北京四中高中数学 集合的含义及表示知识讲解（A） 新人教A版必修1.doc

集合及集合的表示 【学习目标】1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等【要点梳理】集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.要点一、集合的有关概念1集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.2一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.3关于集合的元素的特征(1)确定性：设a是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是a的元素，或者不是a的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.4元素与集合的关系：(1)如果a是集合a的元素，就说a属于(belong to)a，记作aa(2)如果a不是集合a的元素，就说a不属于(not belong to)a，记作5集合的分类(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：.(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.6常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作n正整数集，记作n*或n+整数集，记作z有理数集，记作q实数集，记作r要点二、集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.4.图示法：图示法主要包括venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（venn）图法. 如下图，就表示集合.1，2，3，4【典型例题】类型一：集合的概念及元素的性质例1.下列各组对象哪些能构成一个集合？(1)著名的数学家；(2)比较小的正整数的全体；(3)某校2011年在校的所有高个子同学；(4)不超过20的非负数；(5)方程在实数范围内的解；（6）的近似值的全体.答案：(4)、（5）解析：从集合元素的“确定”、“互异”、“无序”三种特性判断.“著名的数学家”、“比较小的正整数”、“高个子同学”对象不确定，所以(1)、(2)、（3）不是集合，同理(6)也不是集合.(4)、（5）可构成集合，故答案是(4)、（5）.点评：(1)判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.(2)“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的，集合里面元素的个数很多，但不一定是无限集.举一反三：【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集.(1)你所在的班，体重超过75kg的学生的全体；(2)举办2008年奥运会的城市；(3)高一数学课本中的所有难题；(4)在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人的全体；(5)大于0且小于1的所有的实数. 答案：集合：（1）、（2）、（4）、（5）；有限集：（1）、（2）、（4）。解析：紧扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题.(1)你所在的班，体重超过75kg的学生是确定的，不同的，能组成一个集合，且为有限集；(2)举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集；(3)不能构成集合.“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观判断.(4) 在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人是确定的，不同的，因而能构成集合，是有限集.(5) 大于0且小于1的所有的实数也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合，是无限集.例2集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？答案：是解析：由分母有理化得，.由题中集合可知均有，即.点评：（1）解答本题首先要理解与的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，能否化成此形式，进而去判断是不是集合中的元素.（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.举一反三：【变式1】设(1)若az，则是否有as？(2)对s中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1x2，是否属于集合s？答案：as 是解析：(1)若az，则有as，即n=0时，xz，as；(2)x1，x2s，则m1，n1，m2，n2z，m1m2+2n1n2z，m1n2+m2n1zx1x2s.类型二：元素与集合的关系例3.用符号“”或“”填空(1)(2)(3)解析：给定一个对象a，它与一个给定的集合a之间的关系为，或者，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清a的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.(1) (2)令，则令，则(3) (-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x2，点评：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合这个“口袋”中是装了些x呢？还是装了些n呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“”左边的元素组成的，符号“”右边的部分表示x具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合这个“口袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合是由抛物线上的所有点构成的，是一个点集.举一反三：【变式1】 用符号“”或“”填空（1）若,则 ；-2 .（2）若则 ；-2 .答案：（1）， （2），类型三：集合中元素性质的应用例4.定义集合运算：.设集合，则集合的所有元素之和为a. 0 b. 6 c. 12 d. 18答案： d解析：，当时， ，于是的所有元素之和为0+6+12=18.点评：这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.举一反三：【变式1】定义集合运算：，设，则集合的所有元素之和为（ ）a. 0 b. 2 c. 3 d. 6答案：d解析：，且，z的取值有：0，2，4故，集合的所有元素之和为：0+2+4=6.高清课程：集合的表示及运算例5. 设集合=x|，当集合为单元素集时，求实数的值.答案：0，1解析：由集合中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.当a0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.例6.已知集合，若，求实数的值及集合.答案：，.解析：（1）若则.所以，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.（2）若，则或，当时，满足题意；当时，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.（3）若，则或，由上分析知与均应舍去.综上，集合.点评：本题中由于1和集合中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习中引起足够的重视.举一反三：【变式1】已知集合，求实数的值答案： 解析：当，即时，与集合的概念矛盾，故舍去当即时，不满足题意舍去，故.类型四：集合的表示方法例7试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程的所有实数根组成的集合；(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.答案：（1）；（2）。解析：(1)设方程的实数根为x，并且满足条件因此，用描述法表示为；方程有两个实数根因此，用列举法表示为.(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件，且15x25，因此，用描述法表示为；大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24，因此，用列举法表示为.点评：（1）列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开.（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然.（3）用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性质.举一反三：【变式1】用列举法表示集合：(1)a=xr|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0(2)b=(x，y)|x+y=3， xn， yn(3)c=y|x+y=3，xn， yn(4)(5)(6)p=x|x(x-a)=0， ar解析：本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么.(1)a=1，-2，-1，2(2)b=(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)(3)c=0，1，2，3(4)d=(0，0)(5)m=0(6)当a0时，p=0，a；当a=0时，p=0.点评：此例题（2）与（3），（4）与（5）两组都是考察代表元素的，而（6）考察了