高考数学一轮复习 46直线 平面平行的判定及其性质精品课件 新人教版.ppt

共64页 1 第四十六讲直线 平面平行的判定及其性质 共64页 2 回归课本 共64页 3 1 直线与直线 1 空间两条直线的位置关系有平行 相交 异面三种 2 过直线外一点有且仅有一条直线和这条直线平行 3 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 又叫做空间平行线的传递性 4 定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行 并且方向相同 那么这两个角相等 共64页 4 5 空间四边形 顺次连结不共面的四点a b c d所构成的图形 叫做空间四边形 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点 所连结的相邻顶点间的线段叫做四边形的边 连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线 空间四边形用表示顶点的四个字母表示 共64页 5 2 直线与平面平行 1 直线与平面的位置关系有 平行 直线和平面没有公共点 相交 直线和平面有且只有1个公共点 直线在平面内 直线和平面有无数个公共点 其中 也叫直线在平面外 共64页 6 2 直线与平面平行 判定定理 平面外的一条直线与平面内的一条直线平行 则该直线就与此平面平行 性质定理 一条直线和一个平面平行 则过这条直线的任一平面与此平面的交线也与该直线平行 共64页 7 3 平面与平面平行 1 平面与平面的位置关系 平行两平面无公共点 两平面相交有一条公共直线 2 平面与平面的平行 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一平面平行 则这两个平面平行 性质定理 如果两个平面平行同时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 共64页 8 考点陪练 共64页 9 1 设aa 是长方体的一条棱 这个长方体中与aa 平行的棱共有 a 1条b 2条c 3条d 4条解析 aa bb cc dd 答案 c 共64页 10 2 b是平面 外一条直线 下列条件中可得出b 的是 a b与 内一条直线不相交b b与 内两条直线不相交c b与 内无数条直线不相交d b与 内任意一条直线不相交解析 只有在b与 内所有直线都不相交 即b与 无公共点时 b 答案 d 共64页 11 3 在空间 下列命题正确的是 a 若a b a 则b b 若a b a b 则 c 若 b 则b d 若 a 则a 解析 若a b a 则b 或b 故a错误 由面面平行的判定定理知 b错误 若 b 则b 或b 故c错误 答案 d 共64页 12 4 已知两个不同的平面 和两条不重合的直线m n 有下列四个命题 若m n n 则m 若m n 则m n 若 m 则m 其中正确命题的个数是 a 1b 2c 3d 0解析 有可能m m n还可能是异面直线 正确 故正确答案是a 答案 a 共64页 13 5 a b c为三条不重合的直线 为三个不重合的平面 现给出四个命题 其中正确的命题是 答案 共64页 14 类型一直线与直线平行解题准备 平行于同一直线的两条直线互相平行 共64页 15 典例1 如图 若 a b c 且a b 求证 a b c 分析 利用线面平行的判定定理及性质定理及公理4即可证得 共64页 16 证明 b a a b b 线线平行 则线面平行 b c b c 线面平行 则线线平行 a b c 共64页 17 反思感悟 1 判定定理应用时要注意条件是平面外的一条直线 应用性质定理时注意确保这条直线是经过这条直线的平面与已知平面的交线 条件必须充分满足了才得结论 2 本题证明思路是 线 线 线 面 线 线 共64页 18 类型二直线和平面平行解题准备 1 证明线面平行的方法 1 依定义采用反证法 2 判定定理法 线线平行 线面平行 3 面面平行的性质定理 面面平行 线面平行 共64页 19 2 应用线面平行判定定理的思路在应用线面平行的判定定理证明线面平行时 要在平面内找 或作 一条直线与已知直线平行 在找 或作 这一条直线时 由线面平行的性质定理知 在平面内和已知直线共面的直线才和已知直线平行 所以要通过平面来找 或作 这一条直线 在应用其它判定定理和性质定理时 要注意充分利用条件构造定理的题设 在分析思路时也要以定理作为指导 共64页 20 典例2 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 侧面对角线ab1 bc1上分别有两点e f且b1e c1f 求证 ef 平面abcd 共64页 21 分析 要证ef 平面abcd 方法有两种 一是利用线面平行的判定定理 即在平面abcd内确定ef的平行线 二是利用面面平行的性质定理 即过ef作与平面abcd平行的平面 共64页 22 证明 证法一 过e作em ab于m 过f作fn bc于n 连接mn 如图 则em bb1 fn bb1 em fn 共64页 23 ab1 bc1 b1e c1f ae bf 又 bb1 cc1 em fn 四边形emnf是平行四边形 ef mn 又 ef 平面abcd mn 平面abcd ef 平面abcd 共64页 24 证法二 连接b1f 并延长交bc的延长线于点p 连接ap 如图 共64页 25 bp b1c1 b1fc1 pfb ab1 bc1 b1e c1f ae bf ef ap 又 ef 平面abcd ap 平面abcd ef 平面abcd 共64页 26 证法三 过点e作eh bb1于点h 连接fh 如图 共64页 27 则eh ab 所以 ab1 bc1 b1e c1f fh b1c1 b1c1 bc fh bc eh fh h 平面efh 平面abcd ef 平面efh ef 平面abcd 共64页 28 反思感悟 判断或证明线面平行的常用方法有 1 利用线面平行的定义 无公共点 2 利用线面平行的判定定理 a b a b a 3 利用面面平行的性质定理 a a 4 利用面面平行的性质 a a a a 共64页 29 类型三平面与平面平行的证明方法解题准备 1 证明面面平行的方法除了面面平行的判定定理外 还有 1 如果两个平面垂直于同一条直线 那么这两个平面平行 2 如果两个平面和同一个平面平行 那么这两个平面平行 共64页 30 2 平行问题的转化方向如图所示 共64页 31 注意 1 在平面和平面平行的判定定理中 两条相交直线 中的 相交 两个字不能忽略 否则结论不一定成立 2 若由两个平面平行来推证两条直线平行 则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线 有时第三个平面需要作出来 共64页 32 典例3 如图所示 三棱柱abc a1b1c1 d是bc上一点 且a1b 平面ac1d d1是b1c1的中点 求证 平面a1bd1 平面ac1d 共64页 33 证明 连接a1c交ac1于点e 共64页 34 四边形a1acc1是平行四边形 e是a1c的中点 连接ed a1b 平面ac1d 平面a1bc 平面ac1d ed a1b ed e是a1c的中点 d是bc的中点 共64页 35 又 d1是b1c1的中点 在三棱柱abc a1b1c1中 bd1 c1d a1d1 ad 又a1d1 bd1 d1 ad c1d d 平面a1bd1 平面ac1d 共64页 36 反思感悟 证明平面与平面相互平行 一般利用面面平行的判定定理或其推论 将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明 具体方法有 1 面面平行的定义 2 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 3 利用垂直于同一条直线的两个平面平行 共64页 37 4 两个平面同时平行于第三个平面 那么这两个平面平行 5 利用 线线平行 线面平行 面面平行 的相互转化 共64页 38 类型四线面平行中的探究问题解题准备 探究性问题 一般采用执果索因的方法 假设求解的结果存在 从这个结果出发 寻找使这个结论成立的充分条件 如果找到了符合题目结果要求的条件 则存在 如果找不到符合题目结果要求的条件 出现矛盾 则不存在 共64页 39 典例4 如图 在底面是平行四边形的四棱锥p abcd中 点e在pd上 且pe ed 2 1 在棱pc上是否存在一点f 使bf 平面aec 证明你的结论 共64页 40 解 当f是棱pc的中点时 bf 平面aec 证明 取pe的中点m 连接fm 共64页 41 则fm ce 由em pe ed 知e是md的中点 连接bm bd 设bd ac o 则o为bd的中点 连接oe所以bm oe 由 知 平面bfm 平面aec 又bf 平面bfm 所以bf 平面aec 共64页 42 错源一主观臆断 推理不严谨 典例1 如图所示 已知e f分别是正方体abcd a1b1c1d1的棱aa1 cc1的中点 求证 四边形bed1f是平行四边形 共64页 43 错证 在正方体abcd a1b1c1d1中 平面a1add1 平面b1bcc1 由两平行平面与第三平面相交得交线平行 故d1e fb 同理可证d1f eb 故四边形ebfd1为平行四边形 剖析 主要错在盲目地在立体几何证明中套用平面几何定理 立体几何问题只有在化归为平面几何问题后才能直接使用平面几何知识解题 共64页 44 证明 取dd1的中点g 连接ag fg aed1g d1eag 又fgcd cdab fgab bfag d1ebf 四边形ebfd1为平行四边形 共64页 45 错源二以特殊代替一般 以偏概全致误 典例2 已知 ab cd是夹在 与 间的两条线段 点e f分别在ab cd上 且ae eb cf fd m n 求证 ef ef 共64页 46 剖析 容易利用下图 1 或图 2 中的特殊图形代替一般证明 对ab与cd异面这种更一般的情形缺乏分析 由此产生特殊代替一般的证明错误 共64页 47 证明 当ab cd共面时 如图 1 2 所示 根据平行线分线段成比例定理 知ef ac ef bd 立即推出ef ef 当ab cd异面时 如图 3 所示 过点a作ag cd交平面 于点g 连接dg bg 过点f作fh ac交ag于点h 连接he 由 知ac gd 则hf gd 所以hf 由于ac hf gd 故cf fd ah hg m n ae eb 则eh bg 所以eh 综上 可知平面efh 平面 又 故平面efh 平面 由于ef 平面efh 故ef ef 共64页 48 评析 在立体几何中当已知两条直线时 要充分考虑到这两条直线的各种位置关系 不要只考虑两条直线共面的情况 还要把它们异面的情况考虑进去 由于空间图形位置关系的多样性 就导致了部分考生仅仅凭借这种多样位置关系的一种解决问题的情况 导致解答不全 共64页 49 技法一题多解 典例 一条直线分别与两个相交平面平行 那么这条直线必与它们的交线平行 已知 平面 平面 l 直线a 平面 直线a 平面 求证 直线a 直线l 共64页 50 证明 证法一 作辅助平面 如图 a 过a作平面 交平面 于c a c 线面平行的性质定理 同理过a作平面 交平面 于d a d 共64页 51 由公理4 a c a d 得c d 又 c d c d c 线面平行的判定定理 c c l c l 线面平行的判定定理 又 a c 由公理4 a l 共64页 52 证法二 同一法 如图 在平面 和平面 的交线l上取一点a 过a作直线l a a l 在 内 一条直线与一个平面平行 那么过平面内的一点且与这条直线平行的直线都在这个平面内 共64页 53 同理a l 也在 内 l 既在平面 内 又在平面 内 由公理3知l 就是平面 与平面 的交线 即l 与l重合 又 l a l a 共64页 54 证法三 利用平行线关系 如图 a 过a作平面 交平面 于不同于直线l的直线c 则c a 共64页 55 又 a c 而平面 是过c的平面且与平面 相交于直线l 由线面平行的性质定理 得c l 又 a c 由公理4知 a l 共64页 56 证法四 借助辅助平面 如图 过平面 与平面 的交线l上一点a和直线a作平面 共64页 57 与 有公共点a 则 分别与 有过a的一条交线 设为l 与l 但过a点有且只有一条直线平行于a l 与l 重合 且这条直线既在平面 内 又在平面 内 故一定是平面 与平面 的交线l l l l三条直线重合 则a l 共64页 58 证法五 反证法 若直线a不平行于直线l 则a与l相交或异面 当a与l相交时 则a就与l所在的平面 和平面 相交 这与已知a 相矛盾 所以这是不可能的 当a与l异面时 过l平行于a的平面只有一个 但已知平面 和平面 是两个不同的平面都过l且均与直线a平行 因此a与l异面也是不可能的 因此直线a与直线l既不相交也不异面 故a l 共64页 59 证法六 过a作平行平面研究交线关系 如图 过直线a作平面 与平面 平行 共64页 60 平面 与平面 相交 平面 也必与平面 相交 设平面 与平面 的交线为b a a b 又l b 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 由公理4 知a l 共64页 61 证法七 借助辅助平面 将平行关系转化为垂直关系来证明 如图 作平面 使直线a 共64页 62 a 一条直线如果平行于一个平面 那么平行于这条直线的平面也垂直于这个平面 同理可证 l 两个相交平面同时垂直于第三个