 因为 所以当时 的面积达到最大 此时 即 故当的面积达到最大时 直线的方程为 2013北京高考数学 理 已知a b c是椭圆w 上的三个点 o是坐标原点 i 当点b是w的右顶点 且四边形oabc为菱形时 求此菱形的面积 ii 当点b不是w的顶点时 判断四边形oabc是否可能为菱形 并说明理由 答案 解 i 椭圆w 的右顶点b的坐标为 2 0 因为四边形oabc为菱形 所以ac与ob相互垂直平分 所以可设a 1 代入椭圆方程得 即 所以菱形oabc的面积是 ii 假设四边形oabc为菱形 因为点b不是w的顶点 且直线ac不过原点 所以可设ac的方程为 由消去并整理得 设a c 则 所以ac的中点为m 因为m为ac和ob的交点 所以直线ob的斜率为 因为 所以ac与ob不垂直 所以oabc不是菱形 与假设矛盾 所以当点b不是w的顶点时 四边形oabc不可能是菱形 2011年高考 北京理 已知椭圆g 过点作圆的切线交椭圆g于a b两点 求椭圆g的焦点坐标和离心率 将 ab 表示为m的函数 并求 ab 的最大值 答案 命题立意 本题考查椭圆的标准方程和性质以及直线被椭圆截得的弦长的求法 运用基本不等式求解函数的最值问题 考查学生的运算能力和综合解答问题的能力 解析 由已知得 所以椭圆g的焦点坐标为 离心率为 由题意知 当时 切线的方程为 点a b的坐标分别为 此时 当时 同理可得 当时 设切线的方程为 由 得 设a b两点的坐标分别为 则 又由与圆相切 得 即 所以 由于当时 所以 因为 当且仅当时 所以的最大值是2 2013北京朝阳二模数学理科试题 已知椭圆的右焦点为 短轴的端点分别为 且 求椭圆的方程 过点且斜率为的直线交椭圆于两点 弦的垂直平分线与轴相交于点 设弦的中点为 试求的取值范围 答案 解 依题意不妨设 则 由 得 又因为 解得 所以椭圆的方程为 依题直线的方程为 由得 设 则 所以弦的中点为 所以 直线的方程为 由 得 则 所以 所以 又因为 所以 所以 所以的取值范围是 北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学 已知椭圆c 左焦点 且离心率 求椭圆c的方程 若直线与椭圆c交于不同的两点 不是左 右顶点 且以为直径的圆经过椭圆c的右顶点a 求证 直线过定点 并求出定点的坐标 答案 解 由题意可知 1分 解得 2分 所以椭圆的方程为 3分 ii 证明 由方程组 4分 整理得 5分 设 则 6分 由已知 且椭圆的右顶点为 7分 8分 即 也即 10分 整理得 11分 解得均满足 12分 当时 直线的方程为 过定点 2 0 与题意矛盾舍去 13分 当时 直线的方程为 过定点 故直线过定点 且定点的坐标为 14分 北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习 一 数学理试题 椭圆的中心为坐标原点 右焦点为 且椭圆过点 的三个顶点都在椭圆上 设三条边的中点分别为 1 求椭圆的方程 2 设的三条边所在直线的斜率分别为 且 若直线 的斜率之和为0 求证 为定值 答案 解 1 设椭圆的方程为 由题意知 左焦点为 所以 解得 故椭圆的方程为 方法2 待定系数法 2 设 由 两式相减 得到 所以 即 同理 所以 又因为直线的斜率之和为0 所以 方法2 设直线 代入椭圆 得到 化简得 以下同 北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学 理 试题 已知椭圆的离心率为 i 若原点到直线的距离为求椭圆的方程 ii 设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于a b两点 i 当 求b的值 ii 对于椭圆上任一点m 若 求实数满足的关系式 答案 解 i 解得 椭圆的方程为 4分 ii i e椭圆的方程可化为 易知右焦点 据题意有ab 由 有 设 8分 2 ii 显然与可作为平面向量的一组基底 由平面向量基本定理 对于这一平面内的向量 有且只有一对实数 使得等成立 设m x y 又点m在椭圆上 由 有 则 又a b在椭圆上 故有 将 代入 可得 14分 北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学 理 已知椭圆的左右两个顶点分别为 点是直线上任意一点 直线 分别与椭圆交于不同于两点的点 点 求椭圆的离心率和右焦点的坐标 i 证明三点共线 求面积的最大值 答案 解 所以 所以 椭圆的离心率 右焦点 i 设 显然 则 由解得 由解得 当时 三点共线 当时 所以 所以 三点共线 综上 三点共线 因为三点共线 所以 pqb的面积 设 则 因为 且 所以 且仅当时 所以 在上单调递减 所以 等号当且仅当 即时取得 所以 pqb的面积的最大值为 北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学 理 已知椭圆的离心率为 且经过点 求椭圆的方程 设为椭圆上的两个动点 线段的垂直平分线交轴于点 求 的取值范围 答案 解 椭圆的方程为 设 则 依题意有 即 整理得 将 代入上式 消去 得 依题意有 所以 注意到 且两点不重合 从而 所以 北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 已知椭圆的中心在原点 焦点在轴上 离心率为 且经过点 直线交椭圆于不同的两点 求椭圆的方程 求的取值范围 若直线不过点 求证 直线的斜率互为相反数 答案 设椭圆的方程为 因为 所以 又因为 所以 解得 故椭圆方程为 4分 将代入并整理得 解得 7分 设直线的斜率分别为和 只要证明 设 则 9分 所以直线的斜率互为相反数 14分 2013届北京市高考压轴卷理科数学 已知椭圆c的中心在原点 焦点在x轴上 离心率为 短轴长为4 i 求椭圆c的标准方程 ii 直线x 2与椭圆c交于p q两点 a b是椭圆o上位于直线pq两侧的动点 且直线ab的斜率为 求四边形apbq面积的最大值 设直线pa的斜率为 直线pb的斜率为 判断 的值是否为常数 并说明理由 答案 解 设椭圆c的方程为 由已知b 离心率 得 所以 椭圆c的方程为 由 可求得点p q的坐标为 则 设ab 直线ab的方程为 代人 得 由